Pada tahun 2012, Hadiah Nobel dalam Ekonomi telah dianugerahkan kepada Lloyd Shapley dan Alvin Roth. "Untuk teori pengedaran yang stabil dan amalan mengatur pasaran." Aleksey Savvateev pada tahun 2012 cuba menjelaskan secara ringkas dan jelas intipati merit ahli matematik. Saya membentangkan kepada anda satu ringkasan .
Hari ini ada kuliah teori. Mengenai eksperimen , khususnya dengan derma, saya tidak akan memberitahu.
Apabila diumumkan bahawa menerima Hadiah Nobel, terdapat soalan standard: "Bagaimana!? Adakah dia masih hidup!?!?β Keputusannya yang paling terkenal diperoleh pada tahun 1953.
Secara rasmi, bonus itu diberikan untuk sesuatu yang lain. Untuk kertas kerjanya pada 1962 tentang "teorem kestabilan perkahwinan": "Kemasukan Kolej dan Kestabilan Perkahwinan."
Tentang perkahwinan yang mampan
Pemadanan (padanan) - tugas mencari surat menyurat.
Terdapat sebuah kampung terpencil tertentu. Terdapat "m" lelaki muda dan "w" perempuan. Kita perlu mengahwinkan mereka antara satu sama lain. (Tidak semestinya nombor yang sama, mungkin akhirnya seseorang akan ditinggalkan sendirian.)
Apakah andaian yang perlu dibuat dalam model? Bahawa bukan mudah untuk berkahwin semula secara rawak. Satu langkah tertentu sedang diambil ke arah pilihan bebas. Katakan ada seorang aksakal yang bijak ingin berkahwin semula supaya selepas kematiannya perceraian tidak bermula. (Perceraian adalah keadaan apabila seorang suami menginginkan wanita pihak ketiga sebagai isterinya lebih daripada isterinya.)
Teorem ini adalah dalam semangat ekonomi moden. Dia sangat tidak berperikemanusiaan. Ekonomi secara tradisinya tidak berperikemanusiaan. Dalam ekonomi, manusia digantikan dengan mesin untuk memaksimumkan keuntungan. Apa yang saya akan beritahu anda adalah perkara gila dari sudut moral. Jangan ambil hati.
Ahli ekonomi melihat perkahwinan dengan cara ini.
m1, m2,β¦ mk - lelaki.
w1, w2,... wL - perempuan.
Seorang lelaki dikenal pasti dengan cara dia "memerintah" gadis. Terdapat juga "tahap sifar", di bawahnya wanita tidak boleh ditawarkan sebagai isteri sama sekali, walaupun tidak ada yang lain.
Semuanya berlaku dalam kedua-dua arah, sama untuk perempuan.
Data awal adalah sewenang-wenangnya. Satu-satunya andaian/had ialah kami tidak mengubah keutamaan kami.
Teorem: Tidak kira pengedaran dan tahap sifar, sentiasa ada cara untuk mewujudkan surat-menyurat satu dengan satu antara beberapa lelaki dan beberapa wanita supaya ia teguh kepada semua jenis perpecahan (bukan hanya perceraian).
Apakah ancaman yang mungkin ada?
Terdapat pasangan (m,w) yang belum berkahwin. Tetapi bagi w suami sekarang lebih teruk daripada m, dan bagi m isteri sekarang lebih buruk daripada w. Ini adalah keadaan yang tidak mampan.
Terdapat juga pilihan bahawa seseorang telah berkahwin dengan seseorang yang "di bawah sifar"; dalam keadaan ini, perkahwinan itu juga akan berantakan.
Jika seorang wanita sudah berkahwin, tetapi dia lebih suka lelaki yang belum berkahwin, yang dia berada di atas sifar.
Jika dua orang kedua-duanya belum berkahwin, dan kedua-duanya "di atas sifar" untuk satu sama lain.
Dihujahkan bahawa untuk mana-mana data awal sistem perkahwinan seperti itu wujud, tahan terhadap semua jenis ancaman. Kedua, algoritma untuk mencari keseimbangan sedemikian adalah sangat mudah. Jom bandingkan dengan M*N.
Model ini digeneralisasikan dan diperluaskan kepada "poligami" dan digunakan dalam banyak bidang.
Prosedur Gale-Shapley
Jika semua lelaki dan semua wanita mengikut "preskripsi," sistem perkahwinan yang terhasil akan mampan.
preskripsi.
Kami mengambil masa beberapa hari mengikut keperluan. Kami membahagikan setiap hari kepada dua bahagian (pagi dan petang).
Pada pagi pertama, setiap lelaki pergi ke wanita terbaiknya dan mengetuk tingkap, meminta dia berkahwin dengannya.
Pada petang hari yang sama, giliran beralih kepada wanita. Apa yang wanita boleh temui? Bahawa terdapat orang ramai di bawah tingkapnya, sama ada seorang atau tiada lelaki. Mereka yang tidak mempunyai sesiapa hari ini melangkau giliran mereka dan tunggu. Selebihnya, yang mempunyai sekurang-kurangnya seorang, semak lelaki yang datang untuk melihat bahawa mereka "di atas tahap sifar." Untuk mempunyai sekurang-kurangnya satu. Jika anda benar-benar tidak bernasib baik dan semuanya di bawah sifar, maka semua orang harus dihantar. Wanita itu memilih yang terbesar daripada mereka yang datang, menyuruhnya menunggu, dan menghantar yang lain.
Sebelum hari kedua, keadaannya begini: ada wanita mempunyai seorang lelaki, ada yang tiada.
Pada hari kedua, semua lelaki "bebas" (dihantar) perlu pergi ke wanita keutamaan kedua. Jika tiada orang sedemikian, maka lelaki itu diisytiharkan bujang. Lelaki yang sudah duduk dengan perempuan itu belum buat apa-apa lagi.
Pada waktu petang, wanita melihat keadaan. Jika seseorang yang sudah duduk disertai oleh keutamaan yang lebih tinggi, maka keutamaan yang lebih rendah akan dihantar pergi. Jika mereka yang datang lebih rendah daripada yang sedia ada, semua orang dihantar pergi. Wanita memilih elemen maksimum setiap masa.
Kami ulangi.
Akibatnya, setiap lelaki meneliti keseluruhan senarai wanitanya dan sama ada ditinggalkan bersendirian atau bertunang dengan beberapa wanita. Kemudian kita akan berkahwin dengan semua orang.
Adakah mungkin untuk menjalankan keseluruhan proses ini, tetapi untuk wanita berlari kepada lelaki? Prosedurnya simetri, tetapi penyelesaiannya mungkin berbeza. Tetapi persoalannya, siapa yang lebih baik daripada ini?
Teorem. Mari kita pertimbangkan bukan sahaja dua penyelesaian simetri ini, tetapi set semua sistem perkahwinan yang stabil. Mekanisme asal yang dicadangkan (lelaki berlari dan wanita menerima/menolak) menghasilkan sistem perkahwinan yang lebih baik untuk mana-mana lelaki daripada yang lain dan lebih buruk daripada yang lain untuk mana-mana wanita.
Perkahwinan sejenis
Pertimbangkan situasi dengan "perkahwinan sesama jantina." Mari kita pertimbangkan keputusan matematik yang menimbulkan keraguan tentang keperluan untuk menghalalkannya. Contoh ideologi yang salah.
Pertimbangkan empat homoseksual a, b, c, d.
keutamaan untuk a: bcd
keutamaan untuk b:cad
keutamaan untuk c: abd
kerana d tidak kira bagaimana dia meletakkan kedudukan tiga yang tinggal.
Penyataan: Tiada sistem perkahwinan yang mampan dalam sistem ini.
Berapa banyak sistem yang ada untuk empat orang? Tiga. ab cd, ac bd, ad bc. Pasangan akan berantakan dan proses itu akan berjalan dalam kitaran.
Sistem "tiga jantina".
Ini adalah soalan paling penting yang membuka keseluruhan bidang matematik. Ini dilakukan oleh rakan sekerja saya di Moscow, Vladimir Ivanovich Danilov. Dia melihat "perkahwinan" sebagai minum vodka dan peranannya adalah seperti berikut: "orang yang menuang," "orang yang bercakap roti bakar," dan "orang yang memotong sosej." Dalam keadaan di mana terdapat 4 atau lebih wakil bagi setiap peranan, adalah mustahil untuk diselesaikan dengan kekerasan. Persoalan sistem lestari adalah persoalan terbuka.
vektor Shapley
Di kampung pondok mereka memutuskan untuk mengasfalkan jalan. Perlu masuk. Bagaimana?
Shapley mencadangkan penyelesaian kepada masalah ini pada tahun 1953. Mari kita anggap situasi konflik dengan sekumpulan orang N={1,2β¦n}. Kos/faedah perlu dikongsi bersama. Katakan orang bersama-sama melakukan sesuatu yang berguna, menjualnya dan bagaimana untuk membahagikan keuntungan?
Shapley mencadangkan bahawa semasa membahagikan, kita harus dibimbing oleh berapa banyak subset tertentu yang boleh diterima oleh orang ini. Berapakah jumlah wang yang boleh diperolehi oleh semua subset bukan kosong 2N? Dan berdasarkan maklumat ini, Shapley menulis formula universal.
Contoh. Seorang pemain solo, pemain gitar dan pemain dram bermain di laluan bawah tanah di Moscow. Mereka bertiga memperoleh 1000 rubel sejam. Bagaimana untuk membahagikannya? Mungkin sama.
V(1,2,3)=1000
Mari kita berpura-pura
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Pembahagian yang adil tidak boleh ditentukan sehingga kita tahu apa keuntungan yang menanti syarikat tertentu jika ia berpisah dan bertindak sendiri. Dan apabila kita menentukan nombor (tetapkan permainan koperasi dalam bentuk ciri).
Superadditivity adalah apabila bersama-sama mereka memperoleh lebih daripada secara berasingan, apabila lebih menguntungkan untuk bersatu, tetapi tidak jelas cara membahagikan kemenangan. Banyak salinan telah dipecahkan mengenai perkara ini.
Ada permainan. Tiga ahli perniagaan secara serentak menemui deposit bernilai $1 juta. Jika mereka bertiga bersetuju, maka ada sejuta daripada mereka. Mana-mana pasangan boleh membunuh (alih keluar dari kes) dan mendapatkan keseluruhan juta untuk diri mereka sendiri. Dan tiada siapa yang boleh melakukan apa-apa sahaja. Ini adalah permainan koperasi yang menakutkan tanpa penyelesaian. Akan sentiasa ada dua orang yang boleh menghapuskan yang ketiga... Teori permainan koperasi bermula dengan contoh yang tidak mempunyai penyelesaian.
Kami mahukan penyelesaian sedemikian sehingga tidak ada gabungan yang mahu menyekat penyelesaian bersama. Set semua bahagian yang tidak boleh disekat ialah kernel. Ia berlaku bahawa teras kosong. Tetapi jika ia tidak kosong, bagaimana untuk membahagikan?
Shapley mencadangkan untuk membahagikan cara ini. Baling syiling dengan n! tepi. Kami menulis semua pemain dalam susunan ini. Katakan pemain drum pertama. Dia masuk dan mengambil 100. Kemudian "kedua" masuk, katakan pemain solo. (Bersama-sama dengan pemain drum mereka boleh mendapat 450, pemain drum telah mengambil 100) Pemain solo mengambil 350. Pemain gitar masuk (bersama-sama 1000, -450), mengambil 550. Yang terakhir dalam agak kerap menang. (Supermodulariti)
Jika kami menulis untuk semua pesanan:
GSB - (menang C) - (menang D) - (menang B)
SGB ββββ- (menang C) - (menang D) - (menang B)
SBG - (menang C) - (menang D) - (menang B)
BSG - (menang C) - (menang D) - (menang B)
BGS - (keuntungan C) - (keuntungan D) - (keuntungan B)
GBS - (menang C) - (menang D) - (menang B)
Dan untuk setiap lajur kami tambah dan bahagikan dengan 6 - purata ke atas semua pesanan - ini ialah vektor Shapley.
Shapley membuktikan teorem (kira-kira): Terdapat kelas permainan (supermodular), di mana orang seterusnya yang menyertai pasukan besar membawa kemenangan yang lebih besar kepadanya. Inti sentiasa tidak kosong dan merupakan gabungan cembung mata (dalam kes kami, 6 mata). Vektor Shapley terletak di tengah-tengah nukleus. Ia sentiasa boleh ditawarkan sebagai penyelesaian, tiada siapa yang akan menentangnya.
Pada tahun 1973, telah terbukti bahawa masalah dengan kotej adalah supermodular.
Semua n orang berkongsi jalan ke pondok pertama. Sehingga kedua - n-1 orang. Dan lain-lain.
Lapangan terbang mempunyai landasan. Syarikat yang berbeza memerlukan panjang yang berbeza. Masalah yang sama timbul.
Saya berpendapat bahawa mereka yang menganugerahkan Hadiah Nobel mempunyai merit ini dalam fikiran, dan bukan hanya tugas margin.
Thank you!
Lebih banyak lagi
- Saluran "Math - Simple":
- Saluran "Savvateev tanpa sempadan": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Awam "Matematik adalah mudah":
- "Ahli Matematik bergurau" awam:
- Laman web, semua kuliah di sana +100 pelajaran dan banyak lagi: savvateev.xyz
Sumber: www.habr.com