"Mən əminəm ki, heç kim kvant mexanikasını başa düşmür." - Richard Feynman
Kvant hesablama mövzusu həmişə texnoloji yazıçıları və jurnalistləri valeh edib. Onun hesablama potensialı və mürəkkəbliyi ona müəyyən mistik aura verdi. Çox vaxt bədii məqalələr və infoqrafikalar bu sənayenin müxtəlif perspektivlərini təfərrüatlı şəkildə təsvir edir, eyni zamanda onun praktik tətbiqinə çox az toxunur: bu, az diqqətli oxucunu çaşdıra bilər.
Populyar elmi məqalələr kvant sistemlərinin təsvirlərini buraxır və aşağıdakı kimi ifadələr verir:
Normal bit 1 və ya 0 ola bilər, lakin bir kubit eyni zamanda 1 və 0 ola bilər.
Əgər çox şanslısınızsa (bundan əmin deyiləm), sizə deyəcəklər:
Qubit "1" və "0" arasında superpozisiyadadır.
Bu izahatların heç biri inandırıcı görünmür, çünki biz çox ənənəvi dünyada inkişaf etdirilən dildən istifadə edərək kvant mexaniki fenomeni formalaşdırmağa çalışırıq. Kvant hesablamasının prinsiplərini aydın şəkildə izah etmək üçün başqa bir dildən - riyazi dildən istifadə etmək lazımdır.
Bu dərslikdə mən kvant hesablama sistemlərini modelləşdirmək və başa düşmək üçün lazım olan riyazi alətləri, həmçinin kvant hesablamasının məntiqini necə təsvir etmək və tətbiq etməyi əhatə edəcəyəm. Üstəlik, bir kvant alqoritmi nümunəsi verəcəyəm və onun ənənəvi kompüterdən üstünlüyünün nə olduğunu söyləyəcəyəm.
Bütün bunları aydın dillə izah etmək üçün əlimdən gələni edəcəyəm, amma yenə də ümid edirəm ki, bu məqalənin oxucuları xətti cəbr və rəqəmsal məntiq (xətti cəbr əhatə olunur) haqqında əsas anlayışa malikdirlər. , rəqəmsal məntiq haqqında - ).
Əvvəlcə rəqəmsal məntiqin prinsiplərini nəzərdən keçirək. Hesablamaları aparmaq üçün elektrik sxemlərinin istifadəsinə əsaslanır. Təsvirimizi daha mücərrəd etmək üçün elektrik naqilinin vəziyyətini "on" və ya "off" vəziyyətlərinə uyğun gələn "1" və ya "0" kimi sadələşdirək. Tranzistorları müəyyən bir ardıcıllıqla təşkil etməklə, bir və ya bir neçə giriş siqnalı dəyərini götürən və onları Boolean məntiqinin müəyyən qaydaları əsasında çıxış siqnalına çevirən məntiq elementləri yaradacağıq.
Ümumi məntiq qapıları və onların vəziyyət cədvəlləri
Belə əsas elementlərin zəncirləri əsasında daha mürəkkəb elementlər yaradıla bilər və daha mürəkkəb elementlərin zəncirlərinə əsaslanaraq, biz son nəticədə böyük dərəcədə abstraksiya ilə mərkəzi prosessorun analoqunu əldə etməyi gözləyə bilərik.
Daha əvvəl qeyd etdiyim kimi, rəqəmsal məntiqi riyazi şəkildə təmsil etmək üçün bir yola ehtiyacımız var. Əvvəlcə riyazi ənənəvi məntiqi təqdim edək. Xətti cəbrdən istifadə edərək, "1" və "0" dəyərləri olan klassik bitlər iki sütun vektoru kimi təqdim edilə bilər:
soldakı nömrələr haradadır vektor. Bitlərimizi bu şəkildə təmsil etməklə vektor çevrilmələrindən istifadə edərək bitlər üzərində məntiqi əməliyyatları modelləşdirə bilərik. Diqqət edin: məntiq qapılarında iki bitdən istifadə bir çox əməliyyatları yerinə yetirə bilsə də (VƏ, DEYİL, XOR və s.), bir bitdən istifadə edərkən yalnız dörd əməliyyat yerinə yetirilə bilər: identikliyin çevrilməsi, inkar, “0” sabitinin hesablanması və “1” sabitinin hesablanması. Eyniliyin çevrilməsi ilə bit dəyişməz qalır, inkar ilə bit dəyəri əksinə dəyişir (“0” dan “1”ə və ya “1” dən “0”a) və sabit “1” hesablanması və ya “0” əvvəlki qiymətindən asılı olmayaraq biti “1” və ya “0” olaraq təyin edir.
| identiklik | Şəxsiyyət çevrilməsi |
| Negation | Mənfi |
| Sabit - 0 | "0" sabitinin hesablanması |
| Sabit - 1 | "1" sabitinin hesablanması |
Bitin təklif etdiyimiz yeni təqdimatına əsasən vektor çevrilməsindən istifadə edərək müvafiq bit üzərində əməliyyatları yerinə yetirmək olduqca asandır:
Daha irəli getməzdən əvvəl konsepsiyaya nəzər salaq , bu, sadəcə olaraq bir əməliyyatın və ya məntiq elementinin tərsinə çevrilməsini təmin etmək üçün çıxış siqnallarına və istifadə olunan əməliyyatların adlarına əsaslanaraq giriş siqnal dəyərlərinin siyahısını müəyyən etmək lazım olduğunu göstərir. Beləliklə, belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, eyniliyin çevrilməsi və inkarı geri çevrilə bilər, lakin “1” və “0” sabitlərinin hesablanması əməliyyatları deyil. sayəsində kvant mexanikası, kvant kompüterləri yalnız geri çevrilən əməliyyatlardan istifadə edir, buna görə də diqqətimizi diqqət mərkəzində saxlayacağıq. Sonra, geri dönməyən elementləri kvant kompüteri tərəfindən istifadə edilməsinə imkan vermək üçün geri dönən elementlərə çeviririk.
Ilə fərdi bitlər bir çox bitlə təmsil oluna bilər:
İndi demək olar ki, bütün lazımi riyazi anlayışlara sahib olduğumuz üçün ilk kvant məntiq qapımıza keçək. Bu operatordur , və ya idarə olunan Not (NOT), geri çevrilə bilən və kvant hesablamalarında böyük əhəmiyyət kəsb edir. CNOT elementi iki bitə aiddir və iki bit qaytarır. Birinci bit “nəzarət” biti, ikincisi isə “nəzarət” biti kimi təyin edilmişdir. İdarəetmə biti "1" olaraq təyin olunarsa, idarəetmə biti öz qiymətini dəyişir; Nəzarət biti "0" olaraq təyin edilərsə, idarəetmə biti dəyişdirilmir.
Bu operator aşağıdakı çevrilmə vektoru kimi təqdim edilə bilər:
İndiyə qədər əhatə etdiyimiz hər şeyi nümayiş etdirmək üçün sizə CNOT elementini bir neçə bitdə necə istifadə edəcəyinizi göstərəcəyəm:
Artıq deyilənləri ümumiləşdirmək üçün: birinci misalda biz |10⟩-ni onun tenzor məhsulunun hissələrinə parçalayırıq və məhsulun yeni uyğun vəziyyətini əldə etmək üçün CNOT matrisindən istifadə edirik; daha əvvəl verilmiş CNOT dəyərləri cədvəlinə uyğun olaraq onu |11⟩ hesab edirik.
Beləliklə, biz ənənəvi hesablamaları və adi bitləri anlamağa kömək edəcək bütün riyazi qaydaları xatırladıq və nəhayət, müasir kvant hesablamalarına və kubitlərə keçə bilərik.
Əgər bura qədər oxumusunuzsa, onda sizə yaxşı xəbərim var: qubitləri riyazi olaraq asanlıqla ifadə etmək olar. Ümumiyyətlə, əgər klassik bit (cbit) |1⟩ və ya |0⟩ təyin edilə bilərsə, kubit sadəcə superpozisiyadadır və ölçmədən əvvəl həm |0⟩, həm də |1⟩ ola bilər. Ölçmədən sonra |0⟩ və ya |1⟩-ə çökür. Başqa sözlə, qubit aşağıdakı düstura uyğun olaraq |0⟩ və |1⟩ xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər:
hara a₀ и a₁ müvafiq olaraq |0⟩ və |1⟩ amplitüdlərini təmsil edir. Bunlara “kvant ehtimalları” kimi baxıla bilər ki, bu da bir kubit ölçüldükdən sonra vəziyyətlərdən birinə çökmə ehtimalını təmsil edir, çünki kvant mexanikasında superpozisiyada olan obyekt sabitləndikdən sonra vəziyyətlərdən birinə çökür. Gəlin bu ifadəni genişləndirək və aşağıdakıları əldə edək:
İzahımı sadələşdirmək üçün bu məqalədə istifadə edəcəyim təqdimat budur.
Bu qubit üçün dəyərə düşmə şansı a₀ ölçmədən sonra | bərabərdira₀|² və dəyərə düşmə şansı a₁ |-ə bərabərdira₁|². Məsələn, aşağıdakı kubit üçün:
“1”-ə düşmə şansı |1/ √2|² və ya ½-ə bərabərdir, yəni 50/50.
Klassik sistemdə bütün ehtimallar 0-ə qədər toplamalı olduğundan (tam ehtimal paylanması üçün) belə nəticəyə gələ bilərik ki, |1⟩ və |XNUMX⟩ amplitüdlərinin mütləq qiymətlərinin kvadratları XNUMX-ə qədər olmalıdır. Bu məlumat əsasında aşağıdakı tənliyi tərtib edə bilərik:
Əgər triqonometriya ilə tanışsınızsa, görəcəksiniz ki, bu tənlik Pifaqor teoreminə (a²+b²=c²) uyğundur, yəni biz kubitin mümkün vəziyyətlərini vahid çevrədə nöqtələr kimi qrafik olaraq təqdim edə bilərik, yəni:
Məntiqi operatorlar və elementlər kubitlərə klassik bitlərdə olduğu kimi tətbiq edilir - matrisin çevrilməsinə əsaslanaraq. İndiyə qədər xatırladığımız bütün inversilə matris operatorları, xüsusən də CNOT, kubitlərlə işləmək üçün istifadə edilə bilər. Belə matris operatorları kubit amplitüdlərinin hər birini ölçmədən və çökdürmədən istifadə etməyə imkan verir. İcazə verin, bir qubitdə inkar operatorundan istifadə etmək üçün bir nümunə verim:
Davam etməzdən əvvəl, amplituda dəyərlərin olduğunu xatırladaq a₀ və a₁ əslində var , beləliklə, bir qubitin vəziyyəti ən dəqiq şəkildə üçölçülü vahid sfera ilə əlaqələndirilə bilər. :
Lakin izahı sadələşdirmək üçün burada özümüzü real rəqəmlərlə məhdudlaşdıracağıq.
Yalnız kvant hesablamaları kontekstində məna kəsb edən bəzi məntiq elementlərini müzakirə etməyin vaxtı görünür.
Ən vacib operatorlardan biri "Hadamard elementidir": o, "0" və ya "1" vəziyyətində bir az alır və onu "50" və ya "1" vəziyyətinə düşmək üçün 0% şansla uyğun superpozisiyaya qoyur. ölçmədən sonra.
Hadamard operatorunun aşağı sağ tərəfində mənfi rəqəm olduğuna diqqət yetirin. Bu, operatorun tətbiqinin nəticəsinin giriş siqnalının qiymətindən asılı olması ilə bağlıdır: - |1⟩ və ya |0⟩ və buna görə də hesablama geri çevrilir.
Hadamard elementi ilə bağlı digər vacib məqam onun geri çevrilməsidir, yəni o, müvafiq superpozisiyada bir kubit götürə və onu |0⟩ və ya |1⟩-ə çevirə bilər.
Bu, çox vacibdir, çünki o, bizə qubitin vəziyyətini təyin etmədən və müvafiq olaraq onu dağılmadan kvant vəziyyətindən transformasiya etmək imkanı verir. Beləliklə, biz kvant hesablamasını ehtimal prinsipinə deyil, deterministik prinsipə əsaslanaraq qura bilərik.
Yalnız real ədədləri ehtiva edən kvant operatorları öz əksidir, ona görə də operatorun qubitə tətbiqinin nəticəsini dövlət maşını şəklində vahid çevrəsində transformasiya kimi təqdim edə bilərik:
Beləliklə, vəziyyəti yuxarıdakı diaqramda təqdim olunan qubit, Hadamard əməliyyatını tətbiq etdikdən sonra müvafiq ox ilə göstərilən vəziyyətə çevrilir. Eyni şəkildə, aşağıda göstərildiyi kimi, yuxarıda göstərildiyi kimi (həmçinin Pauli inkar operatoru və ya bit inversiya kimi tanınır) inkar operatorundan istifadə edərək qubitin çevrilməsini təsvir edəcək başqa bir vəziyyət maşını qura bilərik:
Qubitimizdə daha mürəkkəb əməliyyatları yerinə yetirmək üçün biz bir neçə operatoru zəncirləyə və ya elementləri dəfələrlə tətbiq edə bilərik. Serial transformasiyasına əsaslanan nümunə belə görünür:
Yəni, |0⟩ biti ilə başlasaq, bir az inversiya tətbiq etsək, sonra Hadamard əməliyyatı, daha sonra başqa bir bit inversiya və yenidən Hadamard əməliyyatı, ardınca isə son bit inversiya, on tərəfindən verilən vektorla bitiririk. zəncirin sağ tərəfi. Fərqli dövlət maşınlarını bir-birinin üstünə yerləşdirməklə, biz |0⟩-dən başlaya və bütün dəyişikliklərin necə işlədiyini başa düşmək üçün hər bir transformasiyaya uyğun rəngli oxları izləyə bilərik.
Bura qədər gəldiyimiz üçün kvant alqoritmlərinin növlərindən birini nəzərdən keçirməyin vaxtı gəldi, yəni - , və klassik kompüterdən üstünlüyünü göstərir. Qeyd etmək lazımdır ki, Deutsch-Jozsa alqoritmi tamamilə deterministikdir, yəni o, vaxtın 100% düzgün cavabını qaytarır (qubitlərin ehtimal tərifinə əsaslanan bir çox digər kvant alqoritmlərindən fərqli olaraq).
Təsəvvür edək ki, sizdə bir bitdə funksiya/operator olan qara qutunuz var (unutmayın - bir bitlə yalnız dörd əməliyyat yerinə yetirilə bilər: identikliyin çevrilməsi, inkar, "0" sabitinin qiymətləndirilməsi və "1" sabitinin qiymətləndirilməsi. "). Qutuda yerinə yetirilən funksiya tam olaraq nədir? Hansı birini bilmirsiniz, ancaq istədiyiniz qədər giriş dəyəri variantından keçə və çıxış nəticələrini qiymətləndirə bilərsiniz.
Hansı funksiyanın istifadə olunduğunu anlamaq üçün qara qutudan neçə giriş və çıxışdan keçməli olacaqsınız? Bu barədə bir saniyə düşünün.
Klassik kompüter vəziyyətində istifadə ediləcək funksiyanı müəyyən etmək üçün 2 sorğu etməli olacaqsınız. Məsələn, "1" girişi "0" çıxışı verirsə, aydın olur ki, ya "0" sabitinin hesablanması funksiyası, ya da inkar funksiyasından istifadə olunur, bundan sonra giriş siqnalının dəyərini dəyişməli olacaqsınız. "0"-a keçin və çıxışda nə baş verdiyinə baxın.
Kvant kompüteri vəziyyətində, iki sorğu da tələb olunacaq, çünki giriş dəyərinə tətbiq ediləcək funksiyanı dəqiq müəyyən etmək üçün hələ də iki fərqli çıxış dəyərinə ehtiyacınız var. Bununla belə, sualı bir az yenidən tərtib etsəniz, məlum olur ki, kvant kompüterlərinin hələ də ciddi üstünlüyü var: istifadə olunan funksiyanın sabit və ya dəyişkən olduğunu bilmək istəsəniz, kvant kompüterlərinin üstünlüyü olacaq.
Giriş siqnalının müxtəlif dəyərləri çıxışda fərqli nəticələr verirsə (məsələn, eyniləşdirmə və bit inversiya) və giriş dəyərindən asılı olmayaraq çıxış dəyəri dəyişməzsə, qutuda istifadə olunan funksiya dəyişəndir. funksiya sabitdir (məsələn, "1" sabitinin hesablanması və ya "0" sabitinin hesablanması).
Kvant alqoritmindən istifadə edərək, yalnız bir sorğu əsasında qara qutudakı funksiyanın sabit və ya dəyişən olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Ancaq bunun necə ediləcəyini ətraflı nəzərdən keçirməzdən əvvəl, bu funksiyaların hər birini kvant kompüterində strukturlaşdırmaq üçün bir yol tapmalıyıq. İstənilən kvant operatoru inversiv olmalıdır, biz dərhal problemlə üzləşirik: “1” və “0” sabitlərinin hesablanması funksiyaları deyil.
Kvant hesablamasında istifadə olunan ümumi həll funksiyanın qəbul etdiyi hər hansı giriş dəyərini qaytaran əlavə çıxış kubitini əlavə etməkdir.
| Kimə: | Sonra: |
|
|
|
Beləliklə, giriş dəyərlərini yalnız çıxış dəyərinə əsaslanaraq müəyyən edə bilərik və funksiya inversilə olur. Kvant sxemlərinin strukturu əlavə giriş bitinə ehtiyac yaradır. Müvafiq operatorları inkişaf etdirmək üçün əlavə giriş kubitinin |0⟩ olaraq təyin olunduğunu güman edəcəyik.
Əvvəllər istifadə etdiyimiz eyni kvant dövrə təsvirindən istifadə edərək dörd elementin hər birinin (identifikasiya çevrilməsi, inkar, “0” sabitinin qiymətləndirilməsi və “1” sabitinin qiymətləndirilməsi) kvant operatorlarından istifadə etməklə necə həyata keçirilə biləcəyinə baxaq.
Məsələn, “0” sabitinin hesablanması funksiyasını belə həyata keçirə bilərsiniz:
"0" sabitinin hesablanması:
Burada operatorlara ümumiyyətlə ehtiyacımız yoxdur. İlk giriş kubit (bizim |0⟩ olduğunu güman etdik) eyni dəyərlə qayıdır, ikinci giriş dəyəri isə həmişəki kimi özünə qayıdır.
"1" sabitini hesablamaq funksiyası ilə vəziyyət bir az fərqlidir:
"1" sabitinin hesablanması:
İlk giriş kubitinin həmişə |0⟩ olaraq təyin olunduğunu fərz etdiyimiz üçün bit inversiya operatorunun tətbiqinin nəticəsi odur ki, o, həmişə çıxışda bir ədəd yaradır. Həmişə olduğu kimi, ikinci qubit çıxışda öz dəyərini verir.
Şəxsiyyətin çevrilməsi operatorunun xəritəsini tərtib edərkən, tapşırıq daha da mürəkkəbləşməyə başlayır. Bunu necə etmək olar:
Eyni çevrilmə:
Burada istifadə olunan simvol CNOT elementini ifadə edir: yuxarı sətir nəzarət bitini, aşağı xətt isə idarəetmə bitini bildirir. Nəzərinizə çatdırım ki, CNOT operatorundan istifadə edərkən idarəetmə biti |1⟩-ə bərabər olduqda idarəetmə bitinin qiyməti dəyişir, lakin idarəetmə biti |0⟩-ə bərabər olduqda isə dəyişməz qalır. Üst sətrin dəyərinin həmişə |0⟩-ə bərabər olduğunu fərz etdiyimiz üçün onun dəyəri həmişə alt sətirə təyin edilir.
Biz inkar operatoru ilə oxşar şəkildə davam edirik:
İnkar:
Biz sadəcə olaraq çıxış xəttinin sonundakı biti tərsinə çeviririk.
İndi biz bu ilkin anlayışı əldən verdik, gəlin yalnız bir sorğudan istifadə etməklə qara qutuda gizlənmiş funksiyanın sabitliyini və ya dəyişkənliyini təyin etməyə gəldikdə kvant kompüterinin ənənəvi kompüterlə müqayisədə xüsusi üstünlüklərinə baxaq.
Bir sorğuda kvant hesablamasından istifadə edərək bu problemi həll etmək üçün aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi, giriş kubitlərini funksiyaya ötürməzdən əvvəl onları superpozisiyaya qoymaq lazımdır:
Hadamard elementi kubitləri superpozisiyadan çıxarmaq və alqoritmi deterministik etmək üçün funksiyanın nəticəsinə yenidən tətbiq olunur. Biz sistemi |00⟩ vəziyyətində işə salırıq və qısaca izah edəcəyim səbəblərə görə tətbiq olunan funksiya sabitdirsə |11⟩ nəticəsini əldə edirik. Qara qutunun içindəki funksiya dəyişəndirsə, ölçmədən sonra sistem |01⟩ nəticəni qaytarır.
Məqalənin qalan hissəsini başa düşmək üçün əvvəllər göstərdiyim illüstrasiyaya baxaq:
Bit inversiya operatorundan istifadə edərək və sonra Hadamard elementini |0⟩-ə bərabər olan hər iki giriş dəyərinə tətbiq etməklə, biz onların eyni |0⟩ və |1⟩ superpozisiyasına aşağıdakı kimi tərcümə olunmasını təmin edirik:
Bu dəyərin qara qutu funksiyasına ötürülməsi nümunəsindən istifadə edərək, hər iki sabit dəyər funksiyasının |11⟩ çıxış etdiyini nümayiş etdirmək asandır.
"0" sabitinin hesablanması:
Eynilə, biz görürük ki, “1” sabitinin hesablanması funksiyası da çıxış kimi |11⟩ verir, yəni:
"1" sabitinin hesablanması:
Nəzərə alın ki, çıxış |1⟩ olacaq, çünki -1² = 1.
Eyni prinsiplə sübut edə bilərik ki, hər iki dəyişən funksiyadan istifadə edərkən biz həmişə çıxışda |01⟩ alacağıq (eyni metoddan istifadə etmək şərti ilə), baxmayaraq ki, hər şey bir az daha mürəkkəbdir.
Eyni çevrilmə:
CNOT iki kubitli operator olduğundan, onu sadə dövlət maşını kimi təqdim etmək olmaz və buna görə də əvvəllər təsvir olunduğu kimi həm giriş kubitlərinin tenzor hasilinə, həm də CNOT matrisi ilə çoxalmaya əsaslanan iki çıxış siqnalını təyin etmək lazımdır:
Bu üsulla inkar funksiyası qara qutuda gizlədilibsə, |01⟩ çıxış dəyərinin alındığını təsdiq edə bilərik:
İnkar:
Beləliklə, biz indicə kvant kompüterinin adi kompüterdən daha səmərəli olduğu bir vəziyyəti nümayiş etdirdik.
Növbəti nədir?
Mən burada bitirməyi təklif edirəm. Biz artıq əla iş görmüşük. Əgər əhatə etdiyim hər şeyi başa düşmüsünüzsə, düşünürəm ki, indi siz kvant hesablamasının və kvant məntiqinin əsaslarını yaxşı başa düşmüsünüz və nə üçün müəyyən hallarda kvant alqoritmləri ənənəvi hesablamalardan daha səmərəli ola bilər.
Mənim təsvirimi kvant hesablamaları və alqoritmlər üçün tam hüquqlu bələdçi adlandırmaq çətin deyil - daha doğrusu, bu, riyaziyyata və nota qısa girişdir, oxucuların populyar elmi mənbələr tərəfindən qoyulan mövzu haqqında fikirlərini dağıtmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur (ciddi olaraq, çoxları həqiqətən başa düşə bilmirlər) vəziyyət!). kimi bir çox vacib mövzulara toxunmağa vaxtım olmadı , |0⟩ və |1⟩ amplituda dəyərlərinin mürəkkəbliyi və Bloch sferası ilə çevrilmə zamanı müxtəlif kvant məntiq elementlərinin işləməsi.
Kvant kompüterləri haqqında biliklərinizi sistemləşdirmək və strukturlaşdırmaq istəyirsinizsə, təcili Oxumağınızı tövsiyə edirəm Emma Strubel: Riyazi düsturların bolluğuna baxmayaraq, bu kitab kvant alqoritmlərini daha ətraflı şəkildə müzakirə edir.
Mənbə: www.habr.com