„Jeśli czytasz napis „bawół” na klatce słonia, nie wierz własnym oczom.” Kozma Prutkov
W poprzednim pokazano, dlaczego potrzebny jest model obiektowy i udowodniono, że bez tego modelu obiektowego można mówić o projektowaniu opartym na modelach jedynie jako o marketingowej zamieci, bezsensownej i bezlitosnej. Kiedy jednak pojawia się model obiektu, kompetentni inżynierowie zawsze mają uzasadnione pytanie: jakie istnieją dowody na to, że model matematyczny obiektu odpowiada obiektowi rzeczywistemu.
Przykładową odpowiedź na to pytanie podano w W tym artykule przyjrzymy się przykładowi tworzenia modelu systemów klimatyzacji samolotów, rozcieńczając praktykę pewnymi rozważaniami teoretycznymi o charakterze ogólnym.
Stworzenie wiarygodnego modelu obiektu. Teoria
Aby nie zwlekać, od razu opowiem o algorytmie tworzenia modelu do projektowania opartego na modelu. Wystarczą tylko trzy proste kroki:
Krok 1. Opracuj układ równań algebraiczno-różniczkowych opisujących dynamiczne zachowanie modelowanego układu. To proste, jeśli znasz fizykę procesu. Wielu naukowców opracowało już dla nas podstawowe prawa fizyczne nazwane imionami Newtona, Brenoula, Naviera Stokesa i innych Stangelsów, Kompasów i Rabinowicza.
Krok 2. W otrzymanym układzie należy wybrać zbiór współczynników empirycznych i charakterystyk obiektu modelowanego, które można uzyskać w wyniku badań.
Krok 3. Przeprowadź badania obiektu i dostosuj model w oparciu o wyniki pełnowymiarowych eksperymentów, tak aby odpowiadał rzeczywistości, z wymaganym stopniem szczegółowości.
Jak widać, to proste, wystarczy dwa trzy.
Przykład praktycznego wdrożenia
System klimatyzacji (ACS) w samolocie jest podłączony do automatycznego systemu utrzymywania ciśnienia. Ciśnienie w samolocie musi być zawsze większe niż ciśnienie zewnętrzne, a szybkość zmian ciśnienia musi być taka, aby piloci i pasażerowie nie krwawili z nosa i uszu. Dlatego system kontroli wlotu i wylotu powietrza jest ważny dla bezpieczeństwa, a w celu jego rozwoju kładzie się na ziemi kosztowne systemy testowe. Wytwarzają temperatury i ciśnienia na wysokości lotu oraz odtwarzają warunki startu i lądowania na lotniskach na różnych wysokościach. Kwestia opracowywania i debugowania systemów sterowania dla SCV osiąga swój pełny potencjał. Jak długo będziemy pracować na stanowisku testowym, aby uzyskać zadowalający system sterowania? Oczywiście, jeśli założymy model sterowania na modelu obiektu, to cykl pracy na stanowisku badawczym można znacznie skrócić.
System klimatyzacji samolotu składa się z tych samych wymienników ciepła, co każdy inny system termiczny. Bateria to też bateria w Afryce, tylko klimatyzator. Jednak ze względu na ograniczenia masy startowej i wymiarów samolotów, wymienniki ciepła są tak zwarte i możliwie wydajne, aby przenieść jak najwięcej ciepła z mniejszej masy. W rezultacie geometria staje się dość dziwna. Podobnie jak w rozpatrywanym przypadku. Rysunek 1 przedstawia płytowy wymiennik ciepła, w którym pomiędzy płytami zastosowano membranę w celu poprawy wymiany ciepła. W kanałach naprzemiennie znajduje się gorący i zimny płyn chłodzący, a kierunek przepływu jest poprzeczny. Jedno chłodziwo jest doprowadzane do przedniego cięcia, drugie - z boku.
Aby rozwiązać problem sterowania SCR, musimy wiedzieć, ile ciepła jest przekazywane z jednego ośrodka do drugiego w takim wymienniku ciepła w jednostce czasu. Od tego zależy tempo zmian temperatury, które regulujemy.
Rysunek 1. Schemat wymiennika ciepła samolotu.
Problemy modelowania. Część hydrauliczna
Na pierwszy rzut oka zadanie jest dość proste, należy obliczyć przepływ masowy przez kanały wymiennika ciepła i przepływ ciepła pomiędzy kanałami.
Masowe natężenie przepływu chłodziwa w kanałach oblicza się za pomocą wzoru Bernouliego:
gdzie:
ΔP – różnica ciśnień pomiędzy dwoma punktami;
ξ – współczynnik tarcia chłodziwa;
L – długość kanału;
d – średnica hydrauliczna kanału;
ρ – gęstość chłodziwa;
ω – prędkość chłodziwa w kanale.
Dla kanału o dowolnym kształcie średnicę hydrauliczną oblicza się ze wzoru:
gdzie:
F – powierzchnia przepływu;
P – zwilżony obwód kanału.
Współczynnik tarcia oblicza się za pomocą wzorów empirycznych i zależy od prędkości przepływu i właściwości chłodziwa. Dla różnych geometrii uzyskuje się różne zależności, np. wzór na przepływ turbulentny w rurach gładkich:
gdzie:
Re – liczba Reynoldsa.
W przypadku przepływu w kanałach płaskich można zastosować następujący wzór:
Ze wzoru Bernoulliego można obliczyć spadek ciśnienia dla danej prędkości lub odwrotnie, obliczyć prędkość chłodziwa w kanale na podstawie zadanego spadku ciśnienia.
Wymiana ciepła
Przepływ ciepła między chłodziwem a ścianą oblicza się według wzoru:
gdzie:
α [W/(m2×deg)] – współczynnik przenikania ciepła;
F – powierzchnia przepływu.
Dla problemów przepływu chłodziwa w rurach przeprowadzono wystarczającą ilość badań i istnieje wiele metod obliczeniowych i z reguły wszystko sprowadza się do zależności empirycznych dla współczynnika przenikania ciepła α [W/(m2×deg)]
gdzie:
Nu – liczba Nusselta,
λ – współczynnik przewodzenia ciepła cieczy [W/(m×deg)] d – średnica hydrauliczna (równoważna).
Do obliczenia liczby Nusselta (kryterium) stosuje się empiryczne zależności kryterialne, na przykład wzór na obliczenie liczby Nusselta rury okrągłej wygląda następująco:
Widzimy już tutaj liczbę Reynoldsa, liczbę Prandtla przy temperaturze ścianki i temperaturze cieczy oraz współczynnik nierówności. ()
W przypadku wymienników ciepła z płyt falistych wzór jest podobny ( ):
gdzie:
n = 0.73 m = 0.43 dla przepływu turbulentnego,
współczynnik a - waha się od 0,065 do 0.6 w zależności od liczby płytek i reżimu przepływu.
Weźmy pod uwagę, że współczynnik ten jest obliczany tylko dla jednego punktu przepływu. Dla kolejnego punktu mamy inną temperaturę cieczy (podgrzała się lub ostygła), inną temperaturę ścianki i odpowiednio pływają wszystkie liczby Reynoldsa i Prandtla.
W tym miejscu każdy matematyk powie, że nie da się dokładnie obliczyć układu, w którym współczynnik zmienia się 10 razy, i będzie miał rację.
Każdy inżynier-praktyk powie, że każdy wymiennik ciepła jest produkowany inaczej i nie da się obliczyć układów, i też będzie miał rację.
A co z projektowaniem opartym na modelu? Czy naprawdę wszystko jest stracone?
Zaawansowani sprzedawcy zachodniego oprogramowania w tym miejscu sprzedają Ci superkomputery i systemy obliczeniowe 3D, jak „nie da się bez tego obejść”. I musisz przeprowadzić obliczenia na jeden dzień, aby uzyskać rozkład temperatury w ciągu 1 minuty.
Oczywiste jest, że nie jest to nasza opcja; musimy debugować system sterowania, jeśli nie w czasie rzeczywistym, to przynajmniej w dającym się przewidzieć czasie.
Rozwiązanie losowe
Produkuje się wymiennik ciepła, przeprowadza się serię testów i ustala tabelę wydajności temperatury ustalonej przy zadanych natężeniach przepływu chłodziwa. Prosto, szybko i niezawodnie, ponieważ dane pochodzą z testów.
Wadą tego podejścia jest brak charakterystyki dynamicznej obiektu. Tak, wiemy, jaki będzie ustalony przepływ ciepła, ale nie wiemy, ile czasu zajmie ustalenie go przy przełączaniu z jednego trybu pracy na drugi.
Dlatego po obliczeniu niezbędnych charakterystyk konfigurujemy układ sterowania bezpośrednio podczas testów, czego początkowo chcielibyśmy uniknąć.
Podejście oparte na modelu
Aby stworzyć model dynamicznego wymiennika ciepła, konieczne jest wykorzystanie danych testowych w celu wyeliminowania niepewności we wzorach obliczeniowych empirycznych – liczby Nusselta i oporów hydraulicznych.
Rozwiązanie jest proste, jak wszystko genialne. Przyjmujemy wzór empiryczny, przeprowadzamy eksperymenty i określamy wartość współczynnika a, eliminując w ten sposób niepewność wzoru.
Gdy tylko osiągniemy określoną wartość współczynnika przenikania ciepła, wszystkie pozostałe parametry są określone przez podstawowe fizyczne prawa zachowania. Różnica temperatur i współczynnik przenikania ciepła określają ilość energii przekazanej do kanału w jednostce czasu.
Znając przepływ energii, można rozwiązać równania zachowania masy energii i pędu chłodziwa w kanale hydraulicznym. Na przykład to:
W naszym przypadku przepływ ciepła pomiędzy ścianą a czynnikiem chłodzącym – Qwall – pozostaje niepewny. Możesz zobaczyć więcej szczegółów
A także równanie pochodnej temperatury dla ściany kanału:
gdzie:
ΔQściana – różnica pomiędzy dopływem i odpływem do ściany kanału;
M jest masą ściany kanału;
Cpc – pojemność cieplna materiału ściany.
Dokładność modelu
Jak wspomniano powyżej, w wymienniku ciepła mamy rozkład temperatury na powierzchni płyty. Aby uzyskać wartość w stanie ustalonym, można wziąć średnią z płyt i wykorzystać ją, wyobrażając sobie cały wymiennik ciepła jako jeden skupiony punkt, w którym przy jednej różnicy temperatur ciepło jest przekazywane przez całą powierzchnię wymiennika ciepła. Jednak w przypadku reżimów przejściowych takie przybliżenie może nie działać. Drugą skrajnością jest zdobycie kilkuset tysięcy punktów i załadowanie Superkomputera, co również jest dla nas nieodpowiednie, ponieważ zadaniem jest skonfigurowanie systemu sterowania w czasie rzeczywistym lub jeszcze lepiej, szybciej.
Powstaje pytanie, na ile sekcji należy podzielić wymiennik ciepła, aby uzyskać akceptowalną dokładność i szybkość obliczeń?
Jak zwykle przypadkiem miałem pod ręką model aminowego wymiennika ciepła. Wymiennik ciepła ma postać rurki, czynnikiem grzewczym przepływa rurami, a podgrzewany czynnik przepływa pomiędzy workami. Aby uprościć problem, całą rurę wymiennika ciepła można przedstawić jako jedną równoważną rurę, a samą rurę jako zbiór dyskretnych komórek obliczeniowych, z których w każdej obliczany jest punktowy model wymiany ciepła. Schemat modelu jednokomorowego pokazano na rysunku 2. Kanał gorącego powietrza i kanał zimnego powietrza są połączone ścianą, co zapewnia przenoszenie przepływu ciepła pomiędzy kanałami.
Rysunek 2. Model ogniwa wymiennika ciepła.
Model rurowego wymiennika ciepła jest łatwy w konfiguracji. Możesz zmienić tylko jeden parametr - liczbę odcinków wzdłuż rury i sprawdzić wyniki obliczeń dla różnych przegród. Obliczmy kilka opcji, zaczynając od podziału na 5 punktów na długości (ryc. 3) i aż do 100 punktów na długości (ryc. 4).
Rysunek 3. Stacjonarny rozkład temperatury 5 obliczonych punktów.
Rysunek 4. Stacjonarny rozkład temperatury 100 obliczonych punktów.
W wyniku obliczeń okazało się, że temperatura w stanie ustalonym w podziale na 100 punktów wynosi 67,7 stopnia. A po podzieleniu na 5 obliczonych punktów temperatura wynosi 72 stopnia C.
Również w dolnej części okna wyświetlana jest prędkość obliczeń w stosunku do czasu rzeczywistego.
Zobaczmy, jak zmienia się temperatura w stanie ustalonym i prędkość obliczeń w zależności od liczby punktów obliczeniowych. Różnicę temperatur ustalonych podczas obliczeń przy różnej liczbie komórek obliczeniowych można wykorzystać do oceny dokładności otrzymanego wyniku.
Tabela 1. Zależność temperatury i szybkości obliczeń od liczby punktów obliczeniowych na długości wymiennika ciepła.
| Liczba punktów obliczeniowych | Stała temperatura | Szybkość obliczeń |
| 5 | 72,66 | 426 |
| 10 | 70.19 | 194 |
| 25 | 68.56 | 124 |
| 50 | 67.99 | 66 |
| 100 | 67.8 | 32 |
Analizując tę tabelę, możemy wyciągnąć następujące wnioski:
- Szybkość obliczeń spada proporcjonalnie do liczby punktów obliczeniowych w modelu wymiennika ciepła.
- Zmiana dokładności obliczeń następuje wykładniczo. Wraz ze wzrostem liczby punktów stopień wyrafinowania przy każdym kolejnym wzroście maleje.
W przypadku płytowego wymiennika ciepła z chłodziwem o przepływie krzyżowym, jak na rysunku 1, utworzenie modelu zastępczego z elementarnych komórek obliczeniowych jest nieco bardziej skomplikowane. Musimy tak połączyć komórki, żeby zorganizować przepływy krzyżowe. W przypadku 4 ogniw obwód będzie wyglądał jak pokazano na rysunku 5.
Przepływ chłodziwa jest podzielony wzdłuż gorących i zimnych gałęzi na dwa kanały, kanały są połączone strukturami termicznymi, tak że przechodząc przez kanał chłodziwo wymienia ciepło z różnymi kanałami. Symulując przepływ krzyżowy, gorący płyn chłodzący przepływa od lewej do prawej (patrz rys. 5) w każdym kanale, kolejno wymieniając ciepło z kanałami zimnego płynu chłodzącego, który przepływa od dołu do góry (patrz rys. 5). Najgorętszy punkt znajduje się w lewym górnym rogu, ponieważ gorący płyn chłodzący wymienia ciepło z już ogrzanym płynem chłodzącym w zimnym kanale. A najzimniejszy jest w prawym dolnym rogu, gdzie zimny płyn chłodzący wymienia ciepło z gorącym płynem chłodzącym, który już ostygł w pierwszej sekcji.
Rysunek 5. Model przepływu krzyżowego 4 komórek obliczeniowych.
Ten model płytowego wymiennika ciepła nie uwzględnia wymiany ciepła między ogniwami na skutek przewodności cieplnej i nie uwzględnia mieszania chłodziwa, ponieważ każdy kanał jest izolowany.
Ale w naszym przypadku ostatnie ograniczenie nie zmniejsza dokładności, ponieważ w konstrukcji wymiennika ciepła falista membrana dzieli przepływ na wiele izolowanych kanałów wzdłuż chłodziwa (patrz ryc. 1). Zobaczmy, co stanie się z dokładnością obliczeń podczas modelowania płytowego wymiennika ciepła wraz ze wzrostem liczby komórek obliczeniowych.
Aby przeanalizować dokładność, stosujemy dwie możliwości podziału wymiennika ciepła na komórki projektowe:
- Każda kwadratowa komora zawiera dwa elementy hydrauliczne (zimny i gorący) oraz jeden element termiczny. (patrz rysunek 5)
- Każda kwadratowa komora zawiera sześć elementów hydraulicznych (trzy sekcje w przepływie ciepłej i zimnej) oraz trzy elementy termiczne.
W tym drugim przypadku stosujemy dwa rodzaje połączeń:
- przeciwprąd przepływów zimnych i gorących;
- równoległy przepływ zimnego i gorącego przepływu.
Przepływ przeciwny zwiększa wydajność w porównaniu z przepływem krzyżowym, podczas gdy przepływ przeciwny ją zmniejsza. Przy dużej liczbie komórek następuje uśrednianie po przepływie i wszystko staje się bliskie rzeczywistemu przepływowi krzyżowemu (patrz rysunek 6).
Rysunek 6. Czterokomórkowy, 3-elementowy model przepływu krzyżowego.
Na rys. 7 przedstawiono wyniki ustalonego rozkładu temperatury stacjonarnej w wymienniku ciepła przy zasilaniu powietrzem o temperaturze 150°C wzdłuż linii gorącej i 21°C wzdłuż linii zimnej, dla różnych wariantów podziału modelu. Kolor i liczby na komórce odzwierciedlają średnią temperaturę ściany w komórce obliczeniowej.
Rysunek 7. Temperatury w stanie ustalonym dla różnych schematów projektowych.
W tabeli 2 przedstawiono temperaturę ustaloną ogrzanego powietrza za wymiennikiem ciepła w zależności od podziału modelu wymiennika na ogniwa.
Tabela 2. Zależność temperatury od liczby ogniw projektowych w wymienniku ciepła.
| Wymiar modelu | Stała temperatura 1 element na komórkę |
Stała temperatura 3 elementy na komórkę |
| 2 × 2 | 62,7 | 67.7 |
| 3 × 3 | 64.9 | 68.5 |
| 4 × 4 | 66.2 | 68.9 |
| 8 × 8 | 68.1 | 69.5 |
| 10 × 10 | 68.5 | 69.7 |
| 20 × 20 | 69.4 | 69.9 |
| 40 × 40 | 69.8 | 70.1 |
Wraz ze wzrostem liczby komórek obliczeniowych w modelu wzrasta końcowa temperatura w stanie ustalonym. Różnicę między temperaturą ustaloną dla różnych przegród można uznać za wskaźnik dokładności obliczeń. Można zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby komórek obliczeniowych temperatura dąży do granicy, a wzrost dokładności nie jest proporcjonalny do liczby punktów obliczeniowych.
Powstaje pytanie: jakiej dokładności modelu potrzebujemy?
Odpowiedź na to pytanie zależy od przeznaczenia naszego modelu. Ponieważ ten artykuł dotyczy projektowania opartego na modelu, tworzymy model do konfiguracji systemu sterowania. Oznacza to, że dokładność modelu musi być porównywalna z dokładnością czujników zastosowanych w systemie.
W naszym przypadku temperaturę mierzy się termoparą, której dokładność wynosi ±2.5°C. Większa dokładność na potrzeby konfiguracji systemu sterowania jest bezużyteczna, nasz prawdziwy system sterowania po prostu tego „nie zobaczy”. Jeśli więc przyjmiemy, że temperatura graniczna dla nieskończonej liczby przegród wynosi 70°C, to model, który daje nam więcej niż 67.5°C, będzie wystarczająco dokładny. Wszystkie modele z 3 punktami w komórce obliczeniowej i modele większe niż 5x5 z jednym punktem w komórce. (Zaznaczone na zielono w Tabeli 2)
Dynamiczne tryby pracy
Aby ocenić reżim dynamiczny, ocenimy proces zmiany temperatury w najgorętszych i najzimniejszych punktach ściany wymiennika ciepła dla różnych wariantów schematów projektowych. (patrz rys. 8)
Rysunek 8. Rozgrzewanie wymiennika ciepła. Modele o wymiarach 2x2 i 10x10.
Można zauważyć, że czas procesu przejścia i sam jego charakter są praktycznie niezależne od liczby komórek obliczeniowych i wyznaczane są wyłącznie przez masę nagrzanego metalu.
Zatem dochodzimy do wniosku, że do rzetelnego modelowania wymiennika ciepła w trybach od 20 do 150°C, z dokładnością wymaganą przez układ sterowania SCR, wystarczy około 10 – 20 punktów obliczeniowych.
Konfigurowanie modelu dynamicznego na podstawie eksperymentu
Mając model matematyczny, a także dane eksperymentalne dotyczące przedmuchu wymiennika ciepła, wystarczy dokonać prostej korekty, a mianowicie wprowadzić do modelu współczynnik intensyfikacji, tak aby obliczenia pokrywały się z wynikami eksperymentalnymi.
Co więcej, korzystając z graficznego środowiska tworzenia modelu, zrobimy to automatycznie. Na rysunku 9 przedstawiono algorytm doboru współczynników intensyfikacji przenikania ciepła. Dane uzyskane z eksperymentu podawane są na wejście, podłączany jest model wymiennika ciepła, a na wyjściu uzyskiwane są wymagane współczynniki dla każdego trybu.
Rysunek 9. Algorytm doboru współczynnika intensyfikacji na podstawie wyników eksperymentów.
W ten sposób wyznaczamy ten sam współczynnik dla liczby Nusselta i eliminujemy niepewność we wzorach obliczeniowych. Dla różnych trybów pracy i temperatur wartości współczynników korekcyjnych mogą się zmieniać, ale dla podobnych trybów pracy (normalna praca) okazują się bardzo zbliżone. Przykładowo dla danego wymiennika ciepła dla różnych trybów współczynnik waha się od 0.492 do 0.655
Jeżeli zastosujemy współczynnik 0.6, to w badanych trybach pracy błąd obliczeniowy będzie mniejszy niż błąd termopary, zatem dla układu sterowania model matematyczny wymiennika ciepła będzie w pełni adekwatny do modelu rzeczywistego.
Wyniki budowy modelu wymiennika ciepła
Aby ocenić jakość wymiany ciepła, stosuje się specjalną cechę - wydajność:
gdzie:
effgorący – wydajność wymiennika ciepła dla gorącego chłodziwa;
Tgóryin – temperatura na wlocie do wymiennika ciepła wzdłuż drogi przepływu gorącego płynu chłodzącego;
Tgóryna zewnątrz – temperatura na wylocie ich wymiennika ciepła wzdłuż ścieżki przepływu gorącego chłodziwa;
Thalain – temperatura na wlocie do wymiennika ciepła wzdłuż ścieżki przepływu zimnego płynu chłodzącego.
W tabeli 3 przedstawiono odchylenie sprawności modelu wymiennika ciepła od doświadczalnego przy różnych natężeniach przepływu wzdłuż linii ciepłej i zimnej.
Tabela 3. Błędy w obliczeniu efektywności wymiany ciepła w %
W naszym przypadku wybrany współczynnik można zastosować we wszystkich interesujących nas trybach pracy. Jeżeli przy małych przepływach, gdzie błąd jest większy, nie zostanie osiągnięta wymagana dokładność, możemy zastosować zmienny współczynnik intensyfikacji, który będzie zależny od aktualnego natężenia przepływu.
Przykładowo na rys. 10 współczynnik intensyfikacji obliczany jest z podanego wzoru w zależności od aktualnego natężenia przepływu w komórkach kanałowych.
Rysunek 10. Zmienny współczynnik poprawy przenikania ciepła.
odkrycia
- Znajomość praw fizyki pozwala na tworzenie dynamicznych modeli obiektu do projektowania w oparciu o modele.
- Model należy zweryfikować i dostroić na podstawie danych testowych.
- Narzędzia do tworzenia modeli powinny umożliwiać programiście dostosowanie modelu w oparciu o wyniki testowania obiektu.
- Użyj odpowiedniego podejścia opartego na modelu, a będziesz szczęśliwy!
Bonus dla tych, którzy skończyli czytać.
W ankiecie mogą brać udział tylko zarejestrowani użytkownicy. , Proszę.
O czym mam dalej rozmawiać?
-
76,2%Jak udowodnić, że program w modelu odpowiada programowi w sprzęcie.16
-
23,8%Jak wykorzystać obliczenia superkomputerowe do projektowania opartego na modelach.5
Głosowało 21 użytkowników. 1 użytkownik wstrzymał się od głosu.
Źródło: www.habr.com