「象の檻に『バッファロー』という碑文を読んでも、自分の目を信じてはいけません。」 コズマ・プルトコフ

前に モデルベース デザインに関する記事 なぜオブジェクト モデルが必要なのかが示され、このオブジェクト モデルがなければ、モデル ベースのデザインについて、無意味かつ無慈悲なマーケティングの猛吹雪としてしか語ることができないことが証明されました。 しかし、物体のモデルが現れると、有能な技術者は常に、物体の数学的モデルが実際の物体に対応するという証拠は何なのかという当然の疑問を抱きます。

この質問に対する回答例は次のとおりです。 電気ドライブのモデルベース設計に関する記事。 この記事では、一般的な性質のいくつかの理論的考察を加えて、航空機空調システムのモデルを作成する例を見ていきます。

オブジェクトの信頼できるモデルを作成します。 理論

先延ばしにしないように、モデルベース デザインのモデルを作成するアルゴリズムについてすぐに説明します。 必要なのは次の XNUMX つの簡単な手順だけです。

1ステップ。 モデル化されたシステムの動的挙動を記述する代数微分方程式系を開発します。 プロセスの物理学を知っていれば簡単です。 多くの科学者がすでに、ニュートン、ブレヌール、ナビエ・ストークス、その他のスタンゲル、コンパス、ラビノビッチにちなんで名付けられた基本的な物理法則を私たちのために開発してきました。

2ステップ。 結果として得られるシステムで、テストから取得できる一連の経験的係数とモデリング オブジェクトの特性を選択します。

3ステップ。 オブジェクトをテストし、実物大の実験の結果に基づいてモデルを調整し、必要な詳細度で現実に対応するようにします。

ご覧のとおり、XNUMX つ XNUMX つだけなので簡単です。

実用化例

航空機の空調システム (ACS) は、自動圧力維持システムに接続されています。 飛行機内の圧力は常に外部の圧力より大きくなければならず、圧力の変化率はパイロットと乗客が鼻や耳から出血しない程度でなければなりません。 したがって、空気の入口と出口の制御システムは安全性にとって重要であり、その開発のために高価な試験システムが地上に投入されています。 飛行高度での温度と圧力を生成し、さまざまな高度の飛行場の離陸と着陸の状態を再現します。 そして、SCV の制御システムの開発とデバッグの問題は、その可能性を最大限に高めています。 満足のいく制御システムを得るために、テストベンチをどれくらい実行しますか? 明らかに、オブジェクトのモデルに制御モデルを設定すれば、テストベンチでの作業サイクルを大幅に短縮できます。

航空機の空調システムは、他の熱システムと同じ熱交換器で構成されています。 アフリカでもバッテリーはバッテリーで、エアコンだけです。 しかし、航空機の離陸重量と寸法には制限があるため、より小さな質量からできるだけ多くの熱を伝達するために、熱交換器はできる限りコンパクトかつ効率的に作られています。 その結果、ジオメトリは非常に奇妙になります。 検討中のケースのように。 図 1 は、熱伝達を向上させるためにプレート間に膜が使用されているプレート熱交換器を示しています。 熱いクーラントと冷たいクーラントがチャネル内で交互に流れ、流れの方向は横方向になります。 一方の冷却剤はフロントカットに供給され、もう一方は側面に供給されます。

SCR の制御の問題を解決するには、熱交換器内で単位時間あたり、ある媒体から別の媒体にどのくらいの熱が伝達されるかを知る必要があります。 私たちが調整する温度変化率はこれに依存します。

図 1. 航空機の熱交換器の図。

モデリングの問題。 油圧部品

一見すると、このタスクは非常に単純です。熱交換器チャネルを通る質量流量とチャネル間の熱流量を計算する必要があります。
チャネル内の冷却剤の質量流量は、ベルヌーイの公式を使用して計算されます。

ここで：
ΔP – XNUMX 点間の圧力差。
ξ – 冷却剤の摩擦係数。
L – チャネル長。
d – チャネルの水力直径。
ρ – 冷却剤の密度。
ω – チャネル内の冷却剤の速度。

任意の形状のチャネルの場合、水力直径は次の式で計算されます。

ここで：
F – 流れ領域。
P – チャネルの濡れた周囲。

摩擦係数は経験式を使用して計算され、冷却剤の流速と特性によって異なります。 ジオメトリが異なると、異なる依存関係が得られます。たとえば、滑らかなパイプ内の乱流の式は次のようになります。

ここで：
Re – レイノルズ数。

フラットチャネルの流れの場合、次の式を使用できます。

ベルヌーイの公式から、特定の速度に対する圧力降下を計算したり、逆に、特定の圧力降下に基づいてチャネル内の冷却材の速度を計算したりできます。

熱交換

冷却剤と壁の間の熱流は、次の式を使用して計算されます。

ここで：
α [W/(m2×deg)] – 熱伝達係数。
F – 流れ領域。

配管内の冷媒の流れの問題については、十分な研究が行われており、多くの計算方法が存在しますが、原則として、すべては熱伝達係数 α [W/(m2×deg)] の経験依存性に帰着します。

ここで：
Nu – ヌッセルト数、
λ – 液体の熱伝導率 [W/(m×deg)] d – 水力学的 (等価) 直径。

ヌッセルト数 (基準) を計算するには、経験的基準の依存関係が使用されます。たとえば、丸パイプのヌッセルト数を計算する式は次のようになります。

ここでは、レイノルズ数、壁温度と液体温度でのプラントル数、および不均一係数がすでに確認されています。 (ソース)

波形プレート熱交換器の場合、式は同様です ( ソース ):

ここで：
乱流の場合は n = 0.73 m =0.43、
係数 a - プレートの数と流れの状況に応じて、0,065 から 0.6 まで変化します。

この係数はフロー内の XNUMX つの点に対してのみ計算されることを考慮してください。 次の点では、液体の温度 (加熱または冷却)、壁の温度が異なり、それに応じてすべてのレイノルズ数とプラントル数が浮動します。

この時点で、数学者であれば、係数が 10 回変化する系を正確に計算することは不可能であると言うでしょうが、それは正しいでしょう。

実際の技術者であれば、各熱交換器の製造方法が異なり、システムを計算することは不可能であると言うでしょうし、それも正しいでしょう。

モデルベース デザインについてはどうですか? 本当にすべてが失われたのでしょうか？

ここでは、欧米のソフトウェアの先進的な販売者が、スーパーコンピューターや 3 次元計算システムを「これなしではいられない」という感じで売りつけます。 また、1 分以内に温度分布を取得するには、XNUMX 日分の計算を実行する必要があります。

これが私たちの選択肢ではないことは明らかです。リアルタイムではないにしても、少なくとも予測可能な時間内に制御システムをデバッグする必要があります。

ランダムな解決策

熱交換器が製造され、一連のテストが実行され、所定の冷媒流量における定常状態温度の効率の表が設定されます。 データはテストから取得されるため、シンプル、高速、信頼性が高くなります。

このアプローチの欠点は、オブジェクトの動的特性がないことです。 はい、定常状態の熱流がどのようになるかはわかっていますが、ある動作モードから別の動作モードに切り替えるときに確立するまでにどれくらい時間がかかるかはわかりません。

したがって、必要な特性を計算した後、テスト中に制御システムを直接構成しますが、これは最初は避けたいと考えています。

モデルベースのアプローチ

動的熱交換器のモデルを作成するには、実験データを使用して、ヌッセルト数と水圧抵抗などの経験的な計算式の不確実性を排除する必要があります。

解決策はシンプルで、あらゆる独創的な方法と同様です。 経験式を採用し、実験を行って係数aの値を決定することで、式の不確実性を排除します。

熱伝達係数の特定の値が得られると、他のすべてのパラメーターは保存の基本的な物理法則によって決定されます。 温度差と熱伝達係数によって、単位時間あたりにチャネルに伝達されるエネルギー量が決まります。

エネルギーの流れがわかれば、水力管内の冷却材のエネルギー質量と運動量の保存方程式を解くことができます。 たとえばこれ:

私たちのケースでは、壁と冷却剤の間の熱の流れ (Qwall) は依然として不確実です。 さらに詳細をご覧いただけます ここ…

また、チャネル壁の温度微分方程式も次のようになります。

ここで：
ΔQwall – チャネル壁に流入する流れと流出する流れの差。
M はチャネル壁の質量です。
クリック単価 – 壁材の熱容量。

モデルの精度

上で述べたように、熱交換器ではプレートの表面全体に温度分布があります。 定常状態の値については、熱交換器全体を XNUMX つの温度差で熱が熱交換器の表面全体に伝達される XNUMX つの集中点として想像して、プレートの平均を取得して使用できます。 しかし、一時的な状況では、そのような近似は機能しない可能性があります。 もう XNUMX つの極端な方法は、数十万点を作成し、スーパー コンピューターにロードすることです。これも、制御システムをリアルタイムで、あるいはさらに高速に構成することがタスクであるため、これも私たちには適していません。

許容できる精度と計算速度を得るには、熱交換器をいくつのセクションに分割する必要があるかという疑問が生じます。

いつものように、偶然、アミン熱交換器の模型が手元にありました。 熱交換器はチューブであり、パイプ内を熱媒体が流れ、バッグ間を熱媒体が流れます。 問題を単純化するために、熱交換器チューブ全体を 2 つの等価なパイプとして表すことができ、パイプ自体を一連の離散計算セルとして表すことができ、各セル内で熱伝達の点モデルが計算されます。 単一セル モデルの図を図 XNUMX に示します。熱風チャネルと冷気チャネルは壁を介して接続されており、チャネル間の熱流の伝達が確保されています。

図 2. 熱交換器セルのモデル。

チューブラー熱交換器モデルはセットアップが簡単です。 変更できるパラメータは 5 つだけです。つまり、パイプの長さに沿ったセクションの数であり、さまざまなパーティションの計算結果を確認できます。 いくつかのオプションを計算してみましょう。長さに沿って 3 つのポイントに分割することから始めて (図 100)、長さに沿って最大 4 のポイントに分割します (図 XNUMX)。

図 3. 計算された 5 つの点の定常温度分布。

図 4. 計算された 100 つの点の定常温度分布。

計算の結果、100点に分割したときの定常温度は67,7度であることが分かりました。 そして、計算された5つの点に分割されると、温度は72℃になります。

また、ウィンドウの下部には、リアルタイムと比較した計算速度が表示されます。
計算点数によって定常温度や計算速度がどのように変化するかを見てみましょう。 計算セルの数が異なる場合の計算中の定常状態温度の違いを使用して、得られた結果の精度を評価できます。

表 1. 熱交換器の長さに沿った計算ポイントの数に対する温度と計算速度の依存性。

演算点数	安定した温度	計算速度
5	72,66	426
10	70.19	194
25	68.56	124
50	67.99	66
100	67.8	32

この表を分析すると、次の結論を導き出すことができます。

• 熱交換器モデルの計算点数に比例して計算速度が低下します。
• 計算精度の変化は指数関数的に発生します。 ポイントの数が増加するにつれて、その後の増加ごとの洗練度は低下します。

図 1 に示すように、クロスフロー冷媒を備えたプレート熱交換器の場合、基本計算セルから等価モデルを作成するのは少し複雑になります。 クロスフローを組織するような方法でセルを接続する必要があります。 4 セルの場合、回路は図 5 のようになります。

冷却剤の流れは、高温と低温の分岐に沿って 5 つのチャネルに分割され、チャネルは熱構造を介して接続されているため、チャネルを通過するときに冷却剤は異なるチャネルと熱交換します。 クロスフローをシミュレートすると、熱い冷却剤が各チャネル内を左から右に流れ (図 5 を参照)、下から上に流れる冷たい冷却剤のチャネルと順次熱交換します (図 XNUMX を参照)。 熱い冷却剤が冷たいチャネルのすでに加熱された冷却剤と熱交換するため、最も熱い点は左上隅にあります。 そして、最も冷たいものは右下にあり、冷たい冷却剤が、最初のセクションですでに冷却されている熱い冷却剤と熱交換します。

図 5. 4 つの計算セルのクロスフロー モデル。

プレート熱交換器のこのモデルでは、各チャネルが分離されているため、熱伝導率によるセル間の熱伝達や冷媒の混合が考慮されていません。

しかし、私たちの場合、熱交換器の設計では波形膜が流れを冷却剤に沿った多くの独立したチャネルに分割するため、最後の制限によって精度が低下することはありません (図 1 を参照)。 プレート熱交換器をモデル化する場合、計算セルの数が増えると計算精度がどうなるかを見てみましょう。

精度を分析するために、熱交換器を設計セルに分割するための XNUMX つのオプションを使用します。

1. 各正方形セルには、5 つの油圧要素 (冷流および熱流) と XNUMX つの熱要素が含まれています。 (図XNUMXを参照)
2. 各正方形セルには、XNUMX つの油圧要素 (熱流および冷流の XNUMX つのセクション) と XNUMX つの熱要素が含まれています。

後者の場合、次の XNUMX 種類の接続を使用します。

• 冷たい流れと熱い流れの逆流。
• 冷たい流れと熱い流れの平行な流れ。

逆流はクロスフローと比較して効率を高めますが、逆流は効率を低下させます。 セルの数が多いと、フロー全体の平均化が行われ、すべてが実際のクロスフローに近づきます (図 6 を参照)。

図 6. 3 セル、XNUMX 要素のクロスフロー モデル。

図 7 は、モデルを分割するためのさまざまなオプションについて、ホット ラインに沿って 150 °C、コールド ラインに沿って 21 °C の温度の空気を供給したときの熱交換器内の定常状態の定常温度分布の結果を示しています。 セルの色と数字は、計算セル内の平均壁温度を反映しています。

図 7. さまざまな設計スキームの定常状態温度。

表 2 は、熱交換器モデルのセルへの分割に応じた、熱交換器後の加熱空気の定常状態の温度を示しています。

表 2. 熱交換器の設計セル数に対する温度の依存性。

モデル寸法	安定した温度 セルごとに 1 つの要素	安定した温度 セルごとに 3 つの要素
2h2	62,7	67.7
3x3	64.9	68.5
4h4	66.2	68.9
8h8	68.1	69.5
10x10	68.5	69.7
20x20	69.4	69.9
40x40	69.8	70.1

モデル内の計算セルの数が増加すると、最終的な定常状態の温度が増加します。 異なる区画の定常状態温度の差は、計算の精度の指標として考慮できます。 計算セル数が増えると温度が限界に近づく傾向にあり、精度の向上が計算点数に比例しないことがわかります。

どのようなモデルの精度が必要か?という疑問が生じます。

この質問に対する答えは、モデルの目的によって異なります。 この記事はモデルベース設計に関するものであるため、制御システムを構成するモデルを作成します。 これは、モデルの精度がシステムで使用されるセンサーの精度に匹敵する必要があることを意味します。

この場合、温度は熱電対によって測定され、その精度は ±2.5°C です。 制御システムをセットアップする目的では、これ以上の精度は役に立ちません。実際の制御システムは単にそれを「認識しない」だけです。 したがって、無限数の分割に対する限界温度が 70 °C であると仮定すると、67.5.​​3 °C 以上を与えるモデルは十分に正確になります。 計算セル内に 5 点を持つすべてのモデル、およびセル内に 5 点を持つ 2xXNUMX より大きいモデル。 (表 XNUMX では緑色で強調表示されています)

動的動作モード

動的状況を評価するために、設計スキームのさまざまなバリエーションについて、熱交換器壁の最も熱い点と最も冷たい点での温度変化のプロセスを評価します。 (図8参照)

図 8. 熱交換器の暖機中。 寸法 2x2 および 10x10 のモデル。

遷移プロセスの時間とその性質自体は、計算セルの数とは実質的に独立しており、加熱された金属の質量によってもっぱら決定されることがわかります。

したがって、20 ～ 150 °C のモードで熱交換器を適切にモデリングするには、SCR 制御システムに必要な精度で、約 10 ～ 20 の設計点で十分であると結論付けています。

実験に基づいた動的モデルのセットアップ

熱交換器のパージに関する数学的モデルと実験データがあれば、単純な補正を行うだけです。つまり、計算が実験結果と一致するようにモデルに増強係数を導入するだけです。

さらに、グラフィカルモデル作成環境を使用して、これを自動的に実行します。 図 9 は、熱伝達増強係数を選択するためのアルゴリズムを示しています。 実験から得られたデータが入力に供給され、熱交換器モデルが接続され、各モードに必要な係数が出力で取得されます。

図 9. 実験結果に基づいて増強係数を選択するためのアルゴリズム。

したがって、ヌッセルト数に対して同じ係数を決定し、計算式の不確実性を排除します。 動作モードや温度が異なると、補正係数の値が変化する可能性がありますが、同様の動作モード（通常動作）では、補正係数の値は非常に近いことがわかります。 たとえば、さまざまなモードの特定の熱交換器の係数は 0.492 ～ 0.655 の範囲になります。

係数 0.6 を適用すると、調査対象の動作モードでは計算誤差が熱電対誤差よりも小さくなり、制御システムの熱交換器の数学的モデルが実際のモデルに完全に適合することになります。

熱交換器モデルの設定結果

熱伝達の質を評価するには、特別な特性である効率が使用されます。

ここで：
EFFhot – 熱い冷却剤の熱交換器の効率。
T山々in – 高温冷却剤の流路に沿った熱交換器への入口の温度。
T山々でる – 高温の冷媒流路に沿った熱交換器の出口の温度。
Tホールin – 冷媒流路に沿った熱交換器への入口の温度。

表 3 は、ホット ラインとコールド ラインに沿ったさまざまな流量における、実験モデルからの熱交換器モデルの効率の偏差を示しています。

表 3. 熱伝達効率 (%) の計算における誤差

私たちの場合、選択した係数は、関心のあるすべての動作モードで使用できます。 誤差が大きくなる低流量で必要な精度が達成できない場合は、現在の流量に応じて可変の増圧係数を使用できます。

たとえば、図 10 では、チャネル セル内の現在の流量に応じて、所定の式を使用して増強係数が計算されます。

図 10. 可変の熱伝達促進係数。

所見

• 物理法則の知識があれば、モデルベースの設計用にオブジェクトの動的モデルを作成できます。
• モデルはテスト データに基づいて検証および調整する必要があります。
• モデル開発ツールでは、開発者がオブジェクトのテスト結果に基づいてモデルをカスタマイズできる必要があります。
• 適切なモデルベースのアプローチを使用すれば、満足できるでしょう。

読み終わった方への特典です。 SCR システムの仮想モデルの動作のビデオ。

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出所： habr.com