"Ak čítate nápis "byvol" na klietke slona, neverte vlastným očiam." Kozma Prutkov
V predošlom ukázalo sa, prečo je potrebný objektový model, a dokázalo sa, že bez tohto objektového modelu možno o dizajne založenom na modeli hovoriť len ako o marketingovej búrke, nezmyselnej a nemilosrdnej. Ale keď sa objaví model objektu, kompetentní inžinieri majú vždy rozumnú otázku: aké dôkazy existujú, že matematický model objektu zodpovedá skutočnému objektu.
Jeden príklad odpovede na túto otázku je uvedený v V tomto článku sa pozrieme na príklad vytvorenia modelu pre letecké klimatizačné systémy, pričom prax rozriedime niektorými teoretickými úvahami všeobecného charakteru.
Vytvorenie spoľahlivého modelu objektu. teória
Aby som neodkladal, hneď vám poviem o algoritme na vytvorenie modelu pre dizajn založený na modeli. Stačí tri jednoduché kroky:
Krok 1. Vytvorte systém algebraicko-diferenciálnych rovníc, ktoré popisujú dynamické správanie modelovaného systému. Je to jednoduché, ak poznáte fyziku procesu. Mnoho vedcov už pre nás vyvinulo základné fyzikálne zákony pomenované po Newtonovi, Brenoulovi, Navierovi Stokesovi a iných Stangels, Kompasy a Rabinoviča.
Krok 2. Vo výslednom systéme vyberte súbor empirických koeficientov a charakteristík modelovaného objektu, ktoré možno získať z testov.
Krok 3. Otestujte objekt a upravte model na základe výsledkov celoplošných experimentov tak, aby zodpovedal realite s požadovanou mierou detailov.
Ako vidíte, je to jednoduché, len dva tri.
Príklad praktickej realizácie
Klimatizačný systém (ACS) v lietadle je pripojený k systému automatického udržiavania tlaku. Tlak v lietadle musí byť vždy väčší ako vonkajší tlak a rýchlosť zmeny tlaku musí byť taká, aby piloti a pasažieri nekrvácali z nosa a uší. Preto je riadiaci systém prívodu a odvodu vzduchu dôležitý pre bezpečnosť a na jeho vývoj sa kladú nákladné testovacie systémy. Vytvárajú teploty a tlaky vo výške letu a reprodukujú podmienky vzletu a pristátia na letiskách v rôznych nadmorských výškach. A problém vývoja a ladenia riadiacich systémov pre SCV naberá na svojom plnom potenciáli. Ako dlho budeme testovaciu stolicu prevádzkovať, aby sme získali uspokojivý riadiaci systém? Je zrejmé, že ak nastavíme model riadenia na modeli objektu, cyklus práce na skúšobnej stolici sa môže výrazne skrátiť.
Klimatizačný systém lietadla pozostáva z rovnakých výmenníkov tepla ako akýkoľvek iný tepelný systém. Batéria je batéria aj v Afrike, len klimatizácia. Ale kvôli obmedzeniam vzletovej hmotnosti a rozmerov lietadiel sú výmenníky tepla vyrobené čo najkompaktnejšie a najefektívnejšie, aby preniesli čo najviac tepla z menšej hmoty. V dôsledku toho sa geometria stáva dosť bizarnou. Rovnako ako v posudzovanom prípade. Obrázok 1 znázorňuje doskový výmenník tepla, v ktorom je medzi doskami použitá membrána na zlepšenie prenosu tepla. V kanáloch sa strieda horúce a studené chladivo a smer prúdenia je priečny. Jedna chladiaca kvapalina sa dodáva do predného rezu, druhá - na stranu.
Na vyriešenie problému riadenia SCR potrebujeme vedieť, koľko tepla sa v takomto výmenníku tepla prenesie z jedného média do druhého za jednotku času. Od toho závisí rýchlosť zmeny teploty, ktorú regulujeme.
Obrázok 1. Schéma leteckého výmenníka tepla.
Problémy s modelovaním. Hydraulická časť
Na prvý pohľad je úloha pomerne jednoduchá, je potrebné vypočítať hmotnostný prietok kanálmi výmenníka tepla a tok tepla medzi kanálmi.
Hmotnostný prietok chladiacej kvapaliny v kanáloch sa vypočíta pomocou Bernouliho vzorca:
kde:
ΔP – tlakový rozdiel medzi dvoma bodmi;
ξ – koeficient trenia chladiacej kvapaliny;
L – dĺžka kanála;
d – hydraulický priemer kanála;
ρ – hustota chladiacej kvapaliny;
ω – rýchlosť chladiacej kvapaliny v kanáli.
Pre kanál ľubovoľného tvaru sa hydraulický priemer vypočíta podľa vzorca:
kde:
F – prietoková plocha;
P – zmáčaný obvod žľabu.
Koeficient trenia sa vypočíta pomocou empirických vzorcov a závisí od rýchlosti prúdenia a vlastností chladiacej kvapaliny. Pre rôzne geometrie sa získajú rôzne závislosti, napríklad vzorec pre turbulentné prúdenie v hladkých potrubiach:
kde:
Re – Reynoldsovo číslo.
Pre prietok v plochých kanáloch možno použiť nasledujúci vzorec:
Z Bernoulliho vzorca môžete vypočítať pokles tlaku pre danú rýchlosť, alebo naopak, vypočítať rýchlosť chladiacej kvapaliny v kanáli na základe daného poklesu tlaku.
Výmena tepla
Tok tepla medzi chladivom a stenou sa vypočíta podľa vzorca:
kde:
α [W/(m2×deg)] – súčiniteľ prestupu tepla;
F – prietoková plocha.
Pre problémy prúdenia chladiva v potrubiach sa vykonalo dostatočné množstvo výskumov a existuje mnoho výpočtových metód a spravidla všetko závisí od empirických závislostí pre súčiniteľ prestupu tepla α [W/(m2×deg)]
kde:
Nu – Nusseltovo číslo,
λ – súčiniteľ tepelnej vodivosti kvapaliny [W/(m×deg)] d – hydraulický (ekvivalentný) priemer.
Na výpočet Nusseltovho čísla (kritéria) sa používajú empirické závislosti kritérií, napríklad vzorec na výpočet Nusseltovho čísla kruhovej rúry vyzerá takto:
Tu už vidíme Reynoldsovo číslo, Prandtlovo číslo pri teplote steny a teplote kvapaliny a koeficient nerovnomernosti. ()
Pre vlnité doskové výmenníky tepla je vzorec podobný ( ):
kde:
n = 0.73 m = 0.43 pre turbulentné prúdenie,
koeficient a - sa pohybuje od 0,065 do 0.6 v závislosti od počtu dosiek a režimu prúdenia.
Zoberme si, že tento koeficient sa počíta len pre jeden bod v toku. Pre ďalší bod máme inú teplotu kvapaliny (zohriala sa alebo ochladila), inú teplotu steny a podľa toho plávajú všetky Reynoldsove a Prandtlove čísla.
V tomto bode každý matematik povie, že nie je možné presne vypočítať systém, v ktorom sa koeficient mení 10-krát, a bude mať pravdu.
Každý praktický inžinier povie, že každý výmenník tepla sa vyrába inak a nie je možné vypočítať systémy, a bude mať tiež pravdu.
A čo dizajn založený na modeli? Je naozaj všetko stratené?
Pokročilí predajcovia západného softvéru na tomto mieste vám predajú superpočítače a 3D výpočtové systémy, ako napríklad „bez toho sa nezaobídete“. A musíte spustiť výpočet na jeden deň, aby ste získali rozloženie teploty do 1 minúty.
Je jasné, že to nie je naša možnosť, musíme odladiť riadiaci systém, ak nie v reálnom čase, tak aspoň v dohľadnom čase.
Náhodné riešenie
Vyrobí sa výmenník tepla, vykoná sa séria testov a nastaví sa tabuľka účinnosti ustálenej teploty pri daných prietokoch chladiacej kvapaliny. Jednoduché, rýchle a spoľahlivé, pretože údaje pochádzajú z testovania.
Nevýhodou tohto prístupu je, že neexistujú žiadne dynamické charakteristiky objektu. Áno, vieme, aký bude tok tepla v ustálenom stave, ale nevieme, ako dlho bude trvať, kým sa ustáli prechod z jedného prevádzkového režimu do druhého.
Preto po vypočítaní potrebných charakteristík konfigurujeme riadiaci systém priamo počas testovania, čomu by sme sa na začiatku chceli vyhnúť.
Prístup založený na modeli
Na vytvorenie modelu dynamického výmenníka tepla je potrebné použiť skúšobné údaje na odstránenie neistôt v empirických výpočtových vzorcoch - Nusseltovo číslo a hydraulický odpor.
Riešenie je jednoduché, ako všetko dômyselné. Zoberieme empirický vzorec, vykonáme experimenty a určíme hodnotu koeficientu a, čím eliminujeme neistotu vo vzorci.
Akonáhle máme určitú hodnotu súčiniteľa prechodu tepla, všetky ostatné parametre sú určené základnými fyzikálnymi zákonmi zachovania. Teplotný rozdiel a koeficient prestupu tepla určujú množstvo energie prenesenej do kanála za jednotku času.
So znalosťou toku energie je možné riešiť rovnice zachovania hmotnosti energie a hybnosti pre chladivo v hydraulickom kanáli. Napríklad toto:
V našom prípade zostáva tepelný tok medzi stenou a chladivom - Qwall - neistý. Môžete vidieť ďalšie podrobnosti
A tiež rovnica teplotnej derivácie pre stenu kanála:
kde:
ΔQwall – rozdiel medzi vstupným a výstupným tokom do steny kanála;
M je hmotnosť steny kanála;
CZK – tepelná kapacita materiálu steny.
Presnosť modelu
Ako bolo uvedené vyššie, vo výmenníku tepla máme rozloženie teploty po povrchu dosky. Pre ustálenú hodnotu môžete zobrať priemer z platní a použiť ho, pričom si celý výmenník tepla predstavíte ako jeden sústredený bod, v ktorom sa pri jednom teplotnom rozdiele prenáša teplo cez celý povrch výmenníka tepla. Ale pre prechodné režimy takáto aproximácia nemusí fungovať. Druhým extrémom je urobiť niekoľko stoviek tisíc bodov a načítať superpočítač, čo nám tiež nevyhovuje, keďže úlohou je nakonfigurovať riadiaci systém v reálnom čase, alebo ešte lepšie, rýchlejšie.
Vzniká otázka, na koľko sekcií by mal byť výmenník tepla rozdelený, aby sa dosiahla prijateľná presnosť a rýchlosť výpočtu?
Ako vždy, náhodou som mal po ruke model amínového výmenníka tepla. Výmenník tepla je rúrka, v rúrkach prúdi vykurovacie médium a medzi vreckami prúdi ohrievané médium. Na zjednodušenie problému môže byť celá rúrka výmenníka tepla reprezentovaná ako jedna ekvivalentná rúra a samotná rúra môže byť reprezentovaná ako súbor diskrétnych výpočtových buniek, v každej z nich je vypočítaný bodový model prenosu tepla. Schéma jednočlánkového modelu je znázornené na obrázku 2. Kanál horúceho vzduchu a kanál studeného vzduchu sú spojené stenou, ktorá zabezpečuje prenos tepelného toku medzi kanálmi.
Obrázok 2. Model článku výmenníka tepla.
Model rúrkového výmenníka tepla sa ľahko nastavuje. Môžete zmeniť iba jeden parameter - počet úsekov pozdĺž dĺžky potrubia a pozrieť sa na výsledky výpočtu pre rôzne oddiely. Vypočítajme niekoľko možností, počnúc rozdelením na 5 bodov po dĺžke (obr. 3) a až po 100 bodov po dĺžke (obr. 4).
Obrázok 3. Stacionárne rozloženie teploty 5 vypočítaných bodov.
Obrázok 4. Stacionárne rozloženie teploty 100 vypočítaných bodov.
Výsledkom výpočtov sa ukázalo, že teplota v ustálenom stave pri rozdelení na 100 bodov je 67,7 stupňov. A pri rozdelení do 5 vypočítaných bodov je teplota 72 stupňov C.
V spodnej časti okna sa tiež zobrazuje rýchlosť výpočtu vzhľadom na skutočný čas.
Pozrime sa, ako sa mení teplota v ustálenom stave a rýchlosť výpočtu v závislosti od počtu bodov výpočtu. Rozdiel teplôt v ustálenom stave počas výpočtov s rôznym počtom výpočtových buniek možno použiť na posúdenie presnosti získaného výsledku.
Tabuľka 1. Závislosť teploty a rýchlosti výpočtu od počtu výpočtových bodov po dĺžke výmenníka tepla.
| Počet výpočtových bodov | Stabilná teplota | Rýchlosť výpočtu |
| 5 | 72,66 | 426 |
| 10 | 70.19 | 194 |
| 25 | 68.56 | 124 |
| 50 | 67.99 | 66 |
| 100 | 67.8 | 32 |
Analýzou tejto tabuľky môžeme vyvodiť nasledujúce závery:
- Rýchlosť výpočtu klesá úmerne k počtu výpočtových bodov v modeli výmenníka tepla.
- Zmena presnosti výpočtu nastáva exponenciálne. So zvyšujúcim sa počtom bodov sa spresnenie pri každom ďalšom zvýšení znižuje.
V prípade doskového výmenníka tepla s priečnym chladivom, ako na obrázku 1, je vytvorenie ekvivalentného modelu z elementárnych výpočtových buniek o niečo zložitejšie. Potrebujeme prepojiť bunky takým spôsobom, aby sme organizovali krížové toky. Pre 4 články bude obvod vyzerať ako na obrázku 5.
Prietok chladiva je rozdelený pozdĺž horúcej a studenej vetvy do dvoch kanálov, kanály sú prepojené cez tepelné konštrukcie, takže pri prechode kanálom si chladivo vymieňa teplo s rôznymi kanálmi. Simulujúc krížový tok, horúce chladivo prúdi zľava doprava (pozri obr. 5) v každom kanáli, pričom si postupne vymieňa teplo s kanálmi studeného chladiva, ktoré prúdi zdola nahor (pozri obr. 5). Najhorúcejší bod je v ľavom hornom rohu, pretože horúca chladiaca kvapalina si vymieňa teplo s už zohriatou chladiacou kvapalinou studeného kanála. A najchladnejšia je vpravo dole, kde si studená chladiaca kvapalina vymieňa teplo s teplou chladiacou kvapalinou, ktorá už v prvej sekcii vychladla.
Obrázok 5. Model krížového toku 4 výpočtových buniek.
Tento model pre doskový výmenník tepla nezohľadňuje prenos tepla medzi článkami v dôsledku tepelnej vodivosti a nezohľadňuje miešanie chladiva, pretože každý kanál je izolovaný.
V našom prípade však posledné obmedzenie neznižuje presnosť, pretože pri konštrukcii výmenníka tepla vlnitá membrána rozdeľuje tok do mnohých izolovaných kanálov pozdĺž chladiacej kvapaliny (pozri obr. 1). Pozrime sa, čo sa stane s presnosťou výpočtu pri modelovaní doskového výmenníka tepla, keď sa počet výpočtových buniek zvýši.
Na analýzu presnosti používame dve možnosti rozdelenia výmenníka tepla na konštrukčné bunky:
- Každá štvorcová bunka obsahuje dva hydraulické (studené a horúce prúdy) a jeden tepelný prvok. (pozri obrázok 5)
- Každá štvorcová bunka obsahuje šesť hydraulických prvkov (tri sekcie v prúde horúceho a studeného prúdu) a tri tepelné prvky.
V druhom prípade používame dva typy pripojenia:
- protiprúd studených a horúcich prúdov;
- paralelné prúdenie studeného a horúceho prúdu.
Protiprúd zvyšuje účinnosť v porovnaní s priečnym tokom, zatiaľ čo protiprúd ju znižuje. Pri veľkom počte buniek dochádza k spriemerovaniu prietoku a všetko sa blíži skutočnému priečnemu toku (pozri obrázok 6).
Obrázok 6. Štvorčlánkový, 3-prvkový model krížového toku.
Na obrázku 7 sú výsledky ustáleného stacionárneho rozloženia teplôt vo výmenníku tepla pri prívode vzduchu s teplotou 150 °C pozdĺž horúcej linky a 21 °C pozdĺž studenej linky pre rôzne možnosti rozdelenia modelu. Farba a čísla na bunke odrážajú priemernú teplotu steny vo výpočtovej bunke.
Obrázok 7. Teploty v ustálenom stave pre rôzne konštrukčné schémy.
V tabuľke 2 je uvedená ustálená teplota ohriateho vzduchu za výmenníkom tepla v závislosti od rozdelenia modelu výmenníka tepla na články.
Tabuľka 2. Závislosť teploty od počtu konštrukčných článkov vo výmenníku tepla.
| Rozmer modelu | Stabilná teplota 1 prvok na bunku |
Stabilná teplota 3 prvky na bunku |
| 2 × 2 | 62,7 | 67.7 |
| 3 × 3 | 64.9 | 68.5 |
| 4 × 4 | 66.2 | 68.9 |
| 8 × 8 | 68.1 | 69.5 |
| 10 × 10 | 68.5 | 69.7 |
| 20 × 20 | 69.4 | 69.9 |
| 40 × 40 | 69.8 | 70.1 |
So zvyšujúcim sa počtom výpočtových buniek v modeli sa zvyšuje konečná teplota v ustálenom stave. Rozdiel medzi teplotou v ustálenom stave pre rôzne priečky možno považovať za ukazovateľ presnosti výpočtu. Je vidieť, že s nárastom počtu výpočtových buniek sa teplota blíži k hraniciam a zvýšenie presnosti nie je úmerné počtu výpočtových bodov.
Vynára sa otázka: akú presnosť modelu potrebujeme?
Odpoveď na túto otázku závisí od účelu nášho modelu. Keďže tento článok je o dizajne založenom na modeli, vytvoríme model na konfiguráciu riadiaceho systému. To znamená, že presnosť modelu musí byť porovnateľná s presnosťou senzorov použitých v systéme.
V našom prípade je teplota meraná termočlánkom, ktorého presnosť je ±2.5°C. Akákoľvek vyššia presnosť pre účely nastavenia riadiaceho systému je zbytočná, náš skutočný riadiaci systém ju jednoducho „neuvidí“. Ak teda pripustíme, že hraničná teplota pre nekonečný počet priečok je 70 °C, tak model, ktorý nám dá viac ako 67.5 °C, bude dostatočne presný. Všetky modely s 3 bodmi v bunke výpočtu a modely väčšie ako 5x5 s jedným bodom v bunke. (V tabuľke 2 zvýraznené zelenou farbou)
Dynamické prevádzkové režimy
Pre posúdenie dynamického režimu vyhodnotíme proces zmeny teploty v najteplejších a najchladnejších miestach steny výmenníka pre rôzne varianty konštrukčných schém. (pozri obr. 8)
Obrázok 8. Zahrievanie výmenníka tepla. Modely s rozmermi 2x2 a 10x10.
Je zrejmé, že čas prechodového procesu a jeho samotná povaha sú prakticky nezávislé od počtu výpočtových buniek a sú určené výlučne hmotnosťou zahriateho kovu.
Dospeli sme teda k záveru, že na spravodlivé modelovanie výmenníka tepla v režimoch od 20 do 150 °C s presnosťou vyžadovanou riadiacim systémom SCR postačuje cca 10 - 20 návrhových bodov.
Nastavenie dynamického modelu na základe experimentu
Keď máme matematický model, ako aj experimentálne údaje o preplachovaní výmenníka tepla, stačí urobiť jednoduchú korekciu, a to zaviesť do modelu intenzifikačný faktor tak, aby sa výpočet zhodoval s výsledkami experimentu.
Navyše pomocou prostredia tvorby grafického modelu to urobíme automaticky. Obrázok 9 zobrazuje algoritmus na výber koeficientov zosilnenia prenosu tepla. Údaje získané z experimentu sa privedú na vstup, pripojí sa model výmenníka tepla a na výstupe sa získajú požadované koeficienty pre každý režim.
Obrázok 9. Algoritmus na výber koeficientu intenzifikácie na základe experimentálnych výsledkov.
Tak určíme rovnaký koeficient pre Nusseltove číslo a odstránime neistotu vo výpočtových vzorcoch. Pre rôzne prevádzkové režimy a teploty sa hodnoty korekčných faktorov môžu meniť, ale pre podobné prevádzkové režimy (normálna prevádzka) sú veľmi blízke. Napríklad pre daný výmenník tepla pre rôzne režimy sa koeficient pohybuje od 0.492 do 0.655
Ak použijeme koeficient 0.6, potom v skúmaných prevádzkových režimoch bude chyba výpočtu menšia ako chyba termočlánku, takže pre riadiaci systém bude matematický model výmenníka tepla úplne adekvátny skutočnému modelu.
Výsledky nastavenia modelu výmenníka tepla
Na posúdenie kvality prenosu tepla sa používa špeciálna charakteristika - účinnosť:
kde:
effhorúce – účinnosť výmenníka tepla pre horúce chladivo;
Thoryin – teplota na vstupe do výmenníka tepla pozdĺž dráhy toku horúceho chladiva;
Thoryvon – teplota na výstupe ich výmenníka tepla pozdĺž cesty toku horúceho chladiva;
Tprechladnutiein – teplota na vstupe do výmenníka tepla pozdĺž cesty toku studenej chladiacej kvapaliny.
Tabuľka 3 ukazuje odchýlku účinnosti modelu výmenníka tepla od experimentálneho pri rôznych prietokoch pozdĺž horúceho a studeného vedenia.
Tabuľka 3. Chyby vo výpočte účinnosti prenosu tepla v %
V našom prípade je možné zvolený koeficient použiť vo všetkých pre nás zaujímavých prevádzkových režimoch. Ak sa pri nízkych prietokoch, kde je chyba väčšia, nedosiahne požadovaná presnosť, môžeme použiť variabilný intenzifikačný faktor, ktorý bude závisieť od aktuálneho prietoku.
Napríklad na obrázku 10 je koeficient zosilnenia vypočítaný pomocou daného vzorca v závislosti od aktuálneho prietoku v bunkách kanála.
Obrázok 10. Variabilný koeficient zvýšenia prestupu tepla.
Závery
- Znalosť fyzikálnych zákonov umožňuje vytvárať dynamické modely objektu pre návrh založený na modeli.
- Model musí byť overený a vyladený na základe testovacích údajov.
- Nástroje na vývoj modelu by mali vývojárovi umožniť prispôsobiť model na základe výsledkov testovania objektu.
- Použite správny prístup založený na modeli a budete šťastní!
Bonus pre tých, ktorí dočítali.
Do prieskumu sa môžu zapojiť iba registrovaní užívatelia. Prosím.
O čom by som mal hovoriť ďalej?
-
76,2%Ako dokázať, že program v modeli zodpovedá programu v hardvéri.16
-
23,8%Ako využiť superpočítačové výpočty pre návrh založený na modeli.5
Hlasovalo 21 užívateľov. 1 používateľ sa zdržal hlasovania.
Zdroj: hab.com