"Hvis du leser inskripsjonen "bøffel" på en elefants bur, ikke tro dine egne øyne." Kozma Prutkov
I forrige det ble vist hvorfor en objektmodell er nødvendig, og det ble bevist at uten denne objektmodellen kan man bare snakke om modellbasert design som en markedsføringsstorm, meningsløs og nådeløs. Men når en modell av et objekt dukker opp, har kompetente ingeniører alltid et rimelig spørsmål: hvilke bevis er det for at den matematiske modellen av objektet tilsvarer det virkelige objektet.
Et eksempel svar på dette spørsmålet er gitt i I denne artikkelen vil vi se på et eksempel på å lage en modell for luftkondisjoneringssystemer for fly, fortynne praksisen med noen teoretiske betraktninger av generell karakter.
Opprette en pålitelig modell av objektet. Teori
For ikke å utsette, vil jeg fortelle deg med en gang om algoritmen for å lage en modell for modellbasert design. Det tar bare tre enkle trinn:
Trinn 1. Utvikle et system med algebraiske-differensialligninger som beskriver den dynamiske oppførselen til det modellerte systemet. Det er enkelt hvis du kan fysikken i prosessen. Mange forskere har allerede utviklet for oss de grunnleggende fysiske lovene oppkalt etter Newton, Brenoul, Navier Stokes og andre Stangels, Compasses og Rabinovich.
Trinn 2. Velg i det resulterende systemet et sett med empiriske koeffisienter og egenskaper for modelleringsobjektet som kan oppnås fra tester.
Trinn 3. Test objektet og juster modellen basert på resultatene av fullskalaeksperimenter, slik at den samsvarer med virkeligheten, med nødvendig detaljgrad.
Som du kan se, er det enkelt, bare to tre.
Eksempel på praktisk gjennomføring
Luftkondisjoneringssystemet (ACS) i et fly er koblet til et automatisk trykkvedlikeholdssystem. Trykket i flyet skal alltid være større enn det ytre trykket, og trykkendringshastigheten skal være slik at piloter og passasjerer ikke blør fra nese og ører. Derfor er kontrollsystemet for luftinntak og utløp viktig for sikkerheten, og dyre testsystemer settes på bakken for utviklingen. De skaper temperaturer og trykk i flyhøyde, og gjengir start- og landingsforhold på flyplasser i forskjellige høyder. Og spørsmålet om å utvikle og feilsøke kontrollsystemer for SCV-er øker til sitt fulle potensial. Hvor lenge skal vi kjøre testbenken for å få et tilfredsstillende kontrollsystem? Åpenbart, hvis vi setter opp en kontrollmodell på en modell av et objekt, kan arbeidssyklusen på testbenken reduseres betydelig.
Et luftkondisjoneringssystem for fly består av de samme varmevekslerne som et hvilket som helst annet termisk system. Batteriet er et batteri i Afrika også, bare et klimaanlegg. Men på grunn av begrensninger på startvekt og dimensjoner til fly, er varmevekslere laget så kompakte og så effektive som mulig for å overføre mest mulig varme fra en mindre masse. Som et resultat blir geometrien ganske bisarr. Som i saken under behandling. Figur 1 viser en platevarmeveksler hvor en membran brukes mellom platene for å forbedre varmeoverføringen. Varm og kald kjølevæske veksler i kanalene, og strømningsretningen er tverrgående. En kjølevæske tilføres til frontsnittet, den andre - til siden.
For å løse problemet med å kontrollere SCR, må vi vite hvor mye varme som overføres fra et medium til et annet i en slik varmeveksler per tidsenhet. Temperaturendringens hastighet, som vi regulerer, avhenger av dette.
Figur 1. Diagram av en flyvarmeveksler.
Modelleringsproblemer. Hydraulisk del
Ved første øyekast er oppgaven ganske enkel; det er nødvendig å beregne massestrømmen gjennom varmevekslerkanalene og varmestrømmen mellom kanalene.
Massestrømningshastigheten til kjølevæsken i kanalene beregnes ved å bruke Bernoulli-formelen:
der:
ΔP – trykkforskjell mellom to punkter;
ξ – kjølevæskefriksjonskoeffisient;
L – kanallengde;
d - kanalens hydrauliske diameter;
ρ – kjølevæsketetthet;
ω – kjølevæskehastighet i kanalen.
For en kanal med vilkårlig form beregnes den hydrauliske diameteren av formelen:
der:
F – strømningsareal;
P – fuktet omkrets av kanalen.
Friksjonskoeffisienten beregnes ved hjelp av empiriske formler og avhenger av strømningshastigheten og egenskapene til kjølevæsken. For forskjellige geometrier oppnås forskjellige avhengigheter, for eksempel formelen for turbulent strømning i glatte rør:
der:
Re – Reynolds nummer.
For strømning i flate kanaler kan følgende formel brukes:
Fra Bernoullis formel kan du beregne trykkfallet for en gitt hastighet, eller omvendt, beregne kjølevæskehastigheten i kanalen, basert på et gitt trykkfall.
Varmeveksling
Varmestrømmen mellom kjølevæsken og veggen beregnes ved hjelp av formelen:
der:
α [W/(m2×grader)] – varmeoverføringskoeffisient;
F – strømningsareal.
For problemer med kjølevæskestrøm i rør er det utført tilstrekkelig mengde forskning og det er mange beregningsmetoder, og som regel kommer alt ned til empiriske avhengigheter for varmeoverføringskoeffisienten α [W/(m2×deg)]
der:
Nu – Nusselt nummer,
λ – termisk konduktivitetskoeffisient for væsken [W/(m×deg)] d – hydraulisk (ekvivalent) diameter.
For å beregne Nusselt-tallet (kriteriet), brukes empiriske kriterieavhengigheter, for eksempel ser formelen for beregning av Nusselt-tallet til et rundt rør slik ut:
Her ser vi allerede Reynolds-tallet, Prandtl-tallet ved veggtemperatur og væsketemperatur, og ujevnhetskoeffisienten. ()
For korrugerte platevarmevekslere er formelen lik ( ):
der:
n = 0.73 m =0.43 for turbulent strømning,
koeffisient a - varierer fra 0,065 til 0.6 avhengig av antall plater og strømningsregime.
La oss ta i betraktning at denne koeffisienten kun beregnes for ett punkt i strømmen. For det neste punktet har vi en annen temperatur på væsken (den har varmet opp eller avkjølt), en annen temperatur på veggen og følgelig flyter alle Reynolds-tallene og Prandtl-tallene.
På dette tidspunktet vil enhver matematiker si at det er umulig å nøyaktig beregne et system der koeffisienten endres 10 ganger, og han vil ha rett.
Enhver praktisk ingeniør vil si at hver varmeveksler er produsert forskjellig og det er umulig å beregne systemene, og han vil også ha rett.
Hva med modellbasert design? Er alt virkelig tapt?
Avanserte selgere av vestlig programvare på dette stedet vil selge deg superdatamaskiner og 3D-beregningssystemer, som "du kan ikke klare deg uten det." Og du må kjøre beregningen for en dag for å få temperaturfordelingen innen 1 minutt.
Det er klart at dette ikke er vårt alternativ; vi må feilsøke kontrollsystemet, om ikke i sanntid, så i det minste i overskuelig tid.
Løsning tilfeldig
En varmeveksler produseres, en serie tester utføres, og en tabell over effektiviteten til steady-state-temperaturen settes til gitte kjølevæskestrømningshastigheter. Enkelt, raskt og pålitelig fordi dataene kommer fra testing.
Ulempen med denne tilnærmingen er at det ikke er noen dynamiske egenskaper ved objektet. Ja, vi vet hva steady-state varmestrømmen vil være, men vi vet ikke hvor lang tid det vil ta å etablere når du bytter fra en driftsmodus til en annen.
Derfor, etter å ha beregnet de nødvendige egenskapene, konfigurerer vi kontrollsystemet direkte under testing, noe vi i utgangspunktet ønsker å unngå.
Modellbasert tilnærming
For å lage en modell av en dynamisk varmeveksler, er det nødvendig å bruke testdata for å eliminere usikkerheter i de empiriske beregningsformlene - Nusselt-tallet og hydraulisk motstand.
Løsningen er enkel, som alt genialt. Vi tar en empirisk formel, utfører eksperimenter og bestemmer verdien av koeffisienten a, og eliminerer dermed usikkerheten i formelen.
Så snart vi har en viss verdi av varmeoverføringskoeffisienten, bestemmes alle andre parametere av de grunnleggende fysiske lovene for bevaring. Temperaturforskjellen og varmeoverføringskoeffisienten bestemmer mengden energi som overføres til kanalen per tidsenhet.
Når du kjenner energistrømmen, er det mulig å løse ligningene for bevaring av energimasse og momentum for kjølevæsken i den hydrauliske kanalen. For eksempel dette:
For vårt tilfelle er varmestrømmen mellom veggen og kjølevæsken - Qwall - fortsatt usikker. Du kan se flere detaljer
Og også temperaturderiverte ligningen for kanalveggen:
der:
ΔQwall – forskjellen mellom innkommende og utgående strøm til kanalveggen;
M er massen til kanalveggen;
Cpc – varmekapasiteten til veggmaterialet.
Modellnøyaktighet
Som nevnt ovenfor har vi i en varmeveksler en temperaturfordeling over overflaten av platen. For en stabil verdi kan du ta gjennomsnittet over platene og bruke det, og forestille deg hele varmeveksleren som ett konsentrert punkt hvor ved en temperaturforskjell overføres varme gjennom hele overflaten av varmeveksleren. Men for forbigående regimer fungerer kanskje ikke en slik tilnærming. Den andre ytterligheten er å lage flere hundre tusen poeng og laste Supercomputeren, som heller ikke passer for oss, siden oppgaven er å konfigurere kontrollsystemet i sanntid, eller enda bedre, raskere.
Spørsmålet oppstår, hvor mange seksjoner bør varmeveksleren deles inn i for å oppnå akseptabel nøyaktighet og beregningshastighet?
Som alltid hadde jeg tilfeldigvis en modell av en aminvarmeveksler for hånden. Varmeveksleren er et rør, et varmemedium strømmer i rørene, og et oppvarmet medium strømmer mellom posene. For å forenkle problemet kan hele varmevekslerrøret representeres som ett ekvivalent rør, og selve røret kan representeres som et sett med diskrete beregningsceller, i hver av disse beregnes en punktmodell av varmeoverføring. Diagrammet over en enkeltcellemodell er vist i figur 2. Varmluftkanalen og kaldluftkanalen er forbundet gjennom en vegg, som sikrer overføring av varmestrøm mellom kanalene.
Figur 2. Varmevekslercellemodell.
Den rørformede varmevekslermodellen er enkel å sette opp. Du kan bare endre én parameter - antall seksjoner langs rørets lengde og se på beregningsresultatene for forskjellige partisjoner. La oss beregne flere alternativer, og starter med en inndeling i 5 punkter langs lengden (fig. 3) og opptil 100 punkter langs lengden (fig. 4).
Figur 3. Stasjonær temperaturfordeling på 5 beregnede punkter.
Figur 4. Stasjonær temperaturfordeling på 100 beregnede punkter.
Som et resultat av beregningene viste det seg at steady-state-temperaturen delt i 100 punkter er 67,7 grader. Og når de er delt inn i 5 beregnede punkter, er temperaturen 72 grader C.
Nederst i vinduet vises også beregningshastigheten i forhold til sanntid.
La oss se hvordan steady-state-temperaturen og beregningshastigheten endres avhengig av antall beregningspunkter. Forskjellen i steady-state temperaturer under beregninger med forskjellig antall beregningsceller kan brukes til å vurdere nøyaktigheten av det oppnådde resultatet.
Tabell 1. Avhengighet av temperatur og beregningshastighet av antall beregningspunkter langs varmevekslerens lengde.
| Antall beregningspunkter | Jevn temperatur | Beregningshastighet |
| 5 | 72,66 | 426 |
| 10 | 70.19 | 194 |
| 25 | 68.56 | 124 |
| 50 | 67.99 | 66 |
| 100 | 67.8 | 32 |
Ved å analysere denne tabellen kan vi trekke følgende konklusjoner:
- Beregningshastigheten synker proporsjonalt med antall beregningspunkter i varmevekslermodellen.
- Endringen i beregningsnøyaktighet skjer eksponentielt. Etter hvert som antall poeng øker, reduseres raffineringen ved hver påfølgende økning.
Når det gjelder en platevarmeveksler med kryssstrømskjølevæske, som i figur 1, er det litt mer komplisert å lage en ekvivalent modell fra elementære beregningsceller. Vi må koble cellene på en slik måte at vi organiserer kryssstrømmer. For 4 celler vil kretsen se ut som vist i figur 5.
Kjølevæskestrømmen er delt langs de varme og kalde grenene i to kanaler, kanalene er forbundet gjennom termiske strukturer, slik at når den passerer gjennom kanalen, utveksler kjølevæsken varme med forskjellige kanaler. Simulering av tverrstrømning strømmer den varme kjølevæsken fra venstre til høyre (se fig. 5) i hver kanal, og veksler sekvensielt varme med kanalene til den kalde kjølevæsken, som strømmer fra bunn til topp (se fig. 5). Det varmeste punktet er i øvre venstre hjørne, da den varme kjølevæsken utveksler varme med den allerede oppvarmede kjølevæsken i den kalde kanalen. Og den kaldeste er nede til høyre, der den kalde kjølevæsken utveksler varme med den varme kjølevæsken, som allerede er avkjølt i den første delen.
Figur 5. Kryssflytmodell av 4 beregningsceller.
Denne modellen for en platevarmeveksler tar ikke hensyn til varmeoverføringen mellom celler på grunn av termisk ledningsevne og tar ikke hensyn til blandingen av kjølevæsken, siden hver kanal er isolert.
Men i vårt tilfelle reduserer ikke den siste begrensningen nøyaktigheten, siden i utformingen av varmeveksleren deler den korrugerte membranen strømmen i mange isolerte kanaler langs kjølevæsken (se fig. 1). La oss se hva som skjer med beregningsnøyaktigheten ved modellering av en platevarmeveksler etter hvert som antall beregningsceller øker.
For å analysere nøyaktigheten bruker vi to alternativer for å dele varmeveksleren inn i designceller:
- Hver firkantet celle inneholder to hydrauliske (kalde og varme strømmer) og ett termisk element. (se figur 5)
- Hver firkantet celle inneholder seks hydrauliske elementer (tre seksjoner i den varme og kalde strømmen) og tre termiske elementer.
I sistnevnte tilfelle bruker vi to typer tilkobling:
- motstrøm av kalde og varme strømmer;
- parallell strøm av kald og varm strøm.
En motstrøm øker effektiviteten sammenlignet med en tverrstrøm, mens en motstrøm reduserer den. Med et stort antall celler skjer det gjennomsnittsberegning over strømmen og alt blir nær den virkelige kryssstrømmen (se figur 6).
Figur 6. Fire-cellet, 3-elements kryssstrømsmodell.
Figur 7 viser resultatene av steady-state stasjonær temperaturfordeling i varmeveksleren ved tilførsel av luft med en temperatur på 150 °C langs varmelinjen, og 21 °C langs den kalde linjen, for ulike alternativer for å dele modellen. Fargen og tallene på cellen gjenspeiler gjennomsnittlig veggtemperatur i beregningscellen.
Figur 7. Steady-state temperaturer for ulike designskjemaer.
Tabell 2 viser steady-state temperaturen til den oppvarmede luften etter varmeveksleren, avhengig av inndelingen av varmevekslermodellen i celler.
Tabell 2. Temperaturavhengighet av antall designceller i varmeveksleren.
| Modelldimensjon | Jevn temperatur 1 element per celle |
Jevn temperatur 3 elementer per celle |
| 2 × 2 | 62,7 | 67.7 |
| 3 × 3 | 64.9 | 68.5 |
| 4 × 4 | 66.2 | 68.9 |
| 8 × 8 | 68.1 | 69.5 |
| 10 × 10 | 68.5 | 69.7 |
| 20 × 20 | 69.4 | 69.9 |
| 40 × 40 | 69.8 | 70.1 |
Etter hvert som antallet beregningsceller i modellen øker, øker den endelige steady-state temperaturen. Forskjellen mellom steady-state-temperaturen for forskjellige partisjoner kan betraktes som en indikator på nøyaktigheten av beregningen. Man kan se at med en økning i antall beregningsceller, tenderer temperaturen til det ytterste, og økningen i nøyaktighet er ikke proporsjonal med antall beregningspunkter.
Spørsmålet oppstår: hva slags modellnøyaktighet trenger vi?
Svaret på dette spørsmålet avhenger av formålet med modellen vår. Siden denne artikkelen handler om modellbasert design, lager vi en modell for å konfigurere kontrollsystemet. Dette betyr at nøyaktigheten til modellen må være sammenlignbar med nøyaktigheten til sensorene som brukes i systemet.
I vårt tilfelle måles temperaturen av et termoelement, hvis nøyaktighet er ±2.5°C. Enhver høyere nøyaktighet for å sette opp et kontrollsystem er ubrukelig; vårt virkelige kontrollsystem "vil ikke se" det. Altså, hvis vi aksepterer at den begrensende temperaturen for et uendelig antall partisjoner er 70 °C, vil en modell som gir oss mer enn 67.5 °C være tilstrekkelig nøyaktig. Alle modeller med 3 poeng i en beregningscelle og modeller større enn 5x5 med ett punkt i en celle. (Uthevet i grønt i tabell 2)
Dynamiske driftsmoduser
For å vurdere det dynamiske regimet, vil vi evaluere prosessen med temperaturendringer på de varmeste og kaldeste punktene på varmevekslerveggen for forskjellige varianter av designskjemaer. (se fig. 8)
Figur 8. Oppvarming av varmeveksleren. Modeller med dimensjonene 2x2 og 10x10.
Det kan sees at tidspunktet for overgangsprosessen og dens natur er praktisk talt uavhengig av antall beregningsceller, og bestemmes utelukkende av massen til det oppvarmede metallet.
Dermed konkluderer vi med at for rettferdig modellering av varmeveksleren i moduser fra 20 til 150 °C, med nøyaktigheten som kreves av SCR-kontrollsystemet, er omtrent 10 - 20 designpunkter tilstrekkelig.
Sette opp en dynamisk modell basert på eksperiment
Ved å ha en matematisk modell, samt eksperimentelle data om rensing av varmeveksleren, er det bare å gjøre en enkel korreksjon, nemlig å introdusere en intensiveringsfaktor i modellen slik at beregningen faller sammen med de eksperimentelle resultatene.
I tillegg, ved å bruke miljøet for oppretting av grafiske modeller, vil vi gjøre dette automatisk. Figur 9 viser en algoritme for valg av varmeoverføringsintensitetskoeffisienter. Dataene hentet fra eksperimentet leveres til inngangen, varmevekslermodellen kobles til, og de nødvendige koeffisientene for hver modus oppnås ved utgangen.
Figur 9. Algoritme for valg av intensiveringskoeffisient basert på forsøksresultatene.
Dermed bestemmer vi samme koeffisient for et Nusselt-tall og eliminerer usikkerheten i beregningsformlene. For forskjellige driftsmoduser og temperaturer kan verdiene til korreksjonsfaktorene endres, men for lignende driftsmoduser (normal drift) viser de seg å være veldig nærme. For eksempel, for en gitt varmeveksler for forskjellige moduser varierer koeffisienten fra 0.492 til 0.655
Hvis vi bruker en koeffisient på 0.6, vil beregningsfeilen i driftsmodusene som studeres være mindre enn termoelementfeilen, og for kontrollsystemet vil den matematiske modellen til varmeveksleren være helt tilstrekkelig til den virkelige modellen.
Resultater av oppsett av varmevekslermodellen
For å vurdere kvaliteten på varmeoverføringen brukes en spesiell egenskap - effektivitet:
der:
effvarm – effektiviteten til varmeveksleren for varm kjølevæske;
Tfjellenein – temperatur ved innløpet til varmeveksleren langs den varme kjølevæskestrømmen;
Tfjelleneut – temperatur ved utløpet av varmeveksleren langs den varme kjølevæskestrømmen;
Thallenin – temperatur ved innløpet til varmeveksleren langs den kalde kjølevæskestrømmen.
Tabell 3 viser avviket i effektiviteten til varmevekslermodellen fra den eksperimentelle ved ulike strømningshastigheter langs de varme og kalde linjene.
Tabell 3. Feil ved beregning av varmeoverføringseffektivitet i %
I vårt tilfelle kan den valgte koeffisienten brukes i alle driftsmoduser av interesse for oss. Hvis ved lave strømningshastigheter, hvor feilen er større, den nødvendige nøyaktigheten ikke oppnås, kan vi bruke en variabel intensiveringsfaktor, som vil avhenge av gjeldende strømningshastighet.
For eksempel, i figur 10, beregnes intensiveringskoeffisienten ved å bruke en gitt formel avhengig av gjeldende strømningshastighet i kanalcellene.
Figur 10. Variabel varmeoverføringsforbedringskoeffisient.
Funn
- Kunnskap om fysiske lover lar deg lage dynamiske modeller av et objekt for modellbasert design.
- Modellen må verifiseres og justeres basert på testdata.
- Modellutviklingsverktøy skal tillate utvikleren å tilpasse modellen basert på resultatene av testing av objektet.
- Bruk riktig modellbasert tilnærming og du vil bli fornøyd!
Bonus for de som har lest ferdig.
Kun registrerte brukere kan delta i undersøkelsen. , vær så snill.
Hva bør jeg snakke om videre?
-
76,2%Hvordan bevise at programmet i modellen tilsvarer programmet i maskinvaren.16
-
23,8%Hvordan bruke superdatamaskin for modellbasert design.5
21 brukere stemte. 1 bruker avsto.
Kilde: www.habr.com