«Якщо на клітці слона прочитаєш напис «буйвол», не вір очам своїм» Козьма Прутков

У попередній статті про модельно-орієнтоване проектування було показано, навіщо потрібна модель об'єкта, і доведено, що без цієї моделі об'єкта про model based design можна говорити тільки як про маркетингову завірюху, безглузду і нещадну. Але з появою моделі об'єкта у грамотних інженерів завжди виникає резонне питання: які є докази, що математична модель об'єкта відповідає реальному об'єкту.

Один із прикладів відповіді на це питання наведено в статті про модельно-орієнтоване проектування електроприводу У статті ми розглянемо приклад створення моделі для авіаційних систем кондиціювання повітря, розбавивши практику деякими теоретичними міркуваннями загального характеру.

Створення достовірної моделі об'єкта. Теорія

Щоб не тягнути гуму, одразу розповім про алгоритм створення моделі для модельно-орієнтованого проектування. У ньому всього три простих кроки:

Крок 1. Розробити систему алгебро-диференціальних рівнянь, що описують динамічну поведінку систем, що моделюються. Це просто якщо знати фізику процесу. Багато вчених вже розробили для нас основні фізичні закони імені Ньютона, Бренулі, Навье Стокса та інших Штангелів Циркулей та Рабіновичів.

Крок 2. Виділити в отриманій системі набір емпіричних коефіцієнтів та характеристик об'єкта моделювання, які можна отримати із випробувань.

Крок 3. Провести випробування об'єкта та налаштувати модель за результатами натурних експериментів, так щоб вона відповідала реальності, з потрібним ступенем деталізації.

Як бачите, просто якраз два-три.

Приклад практичної реалізації

Система кондиціювання повітря (ВКВ) у літаку пов'язана із системою автоматичної підтримки тиску. Тиск у літаку повинен бути завжди більшим за зовнішній тиск, при цьому швидкість зміни тиску повинна бути такою, щоб у льотчиків і пасажирів не йшла кров носом і вухами. Тому система керування припливом та відтоком повітря є важливою для безпеки, і для її розробки на землі ставлять дорогі системи випробувань. Вони створюють температури і тиску висоти польоту, відтворюють режими зльоту і посадки на аеродромах різної висоти. І питання розробки та налагодження систем управління для ВКВ постає на повне зростання. Скільки часу ми ганятимемо випробувальний стенд, щоб отримати задовільну систему управління? Очевидно, якщо ми налаштуємо модель управління на моделі об'єкта, цикл робіт на випробувальному стенді може бути значно скорочений.

Авіаційна система кондиціонування повітря складається з таких теплообмінних апаратів, як і будь-яка інша теплова система. Батарея – вона й у Африці батарея, лише кондиціонер. Але через обмеження злітної маси та габаритів літальних апаратів теплообмінники робляться якомога компактнішими і якомога ефективнішими, щоб з меншої маси передати якомога більше тепла. У результаті геометрія стає досить химерною. Як, наприклад, у цьому випадку. На малюнку 1 представлений пластинчастий теплообмінник, у якого між пластинами для поліпшення теплообміну використовується мембрана. Гарячий та холодний теплоносій чергуються в каналах, при цьому напрямок течії – поперечний. Один теплоносій подається на передній зріз, інший – на бічний.

Для вирішення завдання управління ВКВ нам потрібно знати, скільки передається тепла від одного середовища до іншого в такому теплообміннику за одиницю часу. Від цього залежить швидкість зміни температури, яку ми регулюємо.

Малюнок 1. Схема авіаційного теплообмінного апарату.

Проблеми моделювання. Гідравлічна частина

На перший погляд, завдання досить просте, необхідно розрахувати масовий потік, по каналах теплообмінника і тепловий потік між каналами.
Масова витрата теплоносія на каналах обчислюється для формули Бернули:

де:
ΔP – перепад тиску між двома точками;
ξ - коефіцієнт тертя теплоносія;
L - Довжина каналу;
d – гідравлічний діаметр каналу;
ρ – щільність теплоносія;
ω – швидкість теплоносія у каналі.

Для каналу довільної форми гідравлічний діаметр розраховується за такою формулою:

де:
F – площа прохідного перерізу;
П – змочений периметр каналу.

Коефіцієнт тертя, розраховується за емпіричними формулами і залежить від швидкості течії та властивостей теплоносія. Для різних геометрій виходять різні залежності, наприклад, формула для турбулентної течії в гладких трубах:

де:
Re – число Рейнольдса.

Для течії в плоских каналах можна використовувати таку формулу:

З формули Бернул можна розрахувати перепад тиску для заданої швидкості, або навпаки розрахувати швидкість теплоносія в каналі, по заданому перепаду тиску.

Теплообмін

Тепловий потік між теплоносієм та стінкою розраховується за формулою:

де:
α [Вт/(м2×град)] – коефіцієнт тепловіддачі;
F – площа прохідного перерізу.

Для завдань перебігу теплоносіїв у трубах проведено достатню кількість досліджень і існує безліч розрахункових методик, і як правило все зводиться до емпіричних залежностей, для коефіцієнта тепловіддачі α [Вт/(м2×град)]

де:
Nu – число Нуссельта,
λ – коефіцієнт теплопровідності рідини [Вт/(м×град)] d – гідравлічний (еквівалентний) діаметр.

Для розрахунку числа (критерію) Нусселта використовуються емпіричні критеріальні залежності, наприклад, формула для розрахунку числа Нуссельта круглої труби виглядає так:

Тут ми вже бачимо ще число Рейнолодса, число Прандтля за температури стінки і температури рідини і коефіцієнт нерівномірності. (Джерело)

Для пластинчастих гофрованих теплообмінників формула схожа ( Джерело ):

де:
n = 0.73 m =0.43 для турбулентної течії,
коефіцієнт а – змінюється не більше 0,065 до 0.6 залежно кількості пластин і режиму течії.

Врахуємо, що цей коефіцієнт розраховується тільки для однієї точки в потоці. Для наступної точки у нас інша температура рідини (вона нагрілася або охолоне), інша температура стінки і, відповідно, пливуть усі числа Рейнольдса, числа Прандтля.

На цьому місці будь-який математик скаже, що порахувати точно систему, в якій коефіцієнт змінюється в 10 разів неможливо, і матиме рацію.

Будь-який інженер-практик скаже, що кожен теплообмінник відрізняється при виготовленні та порахувати системи неможливо, і теж матиме рацію.

А як модельно-орієнтоване проектування? Невже все зникло?

Просунуті продавці західного софту тут будуть впарювати вам СуперЕОМ і системи 3D-розрахунку, типу «без нього ніяк». І потрібно запускати розрахунок на добу, щоби отримати розподіл температур протягом 1 хвилини.

Зрозуміло, що це не наш варіант, нам потрібно налагоджувати систему управління, якщо не в реальному часі, то хоча б у доступному для огляду.

Рішення методом тику

Виготовляється теплообмінник, проводиться серія випробувань, і задається таблиця ефективності температури, що встановилася при заданих витратах теплоносіїв. Просто, швидко та достовірно, оскільки дані отримані з випробувань.

Недолік такого підходу немає динамічних характеристик об'єкта. Так, ми знаємо, якою буде тепловий потік, але не знаємо, за який час він встановиться при переході з одного на інший режими роботи.

Тому, розрахувавши необхідні характеристики, систему управління налаштовуємо безпосередньо на випробуваннях, чого нам спочатку хотілося б уникнути.

Модельно-орієнтований підхід

Для створення моделі динамічного теплообмінника необхідно використовувати дані випробувань для усунення невизначеностей в емпіричних формулах розрахунку – числа Нуссельта та гідравлічного опору.

Рішення просто, як і все геніальне. Ми беремо емпіричну формулу, проводимо експерименти та визначаємо значення коефіцієнта a, тим самим, усуваючи невизначеність у формулі.

Як тільки ми з'явилося певне значення коефіцієнта тепловіддачі, решта параметрів визначаються основними фізичними законами збереження. Різниця температур та коефіцієнт теплопередачі визначають кількість енергії, що передається в канал в одиницю часу.

Знаючи потік енергії, можна вирішувати рівняння збереження маси енергії та імпульсу для теплоносія в гідравлічному каналі. Наприклад таке:

Для нашого випадку невизначеним залишається потік тепла між стінкою і теплоносієм Qwall. Детальніше можна переглянути тут…

А також рівняння похідної температури для стінки каналу:

де:
ΔQwall - Різниця вхідного та вихідного потоку на стінку каналу;
M – маса стінки каналу;
CPC – теплоємність матеріалу стіни.

Точність моделі

Як було сказано вище, у теплообміннику ми маємо розподіл температури по поверхні пластини. Для значення можна брати середнє по пластинах і використовувати його, представивши весь теплообмінник у вигляді однієї зосередженої точки, в якій на одному перепаді температур відбувається передача тепла через всю поверхню теплообмінника. Але для перехідних режимів таке наближення може не працювати. Інша крайність - зробити кілька сотень тисяч точок і навантажити Супер ЕОМ, що теж нам не підходить, оскільки стоїть завдання налаштовувати систему управління в реальному режимі часу, а краще.

Виникає питання, на скільки ділянок потрібно розбити теплообмінник, щоб отримати прийнятну точність та швидкість розрахунку?

Як завжди, випадково у мене під рукою опинилася модель амінового теплообмінника. Теплообмінний апарат є трубчаткою, в трубах тече гріюче середовище, між торбами - підігрівається. Для спрощення завдання всю трубчатку теплообмінника можна у вигляді однієї еквівалентної труби, а саму трубу у вигляді набору дискретних розрахункових осередків, у кожному з яких відбувається розрахунок точкової моделі теплообміну. Схема моделі одного осередку наведено малюнку 2. Канал гарячого повітря і канал холодного повітря з'єднані через стінку, що забезпечує передачу теплового потоку між каналами.

Малюнок 2. Модель комірки теплообмінника.

Модель трубчастого теплообмінника легко налаштовується. Можна змінювати лише один параметр – кількість ділянок по довжині труби та подивитися на результати розрахунків при різних розбиттях. Проведемо розрахунок кількох варіантів, починаючи з розбиття на 5 точок за довжиною (рис. 3) та до 100 точок за довжиною (рис. 4).

Малюнок 3. Стаціонарне розподілення температури 5 розрахункових точок.

Малюнок 4. Стаціонарне розподілення температури 100 розрахункових точок.

В результаті розрахунків вийшло, що температура, що встановилася, при розбитті на 100 точок становить 67,7 град. А при розбиття на 5 розрахункових точок температура становить 72, 66 град.

Також у нижній частині вікна виводиться швидкість розрахунку щодо реального часу.
Подивимося, як змінюється встановлена ​​температура і швидкість розрахунку залежно кількості розрахункових точок. Різницю температур, що встановилися, при розрахунках з різною кількістю розрахункових осередків можна використовувати для оцінки точності отриманого результату.

Таблиця 1. Залежність температури та швидкості розрахунку кількості розрахункових точок за довжиною теплообмінника.

Кількість розрахункових точок	Температура, що встановилася	Швидкість розрахунку
5	72,66	426
10	70.19	194
25	68.56	124
50	67.99	66
100	67.8	32

Аналізуючи цю таблицю, можна зробити такі висновки:

• Швидкість розрахунку падає пропорційно до кількості розрахункових точок у моделі теплообмінного апарату.
• Зміна точності розрахунку відбувається експонентно. При збільшенні кількості точок уточнення кожному наступному збільшується.

У разі пластинчастого теплообмінника з перехресним струмом теплоносія, як на малюнку 1, створення еквівалентної моделі з елементарних розрахункових осередків злегка ускладнюється. Нам потрібно з'єднати осередки таким чином, щоб організувати перехресну течію. Для 4 осередків схема виглядатиме так, як представлено малюнку 5.

Перебіг теплоносія розділяється по гарячій і холодній гілці на два канали, канали з'єднаються через теплові структури, щоб при проходженні по каналу теплоносій обмінювався теплом з різними каналами. Моделюючи перехресну течію, гарячий теплоносій йде зліва на право (див. рис. 5) у кожному каналі, послідовно обмінюючись із теплом з каналами холодного теплоносія, що йде знизу вгору (див. рис. 5). Найгарячіша точка знаходиться в лівому верхньому кутку, оскільки гарячий теплоносій обмінюється теплом із вже нагрітим теплоносієм холодного каналу. А найхолодніша у правому нижньому, де холодний теплоносій обмінюється теплом із гарячим теплоносієм, що вже остигнув на першій ділянці.

Малюнок 5. Модель поперечного потоку із 4 розрахункових осередків.

Така модель для пластинчастого теплообмінника не враховує перенесення тепла між осередками за рахунок теплопровідності і не враховує перемішування теплоносія, оскільки кожен ізольований канал.

Але в нашому випадку останнє обмеження не зменшує точність, оскільки в конструкції теплообмінника гофрована мембрана поділяє потік на безліч ізольованих каналів теплоносія (див. рис. 1). Подивимося, що відбувається з точністю розрахунку при моделюванні пластинчастого теплообмінника зі збільшенням кількості розрахункових осередків.

Для аналізу точності ми використовуємо два варіанти розбиття теплообмінника на розрахункові комірки:

1. Кожен квадратний осередок містить два гідравлічні (холодний і гарячий потоки) і один тепловий елемент. (Див. малюнок 5)
2. Кожен квадратний осередок містить шість гідравлічних елементів (по три ділянки в гарячому та холодному потоках) та три теплові елементи.

В останньому випадку ми використовуємо два види з'єднання:

• зустрічний перебіг холодного та гарячого потоків;
• попутний перебіг холодного та гарячого потоку.

Зустрічна течія збільшує ефективність у порівнянні з перехресною, а попутна течія зменшує. При великій кількості осередків відбувається усереднення потоком і все стає близько до реального поперечного обтікання (див. рис. 6).

Малюнок 6. Модель поперечного потоку із чотирьох осередків із 3-ма елементами.

На малюнку 7 наведені результати стаціонарного розподілу температури в теплообміннику при подачі по гарячій лінії повітря з температурою 150 °С, а по холодній лінії - 21 °С, для різних варіантів розбиття моделі. Кольором і цифрами на комірці відбивається середня температура стінки розрахункової комірці.

Малюнок 7. Встановлені температури для різних розрахункових схем.

У таблиці 2 наведена температура підігрітого повітря після теплообмінника в залежності від розбиття моделі теплообмінника на комірки.

Таблиця 2. Залежність температури кількості розрахункових осередків в теплообміннику.

Розмірність моделі	Температура, що встановилася 1 елемент у комірці	Температура, що встановилася 3 елементи в комірці
2х2	62,7	67.7
3 × 3	64.9	68.5
4х4	66.2	68.9
8х8	68.1	69.5
10 × 10	68.5	69.7
20 × 20	69.4	69.9
40 × 40	69.8	70.1

При збільшенні кількості розрахункових осередків в моделі відбувається зростання кінцевої температури, що встановилася. Різницю між температурою при різних розбиттях можна розглядати як показник точності розрахунку. Видно, що зі збільшенням кількості розрахункових осередків температура прагне межі, і зростання точності не пропорційне кількості розрахункових точок.

Постає питання, а яка точність моделі нам потрібна?

Відповідь це питання залежить від призначення нашої моделі. Оскільки в цій статті йдеться про модельно-орієнтоване проектування, модель ми створюємо для налаштування системи управління. Це означає, що точність моделі має бути порівнянна з точністю датчиків, що використовуються в системі.

У нашому випадку температура вимірюється термопарою, яка має точність ±2.5°С. Будь-яка точність вища для цілей налаштування системи управління марна, наша реальна система управління просто її «не побачить». Таким чином, якщо прийняти, що гранична температура при нескінченній кількості розбиття – 70 °С, то достатньої точності буде модель, яка дає нам більше 67.5 °С. Всі моделі з 3 точками в розрахунковій комірці та моделі більше 5х5 з однією точкою в комірці. (Виділені зеленим у таблиці 2)

Динамічні режими роботи

Для оцінки динамічного режиму оцінимо процес зміни температури в гарячій і холодній точках стінки теплообмінника для різних варіантів розрахункових схем. (Див. рис. 8)

Малюнок 8. Прогрівання теплообмінника. Моделі розмірності 2х2 та 10х10.

Видно, що час перехідного процесу і сам його характер, практично не залежать від кількості розрахункових осередків, і визначаються виключно масою металу, що прогрівається.

Отже, робимо висновок, що з чесного моделювання теплообмінника у режимах від 20 до 150 °З, з точністю, необхідної системі управління ВКВ, досить близько 10 – 20 розрахункових точок.

Налаштування динамічної моделі за експериментом

Маючи математичну модель, а також дані експерименту з продувки теплообмінника, нам залишається зробити просту корекцію, а саме, ввести коефіцієнт інтенсифікації в модель, такою, щоб розрахунок збігався з результатами експерименту.

Більш того, використовуючи графічне середовище створення моделі, ми зробимо це автоматично. На малюнку 9 представлений алгоритм підбору коефіцієнтів інтенсифікації теплообміну. На вхід подаються дані, отримані з експерименту, підключається модель теплообмінника і на виході виходять необхідні коефіцієнти для кожного з режимів.

Малюнок 9. Алгоритм підбору коефіцієнта інтенсифікації за наслідками експерименту.

Таким чином ми визначаємо цей коефіцієнт для a числа Нуссельта і усуваємо невизначеність у формулах розрахунку. Для різних режимів роботи та температур значення поправочних коефіцієнтів можуть змінюватися, проте для подібних режимів роботи (нормальної експлуатації) вони виявляються дуже близькими. Наприклад, для даного теплообмінника для різних режимів коефіцієнт становить від 0.492 до 0.655

Якщо застосувати коефіцієнт 0.6, то в досліджуваних режимах роботи похибка розрахунку буде меншою від похибки термопари, таким чином, для системи управління математична модель теплообмінника буде повністю адекватною даній моделі.

Результати налаштування моделі теплообмінника

Для оцінки якості теплообміну використовується спеціальна характеристика – ефективність:

де:
ефгір – ефективність теплообмінника за гарячим теплоносієм;
Tгірin – температура на вході в теплообмінник трактом руху гарячого теплоносія;
Tгірз – температура на виході їх теплообмінника трактом руху гарячого теплоносія;
Tхолin – температура на вході в теплообмінник трактом руху холодного теплоносія.

У таблиці 3 наведено значення відхилення ефективності моделі теплообмінника від експериментальної при різних витратах по гарячій та холодній лініях.

Таблиця 3. Похибки розрахунку ефективності теплообміну у %

У нашому випадку підібраний коефіцієнт може бути використаний у всіх цікавих для нас режимах роботи. Якщо при низьких витратах, де похибка більша, необхідна точність не досягається, ми можемо використовувати змінний коефіцієнт інтенсифікації, який залежатиме від поточної витрати.

Наприклад, малюнку 10 коефіцієнт інтенсифікації розраховується за заданою формулою залежно від поточного витрати в осередках каналу.

Малюнок 10. Змінний коефіцієнт інтенсифікації теплообміну.

Висновки

• Знання фізичних законів дозволяє створювати динамічні моделі об'єкта для модельно-орієнтованого проектування.
• Модель має бути верифікована та налаштована за даними випробувань.
• Засоби розробки моделей мають дозволяти розробнику налаштовувати модель за результатами випробувань об'єкта.
• Використовуйте правильний модельно-орієнтований підхід та буде вам щастя!

Бонус для тих, хто дочитав. Відео роботи віртуальної моделі системи ВКВ.

Тільки зареєстровані користувачі можуть брати участь в опитуванні. Увійдіть, будь ласка.

Про що розповісти далі?

• 76,2%Як довести, що програма в моделі відповідає програмі в апаратурі.

• 23,8%Як використовувати обчислення на СуперЕОМ для модельно орієнтованого проектування.

Проголосував 21 користувач. Утримався 1 користувач.

Джерело: habr.com