“Als je de inscriptie ‘buffel’ op de kooi van een olifant leest, geloof dan je ogen niet.” Kozma Prutkov
In de vorige er werd aangetoond waarom een objectmodel nodig is, en het werd bewezen dat je zonder dit objectmodel alleen maar kunt spreken van modelgebaseerd ontwerp als een marketingstorm, zinloos en meedogenloos. Maar wanneer er een model van een object verschijnt, hebben competente ingenieurs altijd een redelijke vraag: welk bewijs is er dat het wiskundige model van het object overeenkomt met het echte object.
Een voorbeeldantwoord op deze vraag wordt gegeven in In dit artikel zullen we kijken naar een voorbeeld van het creëren van een model voor airconditioningsystemen voor vliegtuigen, waarbij we de praktijk verwateren met enkele theoretische overwegingen van algemene aard.
Het creëren van een betrouwbaar model van het object. Theorie
Om niet uit te stellen, vertel ik je meteen over het algoritme voor het maken van een model voor modelgebaseerd ontwerpen. Er zijn slechts drie eenvoudige stappen nodig:
Stap 1. Ontwikkel een systeem van algebraïsche differentiaalvergelijkingen die het dynamische gedrag van het gemodelleerde systeem beschrijven. Het is eenvoudig als je de fysica van het proces kent. Veel wetenschappers hebben voor ons al de fundamentele natuurwetten ontwikkeld, genoemd naar Newton, Brenoul, Navier Stokes en andere Stangels, Kompassen en Rabinovich.
Stap 2. Selecteer in het resulterende systeem een reeks empirische coëfficiënten en kenmerken van het modelleringsobject die uit tests kunnen worden verkregen.
Stap 3. Test het object en pas het model aan op basis van de resultaten van grootschalige experimenten, zodat het overeenkomt met de werkelijkheid, met de gewenste mate van detail.
Zoals je kunt zien, is het eenvoudig: slechts twee drie.
Voorbeeld van praktische implementatie
Het airconditioningsysteem (ACS) in een vliegtuig is verbonden met een automatisch drukbehoudsysteem. De druk in het vliegtuig moet altijd groter zijn dan de externe druk, en de snelheid waarmee de druk verandert moet zodanig zijn dat piloten en passagiers niet uit neus en oren bloeden. Daarom is het luchtinlaat- en uitlaatcontrolesysteem belangrijk voor de veiligheid, en voor de ontwikkeling ervan worden dure testsystemen op de grond gezet. Ze creëren temperaturen en drukken op vlieghoogte en reproduceren de start- en landingsomstandigheden op vliegvelden op verschillende hoogtes. En de kwestie van het ontwikkelen en debuggen van controlesystemen voor SCV's bereikt zijn volle potentieel. Hoe lang zullen we de testbank laten draaien om een bevredigend controlesysteem te krijgen? Als we een controlemodel opzetten op een model van een object, kan de werkcyclus op de testbank uiteraard aanzienlijk worden verkort.
Een airconditioningsysteem voor vliegtuigen bestaat uit dezelfde warmtewisselaars als elk ander thermisch systeem. De batterij is in Afrika ook een batterij, alleen een airconditioner. Maar vanwege beperkingen aan het startgewicht en de afmetingen van vliegtuigen worden warmtewisselaars zo compact en efficiënt mogelijk gemaakt om zoveel mogelijk warmte uit een kleinere massa over te dragen. Als gevolg hiervan wordt de geometrie behoorlijk bizar. Zoals in het onderhavige geval. Figuur 1 toont een platenwarmtewisselaar waarbij tussen de platen een membraan wordt gebruikt om de warmteoverdracht te verbeteren. Heet en koud koelmiddel wisselen elkaar af in de kanalen en de stroomrichting is dwars. Eén koelvloeistof wordt aan de voorkant toegevoerd, de andere aan de zijkant.
Om het probleem van het regelen van de SCR op te lossen, moeten we weten hoeveel warmte er per tijdseenheid van het ene medium naar het andere wordt overgedragen in een dergelijke warmtewisselaar. De snelheid van de temperatuurverandering, die we reguleren, hangt hiervan af.
Figuur 1. Diagram van een vliegtuigwarmtewisselaar.
Modelleringsproblemen. Hydraulisch gedeelte
Op het eerste gezicht is de taak vrij eenvoudig: het is noodzakelijk om de massastroom door de warmtewisselaarkanalen en de warmtestroom tussen de kanalen te berekenen.
Het massadebiet van het koelmiddel in de kanalen wordt berekend met behulp van de Bernouli-formule:
waar:
ΔP – drukverschil tussen twee punten;
ξ – koelvloeistofwrijvingscoëfficiënt;
L – kanaallengte;
d – hydraulische diameter van het kanaal;
ρ – koelvloeistofdichtheid;
ω – koelmiddelsnelheid in het kanaal.
Voor een kanaal met een willekeurige vorm wordt de hydraulische diameter berekend met de formule:
waar:
F – stroomgebied;
P – bevochtigde omtrek van het kanaal.
De wrijvingscoëfficiënt wordt berekend met behulp van empirische formules en is afhankelijk van de stroomsnelheid en eigenschappen van het koelmiddel. Voor verschillende geometrieën worden verschillende afhankelijkheden verkregen, bijvoorbeeld de formule voor turbulente stroming in gladde buizen:
waar:
Re – Reynoldsgetal.
Voor stroming in vlakke kanalen kan de volgende formule worden gebruikt:
Met de formule van Bernoulli kun je de drukval voor een gegeven snelheid berekenen, of omgekeerd, de koelmiddelsnelheid in het kanaal berekenen, op basis van een gegeven drukval.
Warmte uitwisseling
De warmtestroom tussen het koelmiddel en de muur wordt berekend met behulp van de formule:
waar:
α [W/(m2×deg)] – warmteoverdrachtscoëfficiënt;
F – stroomgebied.
Voor problemen met de koelvloeistofstroming in leidingen is er voldoende onderzoek gedaan en zijn er veel berekeningsmethoden, en in de regel komt alles neer op empirische afhankelijkheden voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt α [W/(m2×deg)]
waar:
Nu – Nusseltnummer,
λ – thermische geleidbaarheidscoëfficiënt van de vloeistof [W/(m×deg)] d – hydraulische (equivalente) diameter.
Om het Nusseltgetal (criterium) te berekenen, wordt gebruik gemaakt van empirische criteriumafhankelijkheden. De formule voor het berekenen van het Nusseltgetal van een ronde buis ziet er bijvoorbeeld als volgt uit:
Hier zien we al het Reynoldsgetal, het Prandtlgetal bij de wandtemperatuur en vloeistoftemperatuur, en de oneffenheidscoëfficiënt. ()
Voor golfplatenwarmtewisselaars is de formule vergelijkbaar ( ):
waar:
n = 0.73 m = 0.43 voor turbulente stroming,
coëfficiënt a - varieert van 0,065 tot 0.6 afhankelijk van het aantal platen en het stroomregime.
Laten we er rekening mee houden dat deze coëfficiënt slechts voor één punt in de stroom wordt berekend. Voor het volgende punt hebben we een andere temperatuur van de vloeistof (deze is opgewarmd of afgekoeld), een andere temperatuur van de muur en dienovereenkomstig zweven alle Reynolds- en Prandtl-getallen.
Op dit punt zal elke wiskundige zeggen dat het onmogelijk is om nauwkeurig een systeem te berekenen waarin de coëfficiënt tien keer verandert, en hij zal gelijk hebben.
Elke praktische ingenieur zal zeggen dat elke warmtewisselaar anders is vervaardigd en dat het onmogelijk is om de systemen te berekenen, en hij zal ook gelijk hebben.
Hoe zit het met modelgebaseerd ontwerpen? Is alles werkelijk verloren?
Geavanceerde verkopers van westerse software op deze plek verkopen je supercomputers en 3D-berekeningssystemen, zoals ‘je kunt niet zonder’. En je moet de berekening een dag lang uitvoeren om binnen 1 minuut de temperatuurverdeling te krijgen.
Het is duidelijk dat dit niet onze optie is; we moeten het besturingssysteem debuggen, zo niet in realtime, dan toch in ieder geval binnen afzienbare tijd.
Oplossing willekeurig
Er wordt een warmtewisselaar vervaardigd, er wordt een reeks tests uitgevoerd en er wordt een tabel opgesteld met de efficiëntie van de stabiele temperatuur bij gegeven koelmiddelstroomsnelheden. Eenvoudig, snel en betrouwbaar omdat de gegevens uit testen komen.
Het nadeel van deze aanpak is dat er geen dynamische kenmerken van het object zijn. Ja, we weten wat de warmtestroom bij stabiele toestand zal zijn, maar we weten niet hoe lang het zal duren om dit vast te stellen bij het overschakelen van de ene bedrijfsmodus naar de andere.
Daarom configureren we, nadat we de noodzakelijke kenmerken hebben berekend, het besturingssysteem direct tijdens het testen, wat we in eerste instantie graag willen vermijden.
Modelgebaseerde aanpak
Om een model van een dynamische warmtewisselaar te maken, is het noodzakelijk testgegevens te gebruiken om onzekerheden in de empirische berekeningsformules te elimineren: het Nusseltgetal en de hydraulische weerstand.
De oplossing is eenvoudig, zoals alles ingenieus. We nemen een empirische formule, voeren experimenten uit en bepalen de waarde van de coëfficiënt a, waardoor de onzekerheid in de formule wordt geëlimineerd.
Zodra we een bepaalde waarde van de warmteoverdrachtscoëfficiënt hebben, worden alle andere parameters bepaald door de fysische natuurwetten van behoud. Het temperatuurverschil en de warmteoverdrachtscoëfficiënt bepalen de hoeveelheid energie die per tijdseenheid naar het kanaal wordt overgebracht.
Als u de energiestroom kent, is het mogelijk om de vergelijkingen van behoud van energiemassa en momentum voor het koelmiddel in het hydraulische kanaal op te lossen. Bijvoorbeeld dit:
Voor ons geval blijft de warmtestroom tussen de muur en het koelmiddel – Qwall – onzeker. U kunt meer details bekijken
En ook de temperatuurafgeleide vergelijking voor de kanaalwand:
waar:
ΔQmuur – het verschil tussen de inkomende en uitgaande stroom naar de kanaalwand;
M is de massa van de kanaalwand;
cpc – warmtecapaciteit van het wandmateriaal.
Modelnauwkeurigheid
Zoals hierboven vermeld, hebben we in een warmtewisselaar een temperatuurverdeling over het oppervlak van de plaat. Voor een steady-state-waarde kun je het gemiddelde over de platen nemen en dat gebruiken, waarbij je je de hele warmtewisselaar voorstelt als één geconcentreerd punt waarop, bij één temperatuurverschil, warmte over het hele oppervlak van de warmtewisselaar wordt overgedragen. Maar voor voorbijgaande regimes werkt een dergelijke benadering mogelijk niet. Het andere uiterste is om enkele honderdduizenden punten te verdienen en de supercomputer te laden, wat ook niet geschikt is voor ons, omdat het de taak is om het besturingssysteem in realtime, of beter nog, sneller te configureren.
De vraag rijst: in hoeveel secties moet de warmtewisselaar worden verdeeld om een aanvaardbare nauwkeurigheid en rekensnelheid te verkrijgen?
Zoals altijd had ik toevallig een model van een amine-warmtewisselaar bij de hand. De warmtewisselaar is een buis, een verwarmingsmedium stroomt in de leidingen en een verwarmd medium stroomt tussen de zakken. Om het probleem te vereenvoudigen kan de gehele warmtewisselaarbuis worden weergegeven als één equivalente pijp, en kan de pijp zelf worden weergegeven als een reeks afzonderlijke rekencellen, waarin in elk daarvan een puntmodel van de warmteoverdracht wordt berekend. Het diagram van een eencellig model wordt getoond in Figuur 2. Het warmeluchtkanaal en het koudeluchtkanaal zijn verbonden via een muur, die zorgt voor de overdracht van warmtestroom tussen de kanalen.
Figuur 2. Celmodel van de warmtewisselaar.
Het buisvormige warmtewisselaarmodel is eenvoudig op te zetten. U kunt slechts één parameter wijzigen: het aantal secties langs de lengte van de buis en de berekeningsresultaten voor verschillende partities bekijken. Laten we verschillende opties berekenen, te beginnen met een verdeling in 5 punten langs de lengte (Fig. 3) en tot 100 punten langs de lengte (Fig. 4).
Figuur 3. Stationaire temperatuurverdeling van 5 berekende punten.
Figuur 4. Stationaire temperatuurverdeling van 100 berekende punten.
Als resultaat van de berekeningen bleek dat de stabiele temperatuur, verdeeld in 100 punten, 67,7 graden bedraagt. En verdeeld in 5 berekende punten is de temperatuur 72 graden C.
Ook onderaan het venster wordt de rekensnelheid ten opzichte van realtime weergegeven.
Laten we eens kijken hoe de stabiele temperatuur en de berekeningssnelheid veranderen, afhankelijk van het aantal rekenpunten. Het verschil in steady-state temperaturen tijdens berekeningen met verschillende aantallen rekencellen kan worden gebruikt om de nauwkeurigheid van het verkregen resultaat te beoordelen.
Tabel 1. Afhankelijkheid van temperatuur en rekensnelheid van het aantal rekenpunten langs de lengte van de warmtewisselaar.
| Aantal rekenpunten | Stabiele temperatuur | Berekeningssnelheid |
| 5 | 72,66 | 426 |
| 10 | 70.19 | 194 |
| 25 | 68.56 | 124 |
| 50 | 67.99 | 66 |
| 100 | 67.8 | 32 |
Als we deze tabel analyseren, kunnen we de volgende conclusies trekken:
- De rekensnelheid daalt evenredig met het aantal rekenpunten in het warmtewisselaarmodel.
- De verandering in de nauwkeurigheid van de berekening vindt exponentieel plaats. Naarmate het aantal punten toeneemt, neemt de verfijning bij elke volgende verhoging af.
In het geval van een platenwarmtewisselaar met een kruisstroomkoelmiddel, zoals in figuur 1, is het creëren van een equivalent model op basis van elementaire rekencellen iets ingewikkelder. We moeten de cellen zo verbinden dat er kruisstromen ontstaan. Voor 4 cellen ziet het circuit eruit zoals weergegeven in Figuur 5.
De koelvloeistofstroom wordt langs de warme en koude takken verdeeld in twee kanalen, de kanalen zijn verbonden door thermische structuren, zodat het koelmiddel bij het passeren van het kanaal warmte uitwisselt met verschillende kanalen. Door kruisstroom te simuleren, stroomt het hete koelmiddel van links naar rechts (zie afb. 5) in elk kanaal, waarbij achtereenvolgens warmte wordt uitgewisseld met de kanalen van het koude koelmiddel, dat van onder naar boven stroomt (zie afb. 5). Het heetste punt bevindt zich in de linkerbovenhoek, omdat het hete koelmiddel warmte uitwisselt met het reeds verwarmde koelmiddel van het koude kanaal. En de koudste bevindt zich rechtsonder, waar het koude koelmiddel warmte uitwisselt met het hete koelmiddel, dat in het eerste gedeelte al is afgekoeld.
Figuur 5. Cross-flow-model van 4 rekencellen.
Dit model voor een platenwarmtewisselaar houdt geen rekening met de warmteoverdracht tussen cellen als gevolg van thermische geleidbaarheid en houdt geen rekening met het mengen van het koelmiddel, aangezien elk kanaal geïsoleerd is.
Maar in ons geval vermindert de laatste beperking de nauwkeurigheid niet, omdat bij het ontwerp van de warmtewisselaar het gegolfde membraan de stroom verdeelt in vele geïsoleerde kanalen langs het koelmiddel (zie figuur 1). Laten we eens kijken wat er gebeurt met de rekennauwkeurigheid bij het modelleren van een platenwarmtewisselaar naarmate het aantal rekencellen toeneemt.
Om de nauwkeurigheid te analyseren, gebruiken we twee opties om de warmtewisselaar in ontwerpcellen te verdelen:
- Elke vierkante cel bevat twee hydraulische (koude en warme stromen) en één thermisch element. (zie figuur 5)
- Elke vierkante cel bevat zes hydraulische elementen (drie secties in de warme en koude stromen) en drie thermische elementen.
In het laatste geval gebruiken we twee soorten verbindingen:
- tegenstroom van koude en warme stromen;
- parallelle stroom van koude en warme stroom.
Een tegenstroom verhoogt de efficiëntie ten opzichte van een dwarsstroom, terwijl een tegenstroom deze verlaagt. Bij een groot aantal cellen vindt middeling over de stroom plaats en komt alles dicht bij de werkelijke dwarsstroom (zie Figuur 6).
Figuur 6. Cross-flow-model met vier cellen en drie elementen.
Figuur 7 toont de resultaten van de stationaire temperatuurverdeling in de warmtewisselaar bij toevoer van lucht met een temperatuur van 150 °C langs de warme lijn en 21 °C langs de koude lijn, voor verschillende opties voor het indelen van het model. De kleur en cijfers op de cel geven de gemiddelde wandtemperatuur in de berekeningscel weer.
Figuur 7. Stabiele temperaturen voor verschillende ontwerpschema's.
Tabel 2 toont de steady-state temperatuur van de verwarmde lucht na de warmtewisselaar, afhankelijk van de indeling van het warmtewisselaarmodel in cellen.
Tabel 2. Temperatuurafhankelijkheid van het aantal ontwerpcellen in de warmtewisselaar.
| Modelafmeting | Stabiele temperatuur 1 element per cel |
Stabiele temperatuur 3 elementen per cel |
| 2 × 2 | 62,7 | 67.7 |
| 3 × 3 | 64.9 | 68.5 |
| 4 × 4 | 66.2 | 68.9 |
| 8 × 8 | 68.1 | 69.5 |
| 10 × 10 | 68.5 | 69.7 |
| 20 × 20 | 69.4 | 69.9 |
| 40 × 40 | 69.8 | 70.1 |
Naarmate het aantal rekencellen in het model toeneemt, neemt de uiteindelijke steady-state temperatuur toe. Het verschil tussen de steady-state temperatuur voor verschillende partities kan worden beschouwd als een indicator voor de nauwkeurigheid van de berekening. Het is duidelijk dat met een toename van het aantal rekencellen de temperatuur naar de limiet neigt, en dat de toename in nauwkeurigheid niet evenredig is aan het aantal rekenpunten.
De vraag rijst: welke modelnauwkeurigheid hebben we nodig?
Het antwoord op deze vraag hangt af van het doel van ons model. Omdat dit artikel gaat over modelgebaseerd ontwerpen, maken we een model om het besturingssysteem te configureren. Dit betekent dat de nauwkeurigheid van het model vergelijkbaar moet zijn met de nauwkeurigheid van de in het systeem gebruikte sensoren.
In ons geval wordt de temperatuur gemeten door een thermokoppel, waarvan de nauwkeurigheid ±2.5°C is. Elke hogere nauwkeurigheid met het oog op het opzetten van een besturingssysteem is nutteloos; ons echte besturingssysteem ‘zal het eenvoudigweg niet zien’. Als we dus aannemen dat de grenstemperatuur voor een oneindig aantal partities 70 °C is, zal een model dat ons meer dan 67.5 °C geeft voldoende nauwkeurig zijn. Alle modellen met 3 punten in een rekencel en modellen groter dan 5x5 met één punt in een cel. (Groen gemarkeerd in Tabel 2)
Dynamische bedrijfsmodi
Om het dynamische regime te beoordelen, zullen we het proces van temperatuurverandering op de heetste en koudste punten van de warmtewisselaarwand evalueren voor verschillende varianten van ontwerpschema's. (zie afb. 8)
Figuur 8. Opwarmen van de warmtewisselaar. Modellen met afmetingen 2x2 en 10x10.
Het is duidelijk dat de tijd van het overgangsproces en de aard ervan praktisch onafhankelijk zijn van het aantal rekencellen, en uitsluitend worden bepaald door de massa van het verwarmde metaal.
We concluderen dus dat voor een eerlijke modellering van de warmtewisselaar in modi van 20 tot 150 °C, met de nauwkeurigheid vereist door het SCR-regelsysteem, ongeveer 10 - 20 ontwerppunten voldoende zijn.
Op basis van experiment een dynamisch model opzetten
Met een wiskundig model en experimentele gegevens over het spoelen van de warmtewisselaar hoeven we alleen maar een eenvoudige correctie uit te voeren, namelijk een intensiveringsfactor in het model te introduceren, zodat de berekening samenvalt met de experimentele resultaten.
Bovendien zullen we dit automatisch doen met behulp van de grafische modelcreatieomgeving. Figuur 9 toont een algoritme voor het selecteren van intensiveringscoëfficiënten voor warmteoverdracht. De uit het experiment verkregen gegevens worden aan de ingang geleverd, het warmtewisselaarmodel wordt aangesloten en de vereiste coëfficiënten voor elke modus worden aan de uitgang verkregen.
Figuur 9. Algoritme voor het selecteren van de intensiveringscoëfficiënt op basis van de experimentele resultaten.
We bepalen dus dezelfde coëfficiënt voor een Nusseltgetal en elimineren de onzekerheid in de rekenformules. Voor verschillende bedrijfsmodi en temperaturen kunnen de waarden van de correctiefactoren veranderen, maar voor vergelijkbare bedrijfsmodi (normaal bedrijf) blijken ze heel dichtbij te liggen. Voor een bepaalde warmtewisselaar voor verschillende modi varieert de coëfficiënt bijvoorbeeld van 0.492 tot 0.655
Als we een coëfficiënt van 0.6 toepassen, zal in de onderzochte bedrijfsmodi de rekenfout kleiner zijn dan de thermokoppelfout, dus voor het besturingssysteem zal het wiskundige model van de warmtewisselaar volledig geschikt zijn voor het echte model.
Resultaten van het opzetten van het warmtewisselaarmodel
Om de kwaliteit van de warmteoverdracht te beoordelen, wordt een speciaal kenmerk gebruikt: efficiëntie:
waar:
effheet – efficiëntie van de warmtewisselaar voor hete koelvloeistof;
Tbergenin – temperatuur bij de inlaat van de warmtewisselaar langs het stroompad van het hete koelmiddel;
Tbergenuit – temperatuur aan de uitlaat van hun warmtewisselaar langs het stroompad van het hete koelmiddel;
Twoonkamerin – temperatuur bij de inlaat van de warmtewisselaar langs het koude koelmiddelstroompad.
Tabel 3 toont de afwijking van de efficiëntie van het warmtewisselaarmodel ten opzichte van het experimentele model bij verschillende stroomsnelheden langs de warme en koude lijnen.
Tabel 3. Fouten bij het berekenen van de warmteoverdrachtsefficiëntie in%
In ons geval kan de geselecteerde coëfficiënt worden gebruikt in alle bedrijfsmodi die voor ons interessant zijn. Als bij lage stroomsnelheden, waarbij de fout groter is, de vereiste nauwkeurigheid niet wordt bereikt, kunnen we een variabele intensiveringsfactor gebruiken, die afhangt van de huidige stroomsnelheid.
In Figuur 10 wordt de intensiveringscoëfficiënt bijvoorbeeld berekend met behulp van een gegeven formule, afhankelijk van de huidige stroomsnelheid in de kanaalcellen.
Figuur 10. Variabele verbeteringscoëfficiënt voor warmteoverdracht.
Bevindingen
- Kennis van natuurkundige wetten stelt u in staat dynamische modellen van een object te maken voor modelgebaseerd ontwerp.
- Het model moet worden geverifieerd en afgestemd op basis van testgegevens.
- Modelontwikkelingstools moeten de ontwikkelaar in staat stellen het model aan te passen op basis van de resultaten van het testen van het object.
- Gebruik de juiste modelmatige aanpak en u zult blij zijn!
Bonus voor degenen die klaar zijn met lezen.
Alleen geregistreerde gebruikers kunnen deelnemen aan het onderzoek. , Alsjeblieft.
Waar moet ik het nu over hebben?
-
76,2%Hoe te bewijzen dat het programma in het model overeenkomt met het programma in de hardware.16
-
23,8%Hoe supercomputercomputing te gebruiken voor modelgebaseerd ontwerp.5
21 gebruikers hebben gestemd. 1 gebruiker heeft zich onthouden.
Bron: www.habr.com