Jak zdobyłem tę książkę?
W maju 2017 roku otrzymałem e-mail od mojego byłego nauczyciela z liceum, George’a Ruttera, w którym napisał: „Mam egzemplarz świetnej książki Diraca w języku niemieckim (Die Prinzipien der Quantenmechanik), która należała do Alana Turinga i po przeczytaniu Twojej książki , wydawało mi się oczywiste, że jesteś dokładnie tą osobą, która tego potrzebuje" Wyjaśnił mi, że otrzymał tę książkę od innego (nieżyjącego już) mojego nauczyciela , o którym wiedziałem, że jest przyjacielem Alana Turinga. Jerzy zakończył swój list słowami: „Jeśli chcesz tę książkę, mogę ci ją dać, gdy następnym razem przyjedziesz do Anglii".
Kilka lat później, w marcu 2019 r., faktycznie przyjechałem do Anglii, po czym umówiłem się z Georgem na śniadanie w małym hotelu w Oksfordzie. Jedliśmy, rozmawialiśmy i czekaliśmy, aż jedzenie się uspokoi. Następnie był dobry czas na dyskusję o książce. George sięgnął do teczki i wyciągnął raczej skromnie zaprojektowany, typowo akademicki tom z połowy XX wieku.
Otworzyłem okładkę, zastanawiając się, czy na odwrocie może być coś, co brzmi: „Własność Alana Turinga” czy coś takiego. Ale niestety okazało się, że tak nie jest. Towarzyszyła mu jednak dość wyrazista, czterostronicowa notatka Normana Routledge’a do George’a Ruttera, napisana w 2002 roku.
Znałem Normana Rutledge’a, kiedy byłem studentem в na początku lat 1970. Był nauczycielem matematyki nazywanym „Wariatem Normanem”. Był pod każdym względem miłym nauczycielem i opowiadał niekończące się historie o matematyce i wielu innych interesujących rzeczach. To on był odpowiedzialny za to, żeby szkoła otrzymała komputer (zaprogramowany na taśmę dziurkowaną rozciągającą się na całe biurko) – tak .
W tamtym czasie nic nie wiedziałem o pochodzeniu Normana (pamiętajcie, było to na długo przed pojawieniem się Internetu). Wiedziałem tylko, że to „doktor Rutledge”. Dość często opowiadał historie o mieszkańcach Cambridge, ale nigdy nie wspomniał w swoich opowieściach o Alanie Turingu. Oczywiście Turing nie był jeszcze zbyt sławny (choć jak się okazuje, słyszałem o nim już od kogoś, kto znał go w (dwór, w którym podczas II wojny światowej mieściło się centrum szyfrowania)).
Alan Turing stał się sławny dopiero w 1981 roku, kiedy to ja po raz pierwszy , choć wtedy jeszcze w kontekście automatów komórkowych, a nie .
Kiedy nagle pewnego dnia, przeglądając katalog kartek w bibliotece , natknąłem się na książkę , napisany przez jego matkę Sarę Turing. Książka zawierała wiele informacji, m.in. o niepublikowanych pracach naukowych Turinga z zakresu biologii. Nie dowiedziałam się jednak niczego na temat jego relacji z Normanem Routledgem, gdyż w książce nie było o nim żadnej wzmianki (choć, jak się dowiedziałam, Sarah Turing , a Norman nawet skończył pisać ).
Dziesięć lat później niezwykle ciekawy Turinga i jego (wówczas niepublikowanego) , Odwiedziłem в . Wkrótce, gdy zapoznałem się z pracą Turinga i spędziłem nad nią trochę czasu, pomyślałem, że równie dobrze mogę poprosić o wgląd do jego osobistej korespondencji. Przeglądając to, odkryłem od Alana Turinga do Normana Routledge’a.
Do tego czasu został opublikowany Andrew Hodgesa, który tak wiele zrobił, aby Turing w końcu stał się sławny, potwierdził, że Alan Turing i Norman Routledge rzeczywiście byli przyjaciółmi, a także, że Turing był doradcą naukowym Normana. Chciałem zapytać Routledge'a o Turinga, ale Norman był już wtedy na emeryturze i prowadził odosobnione życie. Kiedy jednak zakończyłem pracę nad książką „” w 2002 roku (po dziesięciu latach odosobnienia) odnalazłem go i wysłałem egzemplarz książki z podpisem „Do mojego ostatniego nauczyciela matematyki”. Potem on i ja trochę , a w 2005 roku wróciłem do Anglii i umówiłem się z Normanem na herbatę w luksusowym hotelu w centrum Londynu.
Odbyliśmy miłą pogawędkę na wiele tematów, w tym na temat Alana Turinga. Norman rozpoczął naszą rozmowę od powiedzenia, że naprawdę znał Turinga, głównie powierzchownie, 50 lat temu. Ale mimo to miał coś do powiedzenia na swój temat osobiście: „Był nietowarzyski". "Dużo chichotał". "Nie potrafił rozmawiać z osobami niebędącymi matematykami". "Zawsze bał się, że zdenerwuje matkę". "W ciągu dnia wychodził na zewnątrz i przebiegł maraton". "Nie był zbyt ambitny" Następnie rozmowa zeszła na osobowość Normana. Oznajmił, że choć od 16 lat jest na emeryturze, nadal pisze artykuły dla „„aby, według jego słów, „zakończ wszystkie swoje prace naukowe, zanim przejdziesz do następnego świata„, gdzie – jak dodał z lekkim uśmiechem – „wszystkie prawdy matematyczne na pewno zostaną ujawnione" Kiedy przyjęcie podwieczorkowe dobiegło końca, Norman założył skórzaną kurtkę i zupełnie nieświadomy ruszył w stronę swojego motoroweru tego dnia.
To był ostatni raz, kiedy widziałem Normana; zmarł w 2013 roku.
Sześć lat później siedziałem na śniadaniu z Georgem Rutterem. Miałem przy sobie notatkę od Rutledge’a, napisaną w 2002 roku jego charakterystycznym pismem:
Najpierw przejrzałem notatkę. Jak zwykle była ekspresyjna:
Książkę Alana Turinga otrzymałem od jego przyjaciela i wykonawcy (w King's College było na porządku dziennym rozdawanie książek ze zbiorów zmarłych, a ja wybrałem zbiór wierszy z książek jako trafny prezent (był dziekanem i skoczył z kaplicy [w 1956 r.])…
Później w krótkiej notatce pisze:
Pytacie, gdzie ta książka powinna trafić – moim zdaniem powinna trafić do kogoś, kto ceni wszystko, co wiąże się z twórczością Turinga, więc jej los zależy od Was.
Stephen Wolfram przysłał mi swoją imponującą książkę, ale nie zagłębiłem się w nią wystarczająco głęboko…
Na zakończenie pogratulował George'owi Rutterowi odwagi przeniesienia się (jak się okazało na chwilę) po przejściu na emeryturę do Australii, mówiąc, że on sam „bawiłby się przeprowadzką na Sri Lankę jako przykładem taniej i lotosowej egzystencji", ale dodał, że "obecne tam wydarzenia wskazują, że nie powinien był tego robić„(najwyraźniej oznacza na Sri Lance).
Co zatem kryje się w głębinach księgi?
Co więc zrobiłem z egzemplarzem niemieckiej książki napisanej przez Paula Diraca, która kiedyś należała do Alana Turinga? Nie czytam po niemiecku, ale tak w języku angielskim (który jest językiem oryginalnym) z lat 1970. XX w. Jednak pewnego dnia przy śniadaniu uznałam za słuszne, abym dokładnie przejrzała książkę strona po stronie. W końcu jest to powszechna praktyka w przypadku książek antykwarycznych.
Warto zaznaczyć, że uderzyła mnie elegancja prezentacji Diraca. Książka ukazała się w 1931 roku, ale jej czysty formalizm (i tak, pomimo bariery językowej, mogłem przeczytać w niej matematykę) jest niemal taki sam, jak gdyby został napisany współcześnie. (Nie chcę tutaj kłaść zbytniego nacisku na Diraca, ale na mojego przyjaciela powiedział mi, że przynajmniej jego zdaniem ekspozycja Diraca jest jednosylabowa. Norman Rutledge powiedział mi, że przyjaźnił się z Cambridge , który został teoretykiem grafów. Norman dość często odwiedzał dom Diraca i opowiadał, że „wielki człowiek” czasami osobiście schodził na dalszy plan, podczas gdy ten pierwszy był zawsze pełen matematycznych zagadek. Ja sam niestety nigdy nie spotkałem Paula Diraca, chociaż powiedziano mi, że kiedy w końcu wyjechał z Cambridge na Florydę, stracił wiele ze swojej wcześniejszej stanowczości i stał się dość towarzyską osobą).
Wróćmy jednak do książki Diraca, która należała do Turinga. Na stronie 9 zauważyłem podkreślenia i drobne notatki na marginesach, zapisane ołówkiem. Kontynuowałem przerzucanie stron. Po kilku rozdziałach notatki zniknęły. Ale nagle znalazłem notatkę dołączoną do strony 127, która brzmiała:
Został napisany w języku niemieckim, standardowym niemieckim pismem. I wygląda na to, że może mieć z tym coś wspólnego . Pomyślałem, że prawdopodobnie ktoś posiadał tę książkę przed Turingiem i to musi być notatka napisana przez tę osobę.
Kontynuowałem przeglądanie książki. Nie było żadnych notatek. A myślałam, że nic innego nie mogę znaleźć. Ale wtedy na stronie 231 odkryłam markową zakładkę z wydrukowanym tekstem:
Czy w końcu odkryję coś jeszcze? Kontynuowałem przeglądanie książki. Następnie na końcu książki, na stronie 259, w części poświęconej relatywistycznej teorii elektronów, odkryłem, co następuje:
Rozwinąłem tę kartkę papieru:
Od razu zrozumiałem, co to było zmieszane z , ale jak ten liść znalazł się tutaj? Przypomnijmy, że ta książka jest książką o mechanice kwantowej, ale załączona ulotka dotyczy logiki matematycznej, czyli tego, co obecnie nazywa się teorią obliczeń. Jest to typowe dla pism Turinga. Zastanawiałem się, czy Turing osobiście napisał tę notatkę?
Nawet podczas śniadania przeszukiwałem Internet w poszukiwaniu przykładów pisma Turinga, ale nie znalazłem przykładów w postaci obliczeń, więc nie mogłem wyciągnąć wniosków na temat dokładnej tożsamości pisma. I wkrótce musieliśmy iść. Starannie spakowałem książkę, gotowy odkryć tajemnicę, która to strona i kto ją napisał, i zabrałem ją ze sobą.
O książce
Na początek porozmawiajmy o samej książce. "» Pola Diraca zostały opublikowane w języku angielskim w 1930 roku i wkrótce zostały przetłumaczone na język niemiecki. (Przedmowa Diraca datowana jest na 29 maja 1930 r.; należy do tłumacza - - 15 sierpnia 1930 r.) Książka stała się kamieniem milowym w rozwoju mechaniki kwantowej, systematycznie ustanawiając jasny formalizm wykonywania obliczeń i m.in. wyjaśniając przewidywania Diraca , którego otwarcie nastąpi w 1932 r.
Dlaczego Alan Turing napisał książkę w języku niemieckim, a nie angielskim? Nie wiem tego na pewno, ale w tamtych czasach niemiecki był wiodącym językiem nauki i wiemy, że Alan Turing potrafił go czytać. (W końcu w imieniu swojego sławnego pracować « (Entscheidungsproblem)” było bardzo długim niemieckim słowem – i w głównej części artykułu operuje on dość mało znaną symboliką gotycką w postaci „niemieckich liter”, których używał zamiast np. symboli greckich).
Czy Alan Turing sam kupił tę książkę, czy też dostał ją od siebie? Nie wiem. Na wewnętrznej okładce książki Turinga znajduje się zapis ołówkiem „20/-”, który był standardowym zapisem dla „20 szylingów”, podobnym do 1 funta. Na prawej stronie wymazana cyfra „26.9.30”, prawdopodobnie oznaczająca 26 września 1930 r., być może datę pierwszego zakupu książki. Następnie, po prawej stronie, znajduje się usunięta liczba „20”. Być może to znowu cena. (Czy to może być cena w zakładając, że książka została sprzedana w Niemczech? W tamtych czasach 1 marka Reichsmarka była warta około 1 szylinga, niemiecka cena była prawdopodobnie zapisywana na przykład jako „20 RM”). Wreszcie na wewnętrznej stronie tylnej okładki widnieje „c 5/-” – może to (z dużą rabat) cena za używaną książkę.
Spójrzmy na główne daty z życia Alana Turinga. Alana Turinga (przypadkowo dokładnie 76 lat wcześniej ). Jesienią 1931 roku wstąpił do King’s College w Cambridge. Uzyskał tytuł licencjata po standardowych trzech latach studiów w roku 1934.
W latach dwudziestych i wczesnych trzydziestych XX wieku mechanika kwantowa była gorącym tematem i z pewnością interesował się nią Alan Turing. Z jego archiwum wiemy, że w 1920 roku, zaraz po wydaniu książki, otrzymał „» John von Neumann (na ). Wiemy również, że w 1935 roku Turing otrzymał zadanie od fizyka z Cambridge na temat studiowania mechaniki kwantowej. (Fowler zasugerował obliczenia , co jest w rzeczywistości bardzo złożonym problemem wymagającym pełnej analizy z oddziałującą kwantową teorią pola, która wciąż nie jest całkowicie rozwiązana).
A jednak kiedy i jak Turing zdobył swój egzemplarz książki Diraca? Biorąc pod uwagę cenę książki, Turing prawdopodobnie kupił ją z drugiej ręki. Kto był pierwszym właścicielem księgi? Notatki w książce wydają się dotyczyć przede wszystkim struktury logicznej, zauważając, że pewną zależność logiczną należy traktować jako aksjomat. A co z notatką zawartą na stronie 127?
Cóż, może to zbieg okoliczności, ale zaraz na stronie 127 – Dirac mówi o kwantze i kładzie podwaliny pod — co jest podstawą całego współczesnego formalizmu kwantowego. Co zawiera notatka? Zawiera rozszerzenie równania 14, które jest równaniem ewolucji amplitudy kwantowej w czasie. Autor notatki zastąpił amplitudę Diraca A przez ρ, być może odzwierciedlając w ten sposób wcześniejszą notację niemiecką (analogicznie do gęstości płynu). Następnie autor próbuje rozszerzyć akcję o potęgi ℏ (, podzielone przez 2π, czasami nazywane ).
Jednak nie wydaje się, aby z zawartości tej strony można było wyciągnąć wiele przydatnych informacji. Jeśli podniesiesz stronę pod światło, znajdziesz na niej małą niespodziankę – znak wodny z napisem „Z f. Fizyka. Chem. B":
To jest skrócona wersja - niemieckie czasopismo o chemii fizycznej, które zaczęło się ukazywać w 1928 roku. Być może notatkę napisał redaktor magazynu? Oto nagłówek magazynu z 1933 roku. Dla wygody redaktorów wymieniono według lokalizacji, a jeden z nich wyróżnia się: „Bourne · Cambridge”.
To jest kto jest autorem i wiele więcej w teorii mechaniki kwantowej (a także dziadek piosenkarza ). Zatem tę notatkę mógł napisać Max Born? Ale niestety tak nie jest, ponieważ charakter pisma nie pasuje.
A co z zakładką na stronie 231? Tutaj z obu stron:
Zakładka jest dziwna i całkiem piękna. Ale kiedy to powstało? W Cambridge tak jest , chociaż obecnie jest częścią Blackwell. Przez ponad 70 lat (do 1970 r.) Heffers mieścił się pod adresem, o czym świadczy zakładka: и .
Ta zakładka zawiera ważny klucz - jest to numer telefonu „Tel. 862". Tak się złożyło, że w 1939 roku większość Cambridge (łącznie z Heffersem) przeszła na liczby czterocyfrowe i już na pewno od 1940 roku zaczęto drukować zakładki z „nowoczesnymi” numerami telefonów. (Angielskie numery telefonów stopniowo się wydłużały; kiedy dorastałem w Anglii w latach sześćdziesiątych, nasze numery telefonów brzmiały „Oxford 1960” i „Kidmore End 56186”. Pamiętam te numery między innymi dlatego, że – choć obecnie jest to dziwne – nie wyglądało na to, że zawsze dzwoniłem na swój numer, gdy odbierałem połączenie przychodzące).
W tej formie zakładka drukowana była do 1939 roku. Ale ile wcześniej? W Internecie można znaleźć sporo skanów starych reklam firmy Heffers, datowanych co najmniej na rok 1912 (wraz z informacją „Prosimy o spełnienie pańskich próśb...”), uzupełniają „Telefon 862” dodając „(2 linijki)”. Istnieją również zakładki o podobnych wzorach, które można znaleźć w książkach już od 1904 r. (choć nie jest jasne, czy były one oryginalne w tych książkach (tzn. drukowane w tym samym czasie). Na potrzeby naszego śledztwa wydaje się, że mogę stwierdzić, że ta książka pochodziła z Heffera (który, nawiasem mówiąc, był główną księgarnią w Cambridge) gdzieś pomiędzy 1930 a 1939 rokiem.
Strona rachunku lambda
Teraz już wiemy coś o tym, kiedy książka została zakupiona. A co ze „stroną rachunku lambda”? Kiedy to zostało napisane? Cóż, oczywiście, do tego czasu rachunek lambda powinien już zostać wynaleziony. I zostało to zrobione , matematyk z , w pierwotnej formie w 1932 r. i w ostatecznej formie w 1935 r. (Istniały prace poprzednich naukowców, ale nie używali oni zapisu λ).
Istnieje złożony związek pomiędzy Alanem Turingiem a rachunkiem lambda. W 1935 roku Turing zainteresował się „mechanizacją” operacji matematycznych i wymyślił ideę maszyny Turinga, wykorzystując ją do rozwiązywania problemów z matematyki podstawowej. Turing wysłał artykuł na ten temat do francuskiego magazynu (), ale zaginął w poczcie; a potem okazało się, że odbiorcy, do którego to wysłał, i tak tam nie było, ponieważ przeprowadził się do Chin.
Ale w maju 1936 roku, zanim Turing zdążył wysłać swoją pracę gdziekolwiek indziej, . Turing skarżył się na to już wcześniej, opracowując dowód w 1934 roku , potem odkryłem, że był pewien norweski matematyk, który już to zrobił w 1922 roku.
Nietrudno zauważyć, że maszyny Turinga i rachunek lambda są w rzeczywistości równoważne pod względem rodzajów obliczeń, które mogą reprezentować (i to jest początek ). Jednak Turing (i jego nauczyciel ) byli przekonani, że podejście Turinga było na tyle odmienne, że zasługiwało na własną publikację. W listopadzie 1936 r. (z literówkami poprawionymi w następnym miesiącu) w Opublikowano słynną pracę Turinga .
Aby trochę uzupełnić oś czasu: od września 1936 do lipca 1938 (z trzymiesięczną przerwą w lecie 1937) Turing przebywał w Princeton, udając się tam z zamiarem zostania absolwentem Alonzo Church. W tym okresie w Princeton Turing najwyraźniej skoncentrował się całkowicie na logice matematycznej, pisząc kilka , - i najprawdopodobniej nie miał przy sobie książki o mechanice kwantowej.
Turing wrócił do Cambridge w lipcu 1938, ale już we wrześniu tego roku pracował w niepełnym wymiarze godzin , a rok później przeniósł się do Bletchley Park z zamiarem pracy tam na pełny etat nad zagadnieniami związanymi z kryptoanalizą. Po zakończeniu wojny w 1945 r. Turing przeniósł się do Londynu, aby pracować w sprawie opracowania projektu do stworzenia . Rok akademicki 1947–8 spędził w Cambridge, ale następnie przeniósł się do Manchesteru, aby się rozwijać .
W 1951 roku Turing zaczął poważnie studiować . (Dla mnie osobiście jest to fakt nieco ironiczny, gdyż wydaje mi się, że Turing zawsze podświadomie wierzył, że systemy biologiczne należy modelować za pomocą równań różniczkowych, a nie czegoś dyskretnego jak maszyny Turinga czy automaty komórkowe). Zainteresował się ponownie fizyką, a do 1954 r , Co: "Próbowałem wynaleźć nową mechanikę kwantową„ (chociaż dodał: „ale tak naprawdę nie jest faktem, że to się uda„). Ale niestety wszystko skończyło się nagle 7 czerwca 1954 roku, kiedy nagle zmarł Turing. (Przypuszczam, że nie było to samobójstwo, ale to inna historia.)
Wróćmy więc do strony rachunku lambda. Podnieśmy go pod światło i ponownie zobaczmy znak wodny:
Wygląda na kawałek brytyjskiego papieru i wydaje mi się mało prawdopodobne, aby używano go w Princeton. Ale czy możemy to dokładnie datować? Cóż, nie bez pomocy , wiemy, że oficjalnym producentem papieru była Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londyn. Może nam to pomóc, ale niezbyt wiele, ponieważ można założyć, że marka papieru Excelsior wydawała się być uwzględniona w katalogach zaopatrzenia od lat 1890. XIX wieku do 1954 roku.
Co mówi ta strona?
Przyjrzyjmy się zatem bliżej temu, co znajduje się po obu stronach kartki papieru. Zacznijmy od lambd.
Oto sposób, aby to ustalić , i są one podstawowym pojęciem w logice matematycznej, a obecnie w programowaniu funkcjonalnym. Funkcje te są dość powszechne w języku , a ich zadanie jest dość łatwe do wyjaśnienia. Na przykład ktoś pisze f[x], aby wskazać funkcję f, zastosowany do argumentu x. Istnieje wiele nazwanych funkcji f Jak na przykład lub lub . Ale co jeśli ktoś będzie chciał f[x] był 2x +1? Nie ma bezpośredniej nazwy tej funkcji. Ale czy istnieje inna forma zlecenia, f[x]?
Odpowiedź brzmi: tak: zamiast f piszemy Function[a,2a+1]. I w języku Wolfram Function [a,2a+1][x] stosuje funkcje do argumentu x, tworząc 2x+1. Function[a,2a+1] to funkcja „czysta” lub „anonimowa”, która reprezentuje czystą operację mnożenia przez 2 i dodawania 1.
Zatem λ w rachunku lambda jest dokładnym odpowiednikiem w języku Wolfram - a zatem na przykład λa.(2 a+1) równowartość Function[a, 2a + 1]. (Warto zauważyć, że funkcja, powiedzmy, Function[b,2b+1] równowartość; „zmienne powiązane” a lub b są po prostu podstawieniami argumentów funkcji - a w języku Wolfram można ich uniknąć, stosując alternatywne definicje czystych funkcji (2# +1)&).
W tradycyjnej matematyce funkcje są zwykle traktowane jako obiekty reprezentujące dane wejściowe (które są na przykład również liczbami całkowitymi) i wyniki (które również są na przykład liczbami całkowitymi). Ale co to za obiekt? (lub λ)? Zasadniczo jest to operator struktury, który pobiera wyrażenia i przekształca je w funkcje. Może się to wydawać trochę dziwne z punktu widzenia tradycyjnej matematyki i notacji matematycznej, ale jeśli trzeba dokonać dowolnej manipulacji symbolami, jest to o wiele bardziej naturalne, nawet jeśli na początku wydaje się trochę abstrakcyjne. (Należy zauważyć, że gdy użytkownicy uczą się języka Wolfram, zawsze mogę stwierdzić, że przekroczyli pewien próg abstrakcyjnego myślenia, gdy zyskają zrozumienie języka ).
Lambdy to tylko część tego, co jest obecne na stronie. Istnieje inna, jeszcze bardziej abstrakcyjna koncepcja - to . Rozważmy raczej niejasny ciąg PI1IIx? Co to może oznaczać? Zasadniczo jest to sekwencja kombinatorów lub abstrakcyjna kompozycja funkcji symbolicznych.
Zwykłą superpozycję funkcji, dość znaną w matematyce, można zapisać w języku Wolfram jako: f[g[x]] - co oznacza „stosować” f do wyniku aplikacji g к x" Ale czy nawiasy są do tego naprawdę potrzebne? W języku Wolfram f@g@ x - alternatywna forma nagrywania. W tym poście opieramy się na definicji z języka Wolfram: operator @ jest powiązany z prawą stroną, więc f@g@x równowartość f@(g@x).
Ale co będzie oznaczać nagranie? (f@g)@x? To jest równoważne f[g][x]. I jeśli f и g byłyby zwykłymi funkcjami w matematyce, byłoby to bez znaczenia, ale gdyby f - następnie f[g] samo w sobie może być funkcją, do której można z powodzeniem zastosować x.
Należy pamiętać, że nadal istnieje tu pewna złożoność. W f[х] - f jest funkcją jednego argumentu. I f[х] jest równoznaczne z pisaniem Function[a, f[a]][x]. Ale co z funkcją z dwoma argumentami, powiedzmy f[x,y]? Można to zapisać jako Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Ale co gdyby Function[{a},f[a,b]]? Co to jest? Istnieje tutaj „swobodna zmienna”. b, który jest po prostu przekazywany do funkcji. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] powiąże tę zmienną, a następnie Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] daje f[x,y] Ponownie. (Określenie funkcji tak, aby miała jeden argument, nazywa się „curryingiem” na cześć wymienionego logika ).
Jeśli istnieją zmienne wolne, istnieje wiele różnych złożoności w zakresie definiowania funkcji, ale jeśli ograniczymy się do obiektów lub λ, które nie mają zmiennych wolnych, to w zasadzie można je określić dowolnie. Takie obiekty nazywane są kombinatorami.
Kombinatory mają długą historię. Wiadomo, że po raz pierwszy zaproponował je student w 1920 roku - .
W tamtym czasie dopiero niedawno odkryto, że nie ma potrzeby używania tych wyrażeń , и do przedstawienia wyrażeń w standardowej logice zdań: wystarczyło użyć jednego operatora, który teraz wywołamy (ponieważ, jeśli piszesz np jak wtedy Or[a,b] przyjmie formę ). Schoenfinkel chciał znaleźć tę samą minimalną reprezentację logiki predykatów lub, zasadniczo, logiki obejmującej funkcje.
Wymyślił dwa „kombinatory” S i K. W języku Wolfram będzie to zapisane jako
K[x_][y_] → x i S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Godne uwagi jest to, że okazało się, że można wykorzystać te dwa kombinatory do wykonania dowolnych obliczeń. Na przykład,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
może być używany jako funkcja dodawania dwóch liczb całkowitych.
Wszystko to są, delikatnie mówiąc, raczej abstrakcyjne obiekty, ale teraz, gdy rozumiemy, czym są maszyny Turinga i rachunek lambda, możemy zobaczyć, że kombinatory Schoenfinkla faktycznie przewidziały koncepcję obliczeń uniwersalnych. (A jeszcze bardziej niezwykłe jest to, że definicje S i K z 1920 roku są minimalnie proste, przypominając , który zaproponowałem w latach 1990., którego wszechstronność była ).
Wróćmy jednak do naszego liścia i linii PI1IIx. Zapisane tutaj symbole to kombinatory i wszystkie mają na celu określenie funkcji. Tutaj definicja jest taka, że superpozycja funkcji musi pozostać asocjacyjna, tak że fgx nie należy interpretować jako f@g@x lub f@(g@x) lub f[g[x]], ale raczej jako (f@g)@x lub f[g][x]. Przetłumaczmy ten wpis na formę wygodną do użycia przez język Wolfram: PI1IIx przyjmie formę p[i][jeden][i][i][x].
Po co pisać coś takiego? Aby to wyjaśnić, musimy omówić koncepcję liczb kościelnych (nazwanych na cześć kościoła Alonzo). Powiedzmy, że pracujemy tylko z symbolami i lambdami lub kombinatorami. Czy istnieje sposób użycia ich do określenia liczb całkowitych?
Może po prostu powiemy, że to liczba n odpowiada Function[x, Nest[f,x,n]]? Innymi słowy, że (w krótszej notacji):
1 jest f[#]&
2 jest f[f[#]]&
3 jest f[f[f[#]]]& i tak dalej.
To wszystko może wydawać się nieco bardziej niejasne, ale jest to interesujące dlatego, że pozwala nam uczynić wszystko całkowicie symbolicznym i abstrakcyjnym, bez konieczności bezpośredniego mówienia o czymś takim jak liczby całkowite.
Za pomocą tej metody określania liczb wyobraźmy sobie na przykład dodanie dwóch liczb: 3 można przedstawić jako f[f[f[#]]]& i 2 jest f[f[#]]&. Możesz je dodać, po prostu stosując jeden z nich do drugiego:
Ale jaki jest przedmiot? f? To może być wszystko! W pewnym sensie „przejdź do lambda” i reprezentuj liczby za pomocą funkcji, które przyjmują f jako argument. Innymi słowy, przedstawmy 3 na przykład jako Function[f,f[f[f[#]]] &] lub Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (kiedy i jak należy nazywać zmienne, to kwestia rachunku lambda).
Rozważmy fragment artykułu Turinga z 1937 roku , który ustawia obiekty dokładnie tak, jak właśnie omówiliśmy:
W tym miejscu nagranie może być nieco mylące. x Turing jest nasz f, I jego x ' (maszynistka pomyliła się wstawiając spację) - to jest nasze x. Ale tutaj zastosowano dokładnie to samo podejście.
Przyjrzyjmy się więc linii zaraz po złożeniu na przodzie kartki. Ten I1IIIYI1IIx. Zgodnie z notacją języka Wolfram byłoby to i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Ale tutaj i jest funkcją tożsamości, więc i[one] to po prostu widać pierwszej. Tymczasem, pierwszej to numeryczna reprezentacja Churcha dla 1 lub Function[f,f[#]&]. Ale z tą definicją one[а] staje się a[#]& и one[a][b] staje się a[b]. (Przy okazji, i[а][b]Lub Identity[а][b] jest również а[b]).
Będzie znacznie jaśniej, jeśli spiszemy zasady zastępowania i и pierwszej, zamiast bezpośrednio stosować rachunek lambda. Wynik będzie taki sam. Stosując te reguły jawnie, otrzymujemy:
A to jest dokładnie to samo, co zaprezentowano w pierwszym skróconym wpisie:
Spójrzmy teraz ponownie na liść, na jego górę:
Jest tu kilka dość mylących i mylących obiektów „E” i „D”, ale mamy na myśli „P” i „Q”, więc możemy zapisać wyrażenie i ocenić je (zauważ, że tutaj - po pewnym zamieszaniu z ostatni symbol – „tajemniczy naukowiec” stawia […] i (...), aby przedstawić zastosowanie funkcji):
To jest więc pierwszy pokazany skrót. Aby zobaczyć więcej, podłączmy definicje Q:
Otrzymujemy dokładnie następującą redukcję. Co się stanie, jeśli zastąpimy wyrażenia P?
Oto wynik:
A teraz, korzystając z faktu, że i jest funkcją wyprowadzającą sam argument, otrzymujemy:
Ooooops! Ale to nie jest kolejna nagrana linia. Czy jest tu błąd? Niejasny. Bo przecież w przeciwieństwie do większości innych przypadków nie ma strzałki wskazującej, że następna linia wynika z poprzedniej.
Jest tu trochę tajemnicy, ale przejdźmy do dołu arkusza:
Tutaj 2 to numer Kościoła, określony na przykład wzorem two[a_] [b_] → a[a[b]]. Zauważ, że jest to właściwie forma drugiej linii, jeśli a jest uważane za Function[r,r[р]] и b jak q. Oczekujemy zatem, że wynik obliczeń będzie następujący:
Jednak wyraz w środku а[b] można zapisać jako x (prawdopodobnie inne niż x zapisane wcześniej na kartce papieru) - w efekcie otrzymujemy końcowy wynik:
Zatem niewiele możemy rozszyfrować z tego, co dzieje się na tej kartce papieru, ale przynajmniej jedną tajemnicą, która wciąż pozostaje, jest to, czym powinien być Y.
Tak naprawdę w logice kombinatorycznej istnieje standardowy kombinator Y: tzw . Formalnie definiuje się to przez fakt, że Y[f] musi być równe f[T[f]], lub innymi słowy, że Y[f] nie zmienia się po zastosowaniu f, więc jest to punkt stały dla f. (Kombinator Y jest powiązany z #0 w języku Wolfram.)
Obecnie kombinator Y zasłynął dzięki , tak nazwany (który jest fanem od dłuższego czasu и i wdrożył pierwszy sklep internetowy oparty na tym języku). Powiedział mi kiedyś osobiście”nikt nie rozumie, czym jest kombinator Y" (Należy zauważyć, że Y Combinator jest dokładnie tym, co pozwala firmom uniknąć transakcji o stałym oprocentowaniu...)
Kombinator Y (jako kombinator stałoprzecinkowy) został wynaleziony kilka razy. Turing wymyślił jego wdrożenie w 1937 roku, które nazwał Θ. Ale czy litera „Y” na naszej stronie jest słynnym kombinatorem stałoprzecinkowym? Może nie. Jakie jest więc nasze „Y”? Rozważ ten skrót:
Jednak ta informacja zdecydowanie nie wystarczy, aby jednoznacznie określić, czym jest Y. Jasne jest, że Y operuje nie tylko jednym argumentem; Wygląda na to, że w grę wchodzą co najmniej dwa argumenty, ale nie jest jasne (przynajmniej dla mnie), ile argumentów przyjmuje jako dane wejściowe i co robi.
Wreszcie, chociaż wiele części dokumentu możemy zrozumieć, musimy powiedzieć, że w skali globalnej nie jest jasne, co w nim zrobiono. Mimo że jest dużo wyjaśnień dotyczących tego, co jest tutaj na arkuszu, jest to dość proste w rachunku lambda i używaniu kombinatorów.
Prawdopodobnie jest to próba stworzenia prostego „programu” - przy użyciu rachunku lambda i kombinatorów do zrobienia czegoś. Ale choć jest to typowe dla inżynierii odwrotnej, trudno nam powiedzieć, czym to „coś” powinno być i jaki jest ogólny „wytłumaczalny” cel.
Jest jeszcze jedna cecha zaprezentowana na arkuszu, którą warto w tym miejscu skomentować – zastosowanie różnego rodzaju nawiasów. Tradycyjna matematyka najczęściej używa nawiasów do wszystkiego i zastosowań funkcji (jak w f (x)) i grupy członków (jak w (1+x) (1-x)lub, co mniej oczywiste, a(1-x)). (W języku Wolfram oddzielamy różne zastosowania nawiasów — w nawiasach kwadratowych definiujemy funkcje f [x] - i nawiasy służą tylko do grupowania).
Kiedy po raz pierwszy pojawił się rachunek lambda, pojawiło się wiele pytań dotyczących stosowania nawiasów. Alan Turing napisał później całe (niepublikowane) dzieło pt”, ale już w 1937 roku poczuł potrzebę opisania nowoczesnych (raczej hackerskich) definicji rachunku lambda (które, notabene, pojawiły się za sprawą Churcha).
On to powiedział f, zastosowano g, należy napisać {f}(g), Gdyby tylko f nie jest jedyną postacią, w tym przypadku może tak być f(g). Następnie powiedział lambda (jak w Function[a, b]) należy zapisać jako λ a[b] lub alternatywnie λ a.b.
Jednak być może do 1940 roku porzucono cały pomysł używania {...} i […] do reprezentowania różnych obiektów, w dużej mierze na rzecz standardowych nawiasów matematycznych.
Spójrz na górę strony:
W tej formie jest to trudne do zrozumienia. W definicjach Churcha nawiasy kwadratowe służą do grupowania, a kropkę zastępuje nawias otwarty. Korzystając z tej definicji, staje się jasne, że Q (ostatecznie oznaczone literą D) ujęte w nawiasy na końcu odnosi się do całej początkowej lambdy.
Nawias kwadratowy w rzeczywistości nie wyznacza treści lambdy; zamiast tego w rzeczywistości reprezentuje inne zastosowanie funkcji i nie ma wyraźnego wskazania, gdzie kończy się treść lambdy. Na koniec widać, że „tajemniczy naukowiec” zamienił zamykający nawias kwadratowy na okrągły, skutecznie stosując w ten sposób definicję Churcha – i tym samym wymuszając obliczenie wyrażenia w sposób pokazany na arkuszu.
Co więc w ogóle oznacza ten mały kawałek? Myślę, że to sugeruje, że strona została napisana w latach trzydziestych XX wieku lub niedługo później, ponieważ konwencja dotycząca nawiasów nie została jeszcze ustalona.
Czyje to w ogóle było pismo?
Więc wcześniej rozmawialiśmy o tym, co jest napisane na stronie. Ale co z tym, kto tak naprawdę to napisał?
Najbardziej oczywistym kandydatem na tę rolę byłby sam Alan Turing, bo przecież strona znajdowała się w jego książce. Pod względem treści wydaje się, że nie ma nic sprzecznego z koncepcją, że mógł ją napisać Alan Turing – nawet gdy po raz pierwszy zetknął się z rachunkiem lambda po otrzymaniu artykułu Churcha na początku 1936 roku.
A co z pismem ręcznym? Czy należy do Alana Turinga? Spójrzmy na kilka zachowanych przykładów, o których wiemy na pewno, że zostały napisane przez Alana Turinga:
Zaprezentowany tekst oczywiście wygląda zupełnie inaczej, ale co z notacją zastosowaną w tekście? Przynajmniej moim zdaniem nie wygląda to tak oczywisto – a można przypuszczać, że jakakolwiek różnica może wynikać właśnie z tego, że istniejące próbki (prezentowane w archiwach) są zapisane, by tak rzec, „na powierzchni, ”, podczas gdy nasza strona jest właśnie odbiciem dzieła myśli.
Dla naszego śledztwa wygodne okazało się to, że w archiwum Turinga znajduje się strona, na której pisał , niezbędne do zapisu. A porównując te symbole litera po literze, wydają mi się całkiem podobne (te notatki zostały zrobione w Turinga, kiedy studiował , stąd etykieta „obszar liścia”):
Chciałem zgłębić ten temat głębiej, więc wysłałem próbki , profesjonalnego eksperta od pisma ręcznego (i autora problemów związanych z pismem ręcznym), którego miałem przyjemność spotkać raz - po prostu prezentując naszą pracę jako „Próbkę „A” i istniejącą próbkę pisma Turinga jako „Próbkę „B”. Jej odpowiedź była ostateczna i negatywna: „Styl pisania jest zupełnie inny. Jeśli chodzi o osobowość, autor próbki „B” ma szybszy i bardziej intuicyjny styl myślenia niż autor próbki „A”.".
Nie byłem jeszcze do końca przekonany, ale zdecydowałem, że czas przyjrzeć się innym opcjom.
Jeśli więc okaże się, że Turing tego nie napisał, to kto to zrobił? Norman Routledge powiedział mi, że otrzymał tę książkę od Robina Gandy’ego, który był wykonawcą wyroku na Turingu. Wysłałem więc „Próbkę „C” od Gandhiego:
Jednak Sheila doszła do wstępnego wniosku, że trzy próbki zostały prawdopodobnie napisane przez trzy różne osoby, ponownie zauważając, że próbka „B” pochodziła z „najszybszy myśliciel — ten, który prawdopodobnie będzie najbardziej chętny do szukania nietypowych rozwiązań problemów" (Uważam za odświeżające, że współczesny ekspert od pisma ręcznego dokonał takiej oceny pisma Turinga, biorąc pod uwagę, jak bardzo wszyscy narzekali na jego charakter pisma podczas zadań szkolnych Turinga w latach dwudziestych XX wieku).
Cóż, w tym momencie wydawało się, że zarówno Turing, jak i Gandhi zostali wykluczeni jako „podejrzani”. Kto zatem mógł to napisać? Zacząłem myśleć o ludziach, którym Turing mógł pożyczyć swoją książkę. Oczywiście muszą także potrafić wykonywać obliczenia z wykorzystaniem rachunku lambda.
Założyłem, że osoba ta musi pochodzić z Cambridge lub przynajmniej z Anglii, biorąc pod uwagę znak wodny na papierze. Za roboczą hipotezę przyjąłem, że rok 1936 to dobry czas na napisanie tej książki. Kogo zatem Turing znał i z kim komunikował się w tamtym czasie? Za ten okres czasu uzyskaliśmy listę wszystkich uczniów i nauczycieli matematyki w King's College. (W latach 13–1930 studiowało 1936 znanych studentów.)
I z nich wydawał się najbardziej obiecującym kandydatem . Był w tym samym wieku co Turing, jego wieloletni przyjaciel, interesował się także podstawami matematyki – w 1933 roku opublikował nawet artykuł na temat tego, co obecnie nazywamy : 0.12345678910111213… (otrzymane przez 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,… i jedna z niewielu liczb w tym sensie, że każdy możliwy blok cyfr występuje z równym prawdopodobieństwem).
W 1937 roku użył nawet macierzy gamma Diraca, jak wspomniano w książce Diraca, do rozwiązania . (Tak się składa, że po latach stałem się wielkim fanem obliczeń za pomocą macierzy gamma).
Rozpoczynając naukę matematyki, Champernowne znalazł się pod wpływem (także w King's College) i ostatecznie został wybitnym ekonomistą, szczególnie zajmującym się nierównością dochodów. (Jednak w 1948 roku współpracował także z Turingiem przy tworzeniu - program szachowy, który stał się praktycznie pierwszym na świecie zaimplementowanym na komputerze).
Ale gdzie mógłbym znaleźć próbkę pisma Champernowne’a? Wkrótce na LinkedIn znalazłem jego syna Arthura Champernowne’a, który, co dziwne, miał dyplom z logiki matematycznej i pracował dla Microsoftu. Powiedział, że ojciec dużo z nim rozmawiał na temat twórczości Turinga, chociaż nie wspomniał o kombinatorach. Przesłał mi próbkę pisma swojego ojca (fragment o algorytmicznym komponowaniu muzyki):
Od razu widać, że charakter pisma do siebie nie pasuje (loki i ogony w literach f w piśmie Champernowne’a itp.)
Więc kto inny mógłby to być? Zawsze podziwiałem , pod wieloma względami mentor Alana Turinga. Newman jako pierwszy zainteresował Turinga ”mechanizacja matematyki" był jego wieloletnim przyjacielem, a po latach został jego szefem w projekcie komputerowym w Manchesterze. (Pomimo zainteresowania obliczeniami Newman zawsze wydawał się postrzegać siebie przede wszystkim jako topologa, chociaż jego wnioski były poparte błędnym dowodem, z którego wyprowadził ).
Znalezienie próbki pisma Newmana nie było trudne – i znowu: nie, charakter pisma zdecydowanie do siebie nie pasował.
„Ślad” książki
Zatem pomysł identyfikacji pisma ręcznego nie powiódł się. Zdecydowałem, że następnym krokiem będzie bardziej szczegółowe prześledzenie, co właściwie dzieje się z książką, którą trzymam w rękach.
Po pierwsze, jaka była dłuższa historia z Normanem Rutledge’em? Uczęszczał do King's College w Cambridge w 1946 roku i poznał Turinga (tak, obaj byli gejami). Ukończył studia w 1949 r., a następnie rozpoczął pisanie pracy doktorskiej pod kierunkiem Turinga jako swojego doradcy. Stopień doktora uzyskał w 1954 r., pracując nad logiką matematyczną i teorią rekurencji. Otrzymał osobiste stypendium w King's College, gdzie w 1957 roku został kierownikiem wydziału matematyki. Mógłby zajmować się tym przez całe życie, ale miał szerokie zainteresowania (muzyka, sztuka, architektura, matematyka rekreacyjna, genealogia itp.). W 1960 roku zmienił kierunek studiów i został nauczycielem w Eton, gdzie pokolenia studentów (w tym ja) pracowały (i studiowały) i miały kontakt z jego eklektyczną, a czasem nawet dziwną wiedzą.
Czy Norman Routledge mógł sam napisać tę tajemniczą stronę? Znał rachunek lambda (choć przypadkowo wspomniał o tym podczas naszej herbaty w 2005 roku, że zawsze uważał go za „zagmatwany”). Jednak jego charakterystyczny charakter pisma od razu wyklucza go jako potencjalnego „tajemniczego naukowca”.
Czy ta strona może być w jakiś sposób powiązana ze studentem Normana, być może z czasów, gdy był jeszcze w Cambridge? Wątpię. Ponieważ nie sądzę, żeby Norman kiedykolwiek studiował rachunek lambda lub coś w tym rodzaju. Pisząc ten artykuł, odkryłem, że Norman napisał w 1955 roku artykuł na temat tworzenia logiki na „komputerach elektronicznych” (i tworzenia koniunktywnych form normalnych, tak jak robi to teraz funkcja wbudowana ). Kiedy poznałem Normana, bardzo interesowało go pisanie narzędzi dla prawdziwych komputerów (jego inicjały to „NAR”, a swoje programy nazywał „NAR…”, na przykład „NARLAB”, program do tworzenia etykiet tekstowych za pomocą dziurkowanych dziurkowe „wzory” „na taśmie papierowej). Ale nigdy nie mówił o teoretycznych modelach obliczeń.
Przeczytajmy nieco bliżej notatkę Normana znajdującą się w książce. Pierwszą rzeczą, którą zauważymy, jest to, że mówi o „ofiarowanie książek z biblioteki zmarłego" Ze sformułowania wynika, że wszystko wydarzyło się dość szybko po śmierci mężczyzny, co sugeruje, że Norman otrzymał książkę wkrótce po śmierci Turinga w 1954 r. i że Gandhiemu jej brakowało przez znacznie długi czas. Norman mówi dalej, że faktycznie otrzymał cztery książki, dwie o czystej matematyce i dwie o fizyce teoretycznej.
Potem powiedział, że dał „inny z książki o fizyce (coś w rodzaju )""Sebagowi Montefiore, miłemu młodemu człowiekowi, którego możesz pamiętać [George Rutter]" OK, więc kim on jest? Odkopałem moją rzadko używaną listę członków . (Muszę donieść, że otwierając go, nie mogłem nie zwrócić uwagi na jego zasady obowiązujące od 1902 r., z których pierwszy, zatytułowany „Prawa posłów”, brzmiał zabawnie: „Ubierz się w barwy Stowarzyszenia").
Należy dodać, że prawdopodobnie nigdy nie dołączyłbym do tego towarzystwa ani nie otrzymałbym tej książki, gdyby nie namowa znajomego z Eton o nazwisku , który od 12. roku życia planował zostać premierem, ale niestety zmarł w wieku 21 lat).
Ale w każdym razie spośród osób o nazwisku Sebag-Montefiore, o szerokim rozpiętości dat studiów, figurowało tylko pięć osób. Nietrudno było zrozumieć, że to było odpowiednie . Jak się okazuje, mały świat, jego rodzina była właścicielem Bletchley Park, zanim w 1938 roku sprzedała go rządowi brytyjskiemu. A w 2000 roku napisał Sebag-Montefiore - najprawdopodobniej dlatego w 2002 roku Norman zdecydował się podarować mu książkę, którą posiadał Turing.
OK, a co z innymi książkami, które Norman dostał od Turinga? Nie mając innego sposobu, aby dowiedzieć się, co się z nimi stało, zamówiłem kopię testamentu Normana. Ostatnia klauzula testamentu była wyraźnie w stylu Normana:
W testamencie stwierdzono, że książki Normana należy pozostawić w King's College. I chociaż wydaje się, że nigdzie nie można znaleźć jego pełnego księgozbioru, dwie książki Turinga o czystej matematyce, o których wspomniał w swojej notatce, są obecnie należycie zarchiwizowane w Bibliotece King's College.
Następne pytanie: co się stało z innymi książkami Turinga? Przyjrzałem się testamentowi Turinga, z którego wynikało, że pozostawił ich wszystkich Robinowi Gandy’emu.
Gandhi był studentem matematyki w King's College w Cambridge, który zaprzyjaźnił się z Alanem Turingiem na jego ostatnim roku studiów w 1940 roku. Na początku wojny Gandhi pracował w radiu i radarze, ale w 1944 roku został przydzielony do tej samej jednostki co Turing i zajmował się szyfrowaniem mowy. A po wojnie Gandhi wrócił do Cambridge, wkrótce otrzymując doktorat, a Turing został jego doradcą.
Praca w wojsku najwyraźniej skłoniła go do zainteresowania się fizyką, a jego rozprawa doktorska, ukończona w 1952 r., nosiła tytuł . Być może Gandhi próbował scharakteryzować teorie fizyczne w kategoriach logiki matematycznej. Opowiada o и , ale nie o maszynach Turinga. I z tego, co wiemy teraz, myślę, że możemy stwierdzić, że raczej nie trafił w sedno. I rzeczywiście, od początku lat 1980. XX wieku argumentował, że procesy fizyczne należy traktować raczej jako „różne obliczenia” - na przykład maszyny Turinga lub automaty komórkowe - a nie jako twierdzenia, które należy wydedukować. (Gandhi całkiem nieźle omawia porządek typów występujących w teoriach fizycznych, mówiąc na przykład, że „Uważam, że rząd dowolnej obliczalnej liczby dziesiętnej w postaci binarnej jest mniejszy niż osiem„). On to powiedział "Jednym z powodów, dla których współczesna kwantowa teoria pola jest tak złożona, jest to, że zajmuje się ona obiektami dość złożonego typu - funkcjonałami funkcji...„, co ostatecznie oznacza, że”równie dobrze moglibyśmy przyjąć największy typ powszechnego użycia jako miarę postępu matematycznego”.)
Gandhi kilkakrotnie wspomina Turinga w swojej rozprawie, zauważając we wstępie, że jest wdzięczny A.M. Turingowi, który „najpierw zwrócił swoją nieco nieokreśloną uwagę na rachunek różniczkowy Churcha” (tj. rachunek lambda), chociaż tak naprawdę jego teza ma kilka dowodów lambda.
Po obronie swojej rozprawy Gandhi zwrócił się ku czystszej logice matematycznej i przez ponad trzydzieści lat pisał artykuły w tempie jednego rocznie, a artykuły te były z powodzeniem cytowane w społeczności międzynarodowej logiki matematycznej. W 1969 roku przeprowadził się do Oksfordu i wydaje mi się, że spotkałem go w młodości, chociaż nie pamiętam tego.
Gandhi najwyraźniej był wielkim idolem Turinga i często mówił o nim w późniejszych latach. Nasuwa się pytanie o pełny zbiór dzieł Turinga. Krótko po śmierci Turinga Sarah Turing i Max Newman poprosili Gandhiego – jako jego wykonawcę – o zorganizowanie publikacji niepublikowanych dzieł Turinga. Lata mijały i odzwierciedlają frustrację Sary Turing w tej kwestii. Ale jakoś Gandhi najwyraźniej nigdy nie planował złożyć dokumentów Turinga w jedną całość.
Gandhi zmarł w 1995 roku, nie zbierając ukończonych dzieł. - krytyk literacki i biograf , którego Turing poznał w King's College, był agentem literackim Turinga i w końcu rozpoczął pracę nad dziełami zebranymi Turinga. Najbardziej kontrowersyjny wydawał się tom poświęcony logice matematycznej, do którego przyciągnął swojego pierwszego poważnego studenta, Robina Gandy’ego, niejakiego , który znalazł listy do Gandhiego dotyczące prac zebranych, których nie rozpoczęto od 24 lat. ( ostatecznie ukazały się w 2001 roku – 45 lat po ich wydaniu).
Ale co z książkami, które Turing osobiście posiadał? Kontynuując próby ich wyśledzenia, moim następnym przystankiem była rodzina Turingów, a w szczególności najmłodszy syn brata Turinga, (który tak naprawdę jest Sir Dermotem Turingiem, ponieważ nim był , tytuł ten nie przeszedł na niego przez Alana z rodziny Turingów). Dermot Turing (który niedawno napisał ) opowiedział mi o „babci Turinga” (aka Sarah Turing), jej dom najwyraźniej miał wspólne wejście do ogrodu z jego rodziną i wiele innych rzeczy na temat Alana Turinga. Powiedział mi, że osobiste książki Alana Turinga nigdy nie były w ich rodzinie.
Wróciłem więc do czytania testamentów i odkryłem, że wykonawcą testamentu Gandhiego był jego uczeń Mike Yates. Dowiedziałem się, że Mike Yates przeszedł na emeryturę jako profesor 30 lat temu i obecnie mieszka w Północnej Walii. Powiedział, że przez dziesięciolecia pracy nad logiką matematyczną i teorią obliczeniową tak naprawdę nigdy nie dotknął komputera – ale w końcu to zrobił, kiedy przeszedł na emeryturę (i stało się to wkrótce po odkryciu programu ). Powiedział, jak cudownie było, że Turing stał się tak sławny i że kiedy przybył do Manchesteru zaledwie trzy lata po śmierci Turinga, nikt nie mówił o Turingu, nawet Max Newman, gdy prowadził zajęcia z logiki. Jednak Gandy później opowiadał o tym, jak bardzo zaangażował się w zajmowanie się kolekcją dzieł Turinga i ostatecznie pozostawił je wszystkie Mike'owi.
Co Mike wiedział o książkach Turinga? Znalazł jeden z odręcznych notatników Turinga, którego Gandhi nie dał King's College, ponieważ (co dziwne) Gandhi użył go jako przykrywki dla notatek, które trzymał na temat swoich snów. (Turing prowadził także notatki ze swoich snów, które uległy zniszczeniu po jego śmierci). Mike powiedział, że notatnik został niedawno sprzedany na aukcji za około 1 milion dolarów. I że w przeciwnym razie nie pomyślałby, że wśród rzeczy Gandhiego znajdują się materiały Turinga.
Wydawało się, że wszystkie nasze możliwości się wyczerpały, ale Mike poprosił mnie, abym spojrzał na tę tajemniczą kartkę papieru. I natychmiast powiedział: „To pismo Robina Gandy'ego!» Powiedział, że widział tak wiele rzeczy przez te lata. I był pewien. Powiedział, że nie wie zbyt wiele o rachunku lambda i nie może przeczytać tej strony, ale jest pewien, że napisał ją Robin Gandy.
Wróciliśmy do naszej ekspertki od pisma ręcznego z większą liczbą próbek, a ona zgodziła się, że tak, to, co tam było, pasowało do pisma Gandhiego. W końcu doszliśmy do wniosku: Robin Gandy napisał tę tajemniczą kartkę papieru. Nie została napisana przez Alana Turinga; został napisany przez jego ucznia Robina Gandy'ego.
Oczywiście pewne tajemnice wciąż pozostają. Turing rzekomo pożyczył Gandhiemu książkę, ale kiedy? Forma zapisu rachunku lambda sprawia wrażenie, jakby miało to miejsce około lat trzydziestych XX wieku. Jednak sądząc po komentarzach do rozprawy Gandhiego, prawdopodobnie nie zajmowałby się on rachunkiem lambda aż do późnych lat czterdziestych XX wieku. Powstaje zatem pytanie, dlaczego Gandhi to napisał. Nie wydaje się, aby było to bezpośrednio powiązane z jego tezą, więc mogło mieć to miejsce, gdy po raz pierwszy próbował obliczyć rachunek lambda.
Wątpię, czy kiedykolwiek poznamy prawdę, ale z pewnością fajnie było ją rozgryźć. Muszę w tym miejscu powiedzieć, że cała ta podróż znacznie poszerzyła moje zrozumienie tego, jak złożone mogą być historie podobnych ksiąg z minionych stuleci, które w szczególności są moją własnością. To sprawia, że myślę, że lepiej będzie, jeśli zajrzę na wszystkie ich strony – żeby zobaczyć, co może być tam interesującego…
Dziękujemy za pomoc: Jonathanowi Gorardowi (Cambridge Private Studies), Danie Scott (logika matematyczna) i Matthew Szudzikowi (logika matematyczna).
O tłumaczeniuTłumaczenie posta Stephena Wolframa „".
Wyrażam moją głęboką wdzięczność и za pomoc w tłumaczeniu i przygotowaniu publikacji.
Chcesz nauczyć się programować w języku Wolfram?
Oglądaj co tydzień .
. Gotowy .
w języku Wolfram.
Źródło: www.habr.com