🥇సాధారణ సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

వ్యాసం సాధారణ (జత) రిగ్రెషన్ లైన్ యొక్క గణిత సమీకరణాన్ని నిర్ణయించడానికి అనేక మార్గాలను చర్చిస్తుంది.

ఇక్కడ చర్చించబడిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే అన్ని పద్ధతులు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిపై ఆధారపడి ఉంటాయి. పద్ధతులను ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తాము:

విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం
గ్రేడియంట్ డీసెంట్
యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతి

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రతి పద్ధతికి, వ్యాసం వివిధ విధులను అందిస్తుంది, ఇవి ప్రధానంగా లైబ్రరీని ఉపయోగించకుండా వ్రాసిన వాటిగా విభజించబడ్డాయి. నంపి మరియు లెక్కల కోసం ఉపయోగించేవి నంపి. ఇది నైపుణ్యంతో ఉపయోగించబడుతుందని నమ్ముతారు నంపి కంప్యూటింగ్ ఖర్చులను తగ్గిస్తుంది.

వ్యాసంలో ఇవ్వబడిన అన్ని కోడ్ భాషలో వ్రాయబడింది పైథాన్ 2.7 ఉపయోగించి జూపిటర్ నోట్బుక్. నమూనా డేటాతో సోర్స్ కోడ్ మరియు ఫైల్ పోస్ట్ చేయబడ్డాయి గితుబ్

ఆర్టిఫిషియల్ ఇంటెలిజెన్స్ - మెషిన్ లెర్నింగ్‌లో చాలా విస్తృతమైన విభాగం అధ్యయనంలో ప్రావీణ్యం సంపాదించడం ప్రారంభించినవారికి మరియు ఇప్పటికే క్రమంగా ప్రావీణ్యం పొందడం ప్రారంభించిన వారికి వ్యాసం మరింత లక్ష్యంగా ఉంది.

పదార్థాన్ని వివరించడానికి, మేము చాలా సులభమైన ఉదాహరణను ఉపయోగిస్తాము.

ఉదాహరణ పరిస్థితులు

ఆధారపడటాన్ని వర్ణించే ఐదు విలువలు మనకు ఉన్నాయి Y от X (టేబుల్ నం. 1):

టేబుల్ నం. 1 “ఉదాహరణ పరిస్థితులు”

మేము విలువలు అని ఊహిస్తాము సంవత్సరం యొక్క నెల, మరియు - ఈ నెల ఆదాయం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆదాయం సంవత్సరంలోని నెలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు - ఆదాయం ఆధారపడి ఉండే ఏకైక సంకేతం.

ఉదాహరణ అలా ఉంది, సంవత్సరం నెలలో ఆదాయం యొక్క షరతులతో కూడిన ఆధారపడటం మరియు విలువల సంఖ్య యొక్క కోణం నుండి - వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి. అయినప్పటికీ, అటువంటి సరళీకరణ, వారు చెప్పినట్లుగా, ఎల్లప్పుడూ సులభంగా కాకుండా, ప్రారంభకులు సమీకరించే విషయాన్ని వివరించడం సాధ్యం చేస్తుంది. మరియు సంఖ్యల సరళత గణనీయమైన శ్రమ ఖర్చులు లేకుండా కాగితంపై ఉదాహరణను పరిష్కరించాలనుకునే వారిని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణలో ఇవ్వబడిన ఆధారపడటం ఫారమ్ యొక్క సాధారణ (జత) రిగ్రెషన్ లైన్ యొక్క గణిత సమీకరణం ద్వారా బాగా అంచనా వేయబడుతుందని అనుకుందాం:

పేరు ఆదాయం వచ్చిన నెల, - నెలకు సంబంధించిన ఆదాయం, и అంచనా వేయబడిన లైన్ యొక్క రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్.

గుణకం గమనించండి తరచుగా అంచనా వేసిన రేఖ యొక్క వాలు లేదా ప్రవణత అని పిలుస్తారు; దీని ద్వారా మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది అది మారినప్పుడు .

సహజంగానే, ఉదాహరణలో మా పని సమీకరణంలో అటువంటి గుణకాలను ఎంచుకోవడం и , నిజమైన సమాధానాల నుండి నెలవారీగా మా లెక్కించిన రాబడి విలువల విచలనాలు, అనగా. నమూనాలో సమర్పించబడిన విలువలు తక్కువగా ఉంటాయి.

తక్కువ చదరపు పద్ధతి

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ప్రకారం, విచలనాన్ని స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా లెక్కించాలి. విచలనాలు వ్యతిరేక సంకేతాలను కలిగి ఉంటే పరస్పర రద్దును నివారించడానికి ఈ సాంకేతికత మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక సందర్భంలో ఉంటే, విచలనం +5 (ప్లస్ ఐదు), మరియు మరొకటి -5 (మైనస్ ఐదు), అప్పుడు విచలనాల మొత్తం ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడుతుంది మరియు మొత్తం 0 (సున్నా) అవుతుంది. విచలనాన్ని వర్గీకరించడం సాధ్యం కాదు, కానీ మాడ్యులస్ యొక్క ఆస్తిని ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుంది, ఆపై అన్ని విచలనాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి మరియు పేరుకుపోతాయి. మేము ఈ అంశంపై వివరంగా నివసించము, కానీ గణనల సౌలభ్యం కోసం, విచలనాన్ని వర్గీకరించడం ఆచారం అని సూచిస్తుంది.

ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది, దీనితో మేము స్క్వేర్డ్ విచలనాల (లోపాలు) యొక్క అతి తక్కువ మొత్తాన్ని నిర్ణయిస్తాము:

పేరు నిజమైన సమాధానాల ఉజ్జాయింపు యొక్క విధి (అంటే, మేము లెక్కించిన ఆదాయం),

నిజమైన సమాధానాలు (నమూనాలో అందించబడిన ఆదాయం),

నమూనా సూచిక (విచలనం నిర్ణయించబడిన నెల సంఖ్య)

ఫంక్షన్‌ను వేరు చేద్దాం, పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలను నిర్వచించండి మరియు విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారానికి వెళ్లడానికి సిద్ధంగా ఉండండి. అయితే ముందుగా, భేదం అంటే ఏమిటి మరియు ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని గుర్తుంచుకోండి.

భేదం

భేదం అనేది ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్.

ఉత్పన్నం దేనికి ఉపయోగించబడుతుంది? ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును వర్ణిస్తుంది మరియు దాని దిశను మాకు తెలియజేస్తుంది. ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది లేకపోతే, ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది. మరియు సంపూర్ణ ఉత్పన్నం యొక్క ఎక్కువ విలువ, ఫంక్షన్ విలువల మార్పు రేటు ఎక్కువగా ఉంటుంది, అలాగే ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క వాలు కూడా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క పరిస్థితులలో, పాయింట్ M(0,0) వద్ద ఉత్పన్నం విలువ సమానంగా ఉంటుంది + 25 ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద, విలువ మారినప్పుడు అని అర్థం సంప్రదాయ యూనిట్ ద్వారా కుడి వైపున, విలువ 25 సంప్రదాయ యూనిట్లు పెరుగుతుంది. గ్రాఫ్‌లో విలువలు బాగా పెరిగినట్లు కనిపిస్తోంది ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి.

మరొక ఉదాహరణ. ఉత్పన్న విలువ సమానంగా ఉంటుంది -0,1 స్థానభ్రంశం చెందినప్పుడు అని అర్థం ఒక సంప్రదాయ యూనిట్, విలువ 0,1 సంప్రదాయ యూనిట్ మాత్రమే తగ్గుతుంది. అదే సమయంలో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో, మనం గుర్తించదగిన క్రిందికి వాలును గమనించవచ్చు. పర్వతంతో సారూప్యతను గీయడం, మేము చాలా నిటారుగా ఉన్న శిఖరాలను అధిరోహించాల్సిన మునుపటి ఉదాహరణ వలె కాకుండా, మేము చాలా నెమ్మదిగా పర్వతం నుండి సున్నితమైన వాలును దిగుతున్నట్లు అనిపిస్తుంది :)

అందువలన, ఫంక్షన్ భేదం తర్వాత అసమానత ద్వారా и , మేము 1వ ఆర్డర్ పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలను నిర్వచించాము. సమీకరణాలను నిర్ణయించిన తర్వాత, మేము రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను అందుకుంటాము, దానిని పరిష్కరించడం ద్వారా మేము అటువంటి గుణకాల విలువలను ఎంచుకోగలుగుతాము. и , దీని కోసం ఇచ్చిన పాయింట్ల వద్ద సంబంధిత ఉత్పన్నాల విలువలు చాలా చాలా తక్కువ మొత్తంలో మారతాయి మరియు విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం విషయంలో అస్సలు మారవు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కనుగొనబడిన గుణకాలలో లోపం ఫంక్షన్ కనిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది, ఎందుకంటే ఈ పాయింట్ల వద్ద పాక్షిక ఉత్పన్నాల విలువలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

కాబట్టి, భేదం యొక్క నియమాల ప్రకారం, గుణకానికి సంబంధించి 1వ క్రమం యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్న సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:

సంబంధించి 1వ ఆర్డర్ పాక్షిక ఉత్పన్న సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:

ఫలితంగా, మేము చాలా సరళమైన విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్న సమీకరణాల వ్యవస్థను అందుకున్నాము:

ప్రారంభం{సమీకరణం*}
ప్రారంభం{కేసులు}
na + bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i = 0

sumlimits_{i=1}^nx_i(a +bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i) = 0
ముగింపు{కేసులు}
ముగింపు{సమీకరణం*}

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ముందు, ముందుగా లోడ్ చేసి, లోడింగ్ సరిగ్గా ఉందో లేదో తనిఖీ చేసి, డేటాను ఫార్మాట్ చేద్దాం.

డేటాను లోడ్ చేస్తోంది మరియు ఫార్మాటింగ్ చేస్తోంది

విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం కోసం మరియు తదనంతరం గ్రేడియంట్ మరియు యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతికి సంబంధించిన వాస్తవం కారణంగా, మేము కోడ్‌ను రెండు వైవిధ్యాలలో ఉపయోగిస్తాము: లైబ్రరీని ఉపయోగించడం నంపి మరియు దానిని ఉపయోగించకుండా, మాకు తగిన డేటా ఫార్మాటింగ్ అవసరం (కోడ్ చూడండి).

డేటా లోడ్ మరియు ప్రాసెసింగ్ కోడ్

# импортируем все нужные нам библиотеки
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import pylab as pl
import random

# графики отобразим в Jupyter
%matplotlib inline

# укажем размер графиков
from pylab import rcParams
rcParams['figure.figsize'] = 12, 6

# отключим предупреждения Anaconda
import warnings
warnings.simplefilter('ignore')

# загрузим значения
table_zero = pd.read_csv('data_example.txt', header=0, sep='t')

# посмотрим информацию о таблице и на саму таблицу
print table_zero.info()
print '********************************************'
print table_zero
print '********************************************'

# подготовим данные без использования NumPy

x_us = []
[x_us.append(float(i)) for i in table_zero['x']]
print x_us
print type(x_us)
print '********************************************'

y_us = []
[y_us.append(float(i)) for i in table_zero['y']]
print y_us
print type(y_us)
print '********************************************'

# подготовим данные с использованием NumPy

x_np = table_zero[['x']].values
print x_np
print type(x_np)
print x_np.shape
print '********************************************'

y_np = table_zero[['y']].values
print y_np
print type(y_np)
print y_np.shape
print '********************************************'

విజువలైజేషన్

ఇప్పుడు, మేము మొదట, డేటాను లోడ్ చేసిన తర్వాత, రెండవది, లోడింగ్ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేసి, చివరకు డేటాను ఫార్మాట్ చేసిన తర్వాత, మేము మొదటి విజువలైజేషన్‌ను నిర్వహిస్తాము. దీని కోసం తరచుగా ఉపయోగించే పద్ధతి జంట ప్లాట్లు గ్రంధాలయాలు సీబోర్న్. మా ఉదాహరణలో, పరిమిత సంఖ్యల కారణంగా, లైబ్రరీని ఉపయోగించడంలో అర్థం లేదు సీబోర్న్. మేము సాధారణ లైబ్రరీని ఉపయోగిస్తాము మాట్‌ప్లోట్‌లిబ్ మరియు స్కాటర్‌ప్లాట్‌ను చూడండి.

స్కాటర్‌ప్లాట్ కోడ్

print 'График №1 "Зависимость выручки от месяца года"'

plt.plot(x_us,y_us,'o',color='green',markersize=16)
plt.xlabel('$Months$', size=16)
plt.ylabel('$Sales$', size=16)
plt.show()

చార్ట్ నం. 1 “సంవత్సరం నెలపై రాబడిపై ఆధారపడటం”

విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం

లో అత్యంత సాధారణ సాధనాలను ఉపయోగిస్తాము పైథాన్ మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

ప్రారంభం{సమీకరణం*}
ప్రారంభం{కేసులు}
na + bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i = 0

sumlimits_{i=1}^nx_i(a +bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i) = 0
ముగింపు{కేసులు}
ముగింపు{సమీకరణం*}

క్రామెర్ నియమం ప్రకారం మేము సాధారణ నిర్ణాయకం, అలాగే నిర్ణాయకాలను కనుగొంటాము మరియు ద్వారా , దీని తర్వాత, డిటర్మినేట్‌ను విభజించడం సాధారణ నిర్ణాయకానికి - గుణకాన్ని కనుగొనండి , అదేవిధంగా మేము గుణకాన్ని కనుగొంటాము .

విశ్లేషణాత్మక పరిష్కార కోడ్

# определим функцию для расчета коэффициентов a и b по правилу Крамера
def Kramer_method (x,y):
        # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x)
        # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y)
        # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x[i]*y[i]) for i in range(len(x))]
    sxy = sum(list_xy)
        # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x[i]**2) for i in range(len(x))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
        # количество значений
    n = len(x)
        # общий определитель
    det = sx_sq*n - sx*sx
        # определитель по a
    det_a = sx_sq*sy - sx*sxy
        # искомый параметр a
    a = (det_a / det)
        # определитель по b
    det_b = sxy*n - sy*sx
        # искомый параметр b
    b = (det_b / det)
        # контрольные значения (прооверка)
    check1 = (n*b + a*sx - sy)
    check2 = (b*sx + a*sx_sq - sxy)
    return [round(a,4), round(b,4)]

# запустим функцию и запишем правильные ответы
ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
a_us = ab_us[0]
b_us = ab_us[1]
print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Оптимальные значения коэффициентов a и b:"  + ' 33[0m' 
print 'a =', a_us
print 'b =', b_us
print

# определим функцию для подсчета суммы квадратов ошибок
def errors_sq_Kramer_method(answers,x,y):
    list_errors_sq = []
    for i in range(len(x)):
        err = (answers[0] + answers[1]*x[i] - y[i])**2
        list_errors_sq.append(err)
    return sum(list_errors_sq)

# запустим функцию и запишем значение ошибки
error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab_us,x_us,y_us)
print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений" + ' 33[0m'
print error_sq
print

# замерим время расчета
# print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения расчета суммы квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
# % timeit error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us)

మాకు లభించినవి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

కాబట్టి, గుణకాల విలువలు కనుగొనబడ్డాయి, స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్థాపించబడింది. కనుగొనబడిన కోఎఫీషియంట్‌లకు అనుగుణంగా స్కాటరింగ్ హిస్టోగ్రామ్‌పై సరళ రేఖను గీయండి.

రిగ్రెషన్ లైన్ కోడ్

# определим функцию для формирования массива рассчетных значений выручки
def sales_count(ab,x,y):
    line_answers = []
    [line_answers.append(ab[0]+ab[1]*x[i]) for i in range(len(x))]
    return line_answers

# построим графики
print 'Грфик№2 "Правильные и расчетные ответы"'
plt.plot(x_us,y_us,'o',color='green',markersize=16, label = '$True$ $answers$')
plt.plot(x_us, sales_count(ab_us,x_us,y_us), color='red',lw=4,
         label='$Function: a + bx,$ $where$ $a='+str(round(ab_us[0],2))+',$ $b='+str(round(ab_us[1],2))+'$')
plt.xlabel('$Months$', size=16)
plt.ylabel('$Sales$', size=16)
plt.legend(loc=1, prop={'size': 16})
plt.show()

చార్ట్ నం. 2 “సరైన మరియు లెక్కించిన సమాధానాలు”

మీరు ప్రతి నెల విచలన గ్రాఫ్‌ని చూడవచ్చు. మా విషయంలో, మేము దాని నుండి ఎటువంటి ముఖ్యమైన ఆచరణాత్మక విలువను పొందలేము, కానీ సాధారణ సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణం సంవత్సరంలో నెలలో రాబడిపై ఆధారపడటాన్ని ఎంతవరకు వర్ణిస్తుంది అనే దాని గురించి మేము మా ఉత్సుకతను సంతృప్తి పరుస్తాము.

విచలనం చార్ట్ కోడ్

# определим функцию для формирования массива отклонений в процентах
def error_per_month(ab,x,y):
    sales_c = sales_count(ab,x,y)
    errors_percent = []
    for i in range(len(x)):
        errors_percent.append(100*(sales_c[i]-y[i])/y[i])
    return errors_percent

# построим график
print 'График№3 "Отклонения по-месячно, %"'
plt.gca().bar(x_us, error_per_month(ab_us,x_us,y_us), color='brown')
plt.xlabel('Months', size=16)
plt.ylabel('Calculation error, %', size=16)
plt.show()

చార్ట్ నం. 3 “విచలనాలు, %”

పరిపూర్ణంగా లేదు, కానీ మేము మా పనిని పూర్తి చేసాము.

కోఎఫీషియంట్‌లను నిర్ణయించడానికి ఒక ఫంక్షన్‌ని వ్రాద్దాం и లైబ్రరీని ఉపయోగిస్తుంది నంపి, మరింత ఖచ్చితంగా, మేము రెండు ఫంక్షన్లను వ్రాస్తాము: ఒకటి సూడోఇన్వర్స్ మాతృకను ఉపయోగిస్తుంది (ఆచరణలో సిఫార్సు చేయబడదు, ప్రక్రియ గణనపరంగా సంక్లిష్టమైనది మరియు అస్థిరంగా ఉంటుంది కాబట్టి), మరొకటి మాతృక సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.

విశ్లేషణాత్మక పరిష్కార కోడ్ (NumPy)

# для начала добавим столбец с не изменяющимся значением в 1. 
# Данный столбец нужен для того, чтобы не обрабатывать отдельно коэффицент a
vector_1 = np.ones((x_np.shape[0],1))
x_np = table_zero[['x']].values # на всякий случай приведем в первичный формат вектор x_np
x_np = np.hstack((vector_1,x_np))

# проверим то, что все сделали правильно
print vector_1[0:3]
print x_np[0:3]
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая определяет значения коэффициентов a и b с использованием псевдообратной матрицы
def pseudoinverse_matrix(X, y):
    # задаем явный формат матрицы признаков
    X = np.matrix(X)
    # определяем транспонированную матрицу
    XT = X.T
    # определяем квадратную матрицу
    XTX = XT*X
    # определяем псевдообратную матрицу
    inv = np.linalg.pinv(XTX)
    # задаем явный формат матрицы ответов
    y = np.matrix(y)
    # находим вектор весов
    return (inv*XT)*y

# запустим функцию
ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print ab_np
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая использует для решения матричное уравнение
def matrix_equation(X,y):
    a = np.dot(X.T, X)
    b = np.dot(X.T, y)
    return np.linalg.solve(a, b)

# запустим функцию
ab_np = matrix_equation(x_np,y_np)
print ab_np

గుణకాలను నిర్ణయించడానికి గడిపిన సమయాన్ని సరిపోల్చండి и , సమర్పించబడిన 3 పద్ధతులకు అనుగుణంగా.

గణన సమయాన్ని లెక్కించడానికి కోడ్

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов без использования библиотеки NumPy:" + ' 33[0m'
% timeit ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
print '***************************************'
print
print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием псевдообратной матрицы:" + ' 33[0m'
%timeit ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print '***************************************'
print
print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием матричного уравнения:" + ' 33[0m'
%timeit ab_np = matrix_equation(x_np, y_np)

తక్కువ మొత్తంలో డేటాతో, "స్వీయ-వ్రాతపూర్వక" ఫంక్షన్ ముందుకు వస్తుంది, ఇది క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి గుణకాలను కనుగొంటుంది.

ఇప్పుడు మీరు గుణకాలను కనుగొనడానికి ఇతర మార్గాలకు వెళ్లవచ్చు и .

గ్రేడియంట్ డీసెంట్

ముందుగా, గ్రేడియంట్ అంటే ఏమిటో నిర్వచిద్దాం. సరళంగా చెప్పాలంటే, గ్రేడియంట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పెరుగుదల దిశను సూచించే విభాగం. పర్వతాన్ని అధిరోహించడంతో సారూప్యతతో, పర్వతం పైకి ఎక్కడానికి ఏటవాలు ఏటవాలు ఉన్న చోట ప్రవణత ఉంటుంది. పర్వతంతో ఉదాహరణను అభివృద్ధి చేయడం, వాస్తవానికి వీలైనంత త్వరగా లోతట్టు ప్రాంతాలకు చేరుకోవడానికి మనకు నిటారుగా ఉన్న అవరోహణ అవసరమని మేము గుర్తుంచుకుంటాము, అనగా కనిష్టంగా - ఫంక్షన్ పెరగని లేదా తగ్గని ప్రదేశం. ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, మనకు గ్రేడియంట్ అవసరం లేదు, కానీ యాంటీగ్రేడియంట్. యాంటీగ్రేడియంట్‌ను కనుగొనడానికి మీరు గ్రేడియంట్‌ను గుణించాలి -1 (మైనస్ ఒకటి).

ఒక ఫంక్షన్ అనేక కనిష్టాలను కలిగి ఉండగలదనే వాస్తవాన్ని దృష్టిలో ఉంచుదాం మరియు దిగువ ప్రతిపాదించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి వాటిలో ఒకదానిలోకి దిగిన తర్వాత, మేము మరొక కనిష్టాన్ని కనుగొనలేము, ఇది కనుగొనబడిన దానికంటే తక్కువగా ఉండవచ్చు. విశ్రాంతి తీసుకుందాం, ఇది మాకు ముప్పు కాదు! మా విషయంలో మేము మా ఫంక్షన్ నుండి ఒకే కనిష్టంగా వ్యవహరిస్తున్నాము గ్రాఫ్‌లో సాధారణ పారాబొలా ఉంటుంది. మరియు మన పాఠశాల గణిత శాస్త్ర కోర్సు నుండి మనమందరం బాగా తెలుసుకోవలసినట్లుగా, పారాబొలాకు కనీసం ఒక్కటే ఉంటుంది.

మనకు గ్రేడియంట్ ఎందుకు అవసరమో మరియు గ్రేడియంట్ అనేది ఒక సెగ్మెంట్ అని మేము కనుగొన్న తర్వాత, అదే కోఎఫీషియంట్‌లు ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన వెక్టర్ и మేము గ్రేడియంట్ సంతతిని అమలు చేయవచ్చు.

ప్రారంభించడానికి ముందు, సంతతి అల్గోరిథం గురించి కొన్ని వాక్యాలను చదవమని నేను సూచిస్తున్నాను:

మేము గుణకాల యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నకిలీ-యాదృచ్ఛిక పద్ధతిలో నిర్ణయిస్తాము и . మా ఉదాహరణలో, మేము సున్నాకి సమీపంలో ఉన్న గుణకాలను నిర్వచిస్తాము. ఇది సాధారణ అభ్యాసం, కానీ ప్రతి సందర్భంలో దాని స్వంత అభ్యాసం ఉండవచ్చు.
కోఆర్డినేట్ నుండి పాయింట్ వద్ద 1వ ఆర్డర్ పాక్షిక ఉత్పన్నం యొక్క విలువను తీసివేయండి . కాబట్టి, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. అందువల్ల, ఉత్పన్నం యొక్క విలువను తీసివేయడం ద్వారా, మేము పెరుగుదల యొక్క వ్యతిరేక దిశలో అంటే, అవరోహణ దిశలో వెళ్తాము. ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది మరియు ఉత్పన్నం యొక్క విలువను తీసివేయడం ద్వారా మనం అవరోహణ దిశలో వెళ్తాము.
మేము కోఆర్డినేట్‌తో ఇలాంటి ఆపరేషన్‌ను చేస్తాము : పాయింట్ వద్ద పాక్షిక ఉత్పన్నం యొక్క విలువను తీసివేయండి .
కనిష్టంగా జంప్ ఓవర్ మరియు లోతైన అంతరిక్షంలోకి ఎగరకుండా ఉండటానికి, అవరోహణ దిశలో దశల పరిమాణాన్ని సెట్ చేయడం అవసరం. సాధారణంగా, మీరు గణన ఖర్చులను తగ్గించడానికి దశను ఎలా సరిగ్గా సెట్ చేయాలి మరియు అవరోహణ ప్రక్రియలో దాన్ని ఎలా మార్చాలి అనే దాని గురించి మొత్తం కథనాన్ని వ్రాయవచ్చు. కానీ ఇప్పుడు మన ముందు కొంచెం భిన్నమైన పని ఉంది మరియు మేము "పొక్" యొక్క శాస్త్రీయ పద్ధతిని ఉపయోగించి దశల పరిమాణాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాము లేదా వారు సాధారణ పరిభాషలో చెప్పినట్లు, అనుభవపూర్వకంగా.
ఒకసారి మేము ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వచ్చాము и ఉత్పన్నాల విలువలను తీసివేయండి, మేము కొత్త కోఆర్డినేట్‌లను పొందుతాము и . మేము ఇప్పటికే లెక్కించిన కోఆర్డినేట్‌ల నుండి తదుపరి దశ (వ్యవకలనం) తీసుకుంటాము. కాబట్టి అవసరమైన కన్వర్జెన్స్ సాధించే వరకు చక్రం మళ్లీ మళ్లీ ప్రారంభమవుతుంది.

అన్నీ! ఇప్పుడు మేము మరియానా ట్రెంచ్ యొక్క లోతైన లోయను వెతకడానికి సిద్ధంగా ఉన్నాము. ప్రారంభిద్దాం.

ప్రవణత సంతతికి సంబంధించిన కోడ్

# напишем функцию градиентного спуска без использования библиотеки NumPy. 
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x_us)
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y_us)
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x_us[i]*y_us[i]) for i in range(len(x_us))]
    sxy = sum(list_xy)
    # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x_us[i]**2) for i in range(len(x_us))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
    # количество значений
    num = len(x_us)
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = [a,b]
        errors.append(errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001)


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + ' 33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print



print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + ' 33[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print

మేము మరియానా ట్రెంచ్ దిగువకు డైవ్ చేసాము మరియు అక్కడ మేము ఒకే గుణకం విలువలను కనుగొన్నాము и , ఇది ఖచ్చితంగా ఊహించినది.

మరో డైవ్ చేద్దాం, ఈసారి మాత్రమే, మన డీప్-సీ వాహనం ఇతర సాంకేతికతలతో నిండి ఉంటుంది, అవి లైబ్రరీ నంపి.

ప్రవణత సంతతికి సంబంధించిన కోడ్ (NumPy)

# перед тем определить функцию для градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy, 
# напишем функцию определения суммы квадратов отклонений также с использованием NumPy
def error_square_numpy(ab,x_np,y_np):
    y_pred = np.dot(x_np,ab)
    error = y_pred - y_np
    return sum((error)**2)

# напишем функцию градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy. 
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = float(sum(x_np[:,1]))
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = float(sum(y_np))
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    sxy = x_np*y_np
    sxy = float(sum(sxy[:,1]))
    # сумма квадратов значений
    sx_sq = float(sum(x_np[:,1]**2))
    # количество значений
    num = float(x_np.shape[0])
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = np.array([[a],[b]])
        errors.append(error_square_numpy(ab,x_np,y_np))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + ' 33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + ' 33[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print

గుణకం విలువలు и మార్చలేని.

గ్రేడియంట్ అవరోహణ సమయంలో లోపం ఎలా మారిందో చూద్దాం, అంటే ప్రతి దశకు స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం ఎలా మారుతుందో చూద్దాం.

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాలను ప్లాట్ చేయడానికి కోడ్

print 'График№4 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_gradient_descence[1])), list_parametres_gradient_descence[1], color='red', lw=3)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

గ్రాఫ్ నం. 4 “గ్రేడియంట్ అవరోహణ సమయంలో స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం”

గ్రాఫ్‌లో ప్రతి దశతో లోపం తగ్గుతుందని మేము చూస్తాము మరియు నిర్దిష్ట సంఖ్యలో పునరావృత్తులు తర్వాత మేము దాదాపు క్షితిజ సమాంతర రేఖను గమనిస్తాము.

చివరగా, కోడ్ అమలు సమయంలో తేడాను అంచనా వేద్దాం:

గ్రేడియంట్ అవరోహణ గణన సమయాన్ని నిర్ణయించడానికి కోడ్

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:" + ' 33[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001)
print '***************************************'
print

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Время выполнения градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:" + ' 33[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)

బహుశా మేము ఏదో తప్పు చేస్తున్నాము, కానీ మళ్ళీ ఇది లైబ్రరీని ఉపయోగించని సాధారణ "ఇంటికి వ్రాసిన" ఫంక్షన్ నంపి లైబ్రరీని ఉపయోగించి ఫంక్షన్ యొక్క గణన సమయాన్ని అధిగమిస్తుంది నంపి.

కానీ మేము నిశ్చలంగా లేము, కానీ సరళమైన సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మరొక ఉత్తేజకరమైన మార్గాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి కదులుతున్నాము. కలుసుకోవడం!

యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతి

యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతి యొక్క ఆపరేషన్ సూత్రాన్ని త్వరగా అర్థం చేసుకోవడానికి, సాధారణ ప్రవణత సంతతి నుండి దాని వ్యత్యాసాలను గుర్తించడం మంచిది. మేము, గ్రేడియంట్ అవరోహణ విషయంలో, ఉత్పన్నాల సమీకరణాలలో и నమూనాలో అందుబాటులో ఉన్న అన్ని లక్షణాల విలువలు మరియు నిజమైన సమాధానాల మొత్తాలను ఉపయోగించారు (అంటే, అన్ని మొత్తాలు и ) యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతిలో, మేము నమూనాలో ఉన్న అన్ని విలువలను ఉపయోగించము, బదులుగా, నకిలీ-యాదృచ్ఛికంగా నమూనా సూచిక అని పిలవబడే దాన్ని ఎంచుకుని దాని విలువలను ఉపయోగిస్తాము.

ఉదాహరణకు, సూచిక సంఖ్య 3 (మూడు)గా నిర్ణయించబడితే, మేము విలువలను తీసుకుంటాము и , అప్పుడు మేము విలువలను ఉత్పన్న సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము మరియు కొత్త కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయిస్తాము. అప్పుడు, కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించిన తర్వాత, మేము మళ్లీ నకిలీ-యాదృచ్ఛికంగా నమూనా సూచికను నిర్ణయిస్తాము, ఇండెక్స్‌కు సంబంధించిన విలువలను పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము మరియు కోఆర్డినేట్‌లను కొత్త మార్గంలో నిర్ణయిస్తాము. и మొదలైనవి కన్వర్జెన్స్ ఆకుపచ్చగా మారే వరకు. మొదటి చూపులో, ఇది అస్సలు పని చేస్తుందని అనిపించకపోవచ్చు, కానీ అది చేస్తుంది. అడుగడుగునా లోపం తగ్గకపోగా, కచ్చితంగా ఓ ధోరణి కనిపిస్తుందనేది వాస్తవమే.

సాంప్రదాయిక కంటే యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతి యొక్క ప్రయోజనాలు ఏమిటి? మా నమూనా పరిమాణం చాలా పెద్దది మరియు పదివేల విలువలతో కొలవబడినట్లయితే, మొత్తం నమూనా కంటే యాదృచ్ఛికంగా వెయ్యిని ప్రాసెస్ చేయడం చాలా సులభం. ఇక్కడే యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతి అమలులోకి వస్తుంది. మా విషయంలో, వాస్తవానికి, మేము చాలా తేడాను గమనించలేము.

కోడ్ చూద్దాం.

యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతికి సంబంధించిన కోడ్

# определим функцию стох.град.шага
def stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l):
#     выбираем значение икс, которое соответствует случайному значению параметра ind 
# (см.ф-цию stoch_grad_descent_usual)
    x = x_us[ind]
#     рассчитывыаем значение y (выручку), которая соответствует выбранному значению x
    y_pred = vector_init[0] + vector_init[1]*x_us[ind]
#     вычисляем ошибку расчетной выручки относительно представленной в выборке
    error = y_pred - y_us[ind]
#     определяем первую координату градиента ab
    grad_a = error
#     определяем вторую координату ab
    grad_b = x_us[ind]*error
#     вычисляем новый вектор коэффициентов
    vector_new = [vector_init[0]-l*grad_a, vector_init[1]-l*grad_b]
    return vector_new


# определим функцию стох.град.спуска
def stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.1, steps = 800):
#     для самого начала работы функции зададим начальные значения коэффициентов
    vector_init = [float(random.uniform(-0.5, 0.5)), float(random.uniform(-0.5, 0.5))]
    errors = []
#     запустим цикл спуска
# цикл расчитан на определенное количество шагов (steps)
    for i in range(steps):
        ind = random.choice(range(len(x_us)))
        new_vector = stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(errors_sq_Kramer_method(vector_init,x_us,y_us))
    return (vector_init),(errors)


# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.1, steps = 800)

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + ' 33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + ' 33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])

మేము గుణకాలను జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తాము మరియు “ఇది ఎలా ఉంటుంది?” అనే ప్రశ్నను అడుగుతున్నాము. మేము ఇతర గుణకం విలువలను పొందాము и . బహుశా యాదృచ్ఛిక గ్రేడియంట్ అవరోహణ సమీకరణం కోసం మరింత అనుకూలమైన పారామితులను కనుగొనిందా? దురదృష్టవశాత్తు కాదు. స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని చూడటం మరియు గుణకాల యొక్క కొత్త విలువలతో, లోపం ఎక్కువగా ఉండేలా చూడటం సరిపోతుంది. మేము నిరాశకు తొందరపడము. లోపం మార్పు యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతిలో స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని ప్లాట్ చేయడానికి కోడ్

print 'График №5 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

గ్రాఫ్ నం. 5 “యాదృచ్ఛిక గ్రేడియంట్ అవరోహణ సమయంలో స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం”

షెడ్యూల్‌ను పరిశీలిస్తే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది మరియు ఇప్పుడు మేము ప్రతిదీ పరిష్కరిస్తాము.

కాబట్టి ఏమి జరిగింది? కిందిది జరిగింది. మేము యాదృచ్ఛికంగా నెలను ఎంచుకున్నప్పుడు, మా అల్గోరిథం ఆదాయాన్ని లెక్కించడంలో లోపాన్ని తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. అప్పుడు మేము మరొక నెలను ఎంచుకుంటాము మరియు గణనను పునరావృతం చేస్తాము, కానీ రెండవ ఎంచుకున్న నెలలో మేము లోపాన్ని తగ్గిస్తాము. ఇప్పుడు మొదటి రెండు నెలలు సాధారణ లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణ రేఖ నుండి గణనీయంగా వైదొలగాలని గుర్తుంచుకోండి. దీనర్థం ఈ రెండు నెలల్లో దేనినైనా ఎంచుకున్నప్పుడు, వాటిలో ప్రతి దానిలోని లోపాన్ని తగ్గించడం ద్వారా, మా అల్గోరిథం మొత్తం నమూనా కోసం ఎర్రర్‌ను తీవ్రంగా పెంచుతుంది. కాబట్టి ఏమి చేయాలి? సమాధానం సులభం: మీరు అవరోహణ దశను తగ్గించాలి. అన్నింటికంటే, అవరోహణ దశను తగ్గించడం ద్వారా, లోపం పైకి క్రిందికి "జంపింగ్" కూడా ఆపివేస్తుంది. లేదా బదులుగా, "జంపింగ్" లోపం ఆగదు, కానీ అది అంత త్వరగా చేయదు :) తనిఖీ చేద్దాం.

చిన్న ఇంక్రిమెంట్‌లతో SGDని అమలు చేయడానికి కోడ్

# запустим функцию, уменьшив шаг в 100 раз и увеличив количество шагов соответсвующе 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + ' 33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + ' 33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])

print 'График №6 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

గ్రాఫ్ నం. 6 "స్థాపక ప్రవణత అవరోహణ సమయంలో స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం (80 వేల దశలు)"

గుణకాలు మెరుగుపడ్డాయి, కానీ ఇప్పటికీ ఆదర్శంగా లేవు. ఊహాత్మకంగా, ఈ విధంగా సరిదిద్దవచ్చు. ఉదాహరణకు, మేము గత 1000 పునరావృతాలలో కనీస లోపం చేసిన గుణకాల విలువలను ఎంచుకుంటాము. నిజమే, దీని కోసం మనం గుణకాల విలువలను కూడా వ్రాయవలసి ఉంటుంది. మేము దీన్ని చేయము, కానీ షెడ్యూల్‌పై శ్రద్ధ వహించండి. ఇది మృదువుగా కనిపిస్తుంది మరియు లోపం సమానంగా తగ్గుతుంది. నిజానికి ఇది నిజం కాదు. మొదటి 1000 పునరావృతాలను చూద్దాం మరియు వాటిని చివరి వాటితో పోల్చండి.

SGD చార్ట్ కోసం కోడ్ (మొదటి 1000 దశలు)

print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Первые 1000 итераций"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Последние 1000 итераций"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

గ్రాఫ్ నం. 7 “స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం SGD (మొదటి 1000 దశలు)”

గ్రాఫ్ నం. 8 “స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం SGD (చివరి 1000 దశలు)”

అవరోహణ ప్రారంభంలో, మేము తప్పులో చాలా ఏకరీతి మరియు నిటారుగా తగ్గుదలని గమనించాము. చివరి పునరావృతాలలో, లోపం 1,475 విలువ చుట్టూ మరియు కొన్ని క్షణాలలో ఈ సరైన విలువకు సమానం అని మేము చూస్తాము, కానీ అది ఇంకా పెరుగుతుంది ... నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, మీరు విలువలను వ్రాయవచ్చు గుణకాలు и , ఆపై లోపం తక్కువగా ఉన్న వాటిని ఎంచుకోండి. అయినప్పటికీ, మాకు మరింత తీవ్రమైన సమస్య ఉంది: విలువలను సరైనదానికి దగ్గరగా పొందడానికి మేము 80 వేల దశలను (కోడ్ చూడండి) తీసుకోవాలి. మరియు ఇది ఇప్పటికే ప్రవణత సంతతికి సంబంధించి యాదృచ్ఛిక ప్రవణత సంతతితో గణన సమయాన్ని ఆదా చేసే ఆలోచనకు విరుద్ధంగా ఉంది. ఏమి సరిదిద్దవచ్చు మరియు మెరుగుపరచవచ్చు? మొదటి పునరావృతాలలో మనం నమ్మకంగా దిగజారిపోతున్నామని గమనించడం కష్టం కాదు, అందువల్ల, మొదటి పునరావృతాలలో పెద్ద దశను వదిలివేసి, ముందుకు సాగేటప్పుడు దశను తగ్గించాలి. మేము ఈ వ్యాసంలో దీన్ని చేయము - ఇది ఇప్పటికే చాలా పొడవుగా ఉంది. దీన్ని ఎలా చేయాలో కోరుకునే వారు స్వయంగా ఆలోచించగలరు, ఇది కష్టం కాదు :)

ఇప్పుడు లైబ్రరీని ఉపయోగించి యాదృచ్ఛిక గ్రేడియంట్ అవరోహణను చేద్దాం నంపి (మరియు మనం ముందుగా గుర్తించిన రాళ్లపై పొరపాట్లు చేయకూడదు)

యాదృచ్ఛిక గ్రేడియంట్ డీసెంట్ కోసం కోడ్ (NumPy)

# для начала напишем функцию градиентного шага
def stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l):
    x = X[ind]
    y_pred = np.dot(x,vector_init)
    err = y_pred - y[ind]
    grad_a = err
    grad_b = x[1]*err
    return vector_init - l*np.array([grad_a, grad_b])

# определим функцию стохастического градиентного спуска
def stoch_grad_descent_numpy(X, y, l=0.1, steps = 800):
    vector_init = np.array([[np.random.randint(X.shape[0])], [np.random.randint(X.shape[0])]])
    errors = []
    for i in range(steps):
        ind = np.random.randint(X.shape[0])
        new_vector = stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(error_square_numpy(vector_init,X,y))
    return (vector_init), (errors)

# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)

print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + ' 33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + ' 33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print ' 33[1m' + ' 33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + ' 33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])
print

ఉపయోగించకుండా అవరోహణ చేసినప్పుడు విలువలు దాదాపు ఒకే విధంగా మారాయి నంపి. అయితే, ఇది తార్కికం.

యాదృచ్ఛిక గ్రేడియంట్ అవరోహణలు మనకు ఎంత సమయం తీసుకున్నాయో తెలుసుకుందాం.

SGD గణన సమయాన్ని నిర్ణయించడానికి కోడ్ (80 వేల దశలు)

print ' 33[1m' + ' 33[4m' +
"Время выполнения стохастического градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:"
+ ' 33[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)
print '***************************************'
print

print ' 33[1m' + ' 33[4m' +
"Время выполнения стохастического градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:"
+ ' 33[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)

మరింత అడవిలోకి, మేఘాలు ముదురు: మళ్ళీ, "స్వీయ-వ్రాత" సూత్రం ఉత్తమ ఫలితాన్ని చూపుతుంది. లైబ్రరీని ఉపయోగించడానికి ఇంకా సూక్ష్మమైన మార్గాలు ఉండాలని ఇవన్నీ సూచిస్తున్నాయి నంపి, ఇది నిజంగా గణన కార్యకలాపాలను వేగవంతం చేస్తుంది. ఈ వ్యాసంలో మనం వాటి గురించి నేర్చుకోము. మీ ఖాళీ సమయంలో ఆలోచించడానికి ఏదైనా ఉంటుంది :)

సంగ్రహించేందుకు

సంగ్రహించే ముందు, మా ప్రియమైన రీడర్ నుండి ఎక్కువగా తలెత్తిన ప్రశ్నకు నేను సమాధానం ఇవ్వాలనుకుంటున్నాను. నిజానికి, అవరోహణలతో ఇటువంటి “హింసలు” ఎందుకు, ఐశ్వర్యవంతమైన లోతట్టును కనుగొనడానికి మనం పర్వతం పైకి క్రిందికి (ఎక్కువగా క్రిందికి) ఎందుకు నడవాలి, మన చేతిలో ఇంత శక్తివంతమైన మరియు సరళమైన పరికరం ఉంటే, విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం యొక్క రూపం, ఇది తక్షణమే మమ్మల్ని సరైన ప్రదేశానికి టెలిపోర్ట్ చేస్తుంది?

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఉపరితలంపై ఉంది. ఇప్పుడు మనం చాలా సులభమైన ఉదాహరణను చూశాము, అందులో నిజమైన సమాధానం ఒక గుర్తుపై ఆధారపడి ఉంటుంది . జీవితంలో మీరు దీన్ని తరచుగా చూడలేరు, కాబట్టి మనకు 2, 30, 50 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంకేతాలు ఉన్నాయని ఊహించుకుందాం. ప్రతి లక్షణానికి వేల లేదా పదివేల విలువలను జోడిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం పరీక్షను తట్టుకోకపోవచ్చు మరియు విఫలమవుతుంది. ప్రతిగా, గ్రేడియంట్ అవరోహణ మరియు దాని వైవిధ్యాలు నెమ్మదిగా కానీ ఖచ్చితంగా మనల్ని లక్ష్యానికి దగ్గరగా తీసుకువస్తాయి - ఫంక్షన్ యొక్క కనీస. మరియు వేగం గురించి చింతించకండి - మేము బహుశా దశల పొడవు (అంటే వేగం) సెట్ చేయడానికి మరియు నియంత్రించడానికి అనుమతించే మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.

మరియు ఇప్పుడు అసలు సంక్షిప్త సారాంశం.

మొదటగా, సరళమైన (మరియు మాత్రమే కాదు) లీనియర్ రిగ్రెషన్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో అర్థం చేసుకోవడంలో “డేటా సైంటిస్టులు” ప్రారంభించడంలో వ్యాసంలో సమర్పించబడిన మెటీరియల్ సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను.

రెండవది, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలను పరిశీలించాము. ఇప్పుడు, పరిస్థితిని బట్టి, సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉత్తమంగా సరిపోయేదాన్ని మనం ఎంచుకోవచ్చు.

మూడవది, మేము అదనపు సెట్టింగుల శక్తిని చూశాము, అవి గ్రేడియంట్ అవరోహణ దశ పొడవు. ఈ పరామితిని విస్మరించలేము. పైన పేర్కొన్న విధంగా, గణనల వ్యయాన్ని తగ్గించడానికి, అవరోహణ సమయంలో దశల పొడవును మార్చాలి.

నాల్గవది, మా విషయంలో, "హోమ్-వ్రాత" ఫంక్షన్లు గణనల కోసం ఉత్తమ సమయ ఫలితాలను చూపించాయి. ఇది బహుశా లైబ్రరీ యొక్క సామర్థ్యాలను వృత్తిపరంగా ఉపయోగించకపోవడం వల్ల కావచ్చు నంపి. అయితే, ఈ క్రింది ముగింపు స్వయంగా సూచిస్తుంది. ఒక వైపు, కొన్నిసార్లు స్థాపించబడిన అభిప్రాయాలను ప్రశ్నించడం విలువైనది, మరియు మరోవైపు, ప్రతిదీ క్లిష్టతరం చేయడం ఎల్లప్పుడూ విలువైనది కాదు - దీనికి విరుద్ధంగా, కొన్నిసార్లు సమస్యను పరిష్కరించడానికి సరళమైన మార్గం మరింత ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. మరియు సరళమైన సరళ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మూడు విధానాలను విశ్లేషించడం మా లక్ష్యం కాబట్టి, "స్వీయ-వ్రాతపూర్వక" ఫంక్షన్ల ఉపయోగం మాకు సరిపోతుంది.