"Pokud čtete nápis "buvol" na sloní kleci, nevěřte svým očím." Kozma Prutkov

V předchozím článek o Model-Based Design bylo ukázáno, proč je objektový model potřeba, a bylo prokázáno, že bez tohoto objektového modelu lze o modelovém designu mluvit pouze jako o marketingové vánici, nesmyslné a nemilosrdné. Ale když se objeví model objektu, kompetentní inženýři mají vždy rozumnou otázku: jaký existuje důkaz, že matematický model objektu odpovídá skutečnému objektu.

Jeden příklad odpovědi na tuto otázku je uveden v článek o modelovém návrhu elektrických pohonů. V tomto článku se podíváme na příklad vytvoření modelu pro letecké klimatizační systémy, přičemž praxi rozředíme některými teoretickými úvahami obecné povahy.

Vytvoření spolehlivého modelu objektu. Teorie

Abychom to nezdržovali, hned vám řeknu o algoritmu pro vytvoření modelu pro návrh založený na modelu. Stačí tři jednoduché kroky:

Krok 1. Vytvořte systém algebraicko-diferenciálních rovnic, které popisují dynamické chování modelovaného systému. Je to jednoduché, pokud znáte fyziku procesu. Mnoho vědců pro nás již vyvinulo základní fyzikální zákony pojmenované po Newtonovi, Brenoulovi, Navierovi Stokesovi a dalších Stangels, Kompasy a Rabinovich.

Krok 2. Vyberte ve výsledném systému sadu empirických koeficientů a charakteristik modelovacího objektu, které lze získat z testů.

Krok 3. Otestujte objekt a upravte model na základě výsledků celoplošných experimentů tak, aby odpovídal skutečnosti, s požadovanou mírou detailů.

Jak vidíte, je to jednoduché, stačí dva tři.

Ukázka praktické realizace

Klimatizační systém (ACS) v letadle je připojen k systému automatického udržování tlaku. Tlak v letadle musí být vždy větší než vnější tlak a rychlost změny tlaku musí být taková, aby piloti a cestující nekrváceli z nosu a uší. Proto je systém řízení vstupu a výstupu vzduchu důležitý pro bezpečnost a pro jeho vývoj jsou nasazeny drahé testovací systémy. Vytvářejí teploty a tlaky ve výšce letu a reprodukují podmínky vzletu a přistání na letištích v různých nadmořských výškách. A problematika vývoje a ladění řídicích systémů pro SCV nabírá svůj plný potenciál. Jak dlouho poběžíme na zkušební stolici, abychom získali uspokojivý řídicí systém? Je zřejmé, že pokud nastavíme model řízení na modelu objektu, pak lze cyklus práce na zkušební stolici výrazně zkrátit.

Klimatizační systém letadla se skládá ze stejných výměníků tepla jako jakýkoli jiný tepelný systém. Baterie je v Africe také baterie, pouze klimatizace. Ale kvůli omezením vzletové hmotnosti a rozměrů letadel jsou výměníky tepla vyrobeny co nejkompaktnější a nejúčinnější, aby přenesly co nejvíce tepla z menší hmoty. V důsledku toho se geometrie stává docela bizarní. Stejně jako v posuzovaném případě. Obrázek 1 ukazuje deskový výměník tepla, ve kterém je mezi deskami použita membrána pro zlepšení přenosu tepla. V kanálech se střídá horká a studená chladicí kapalina a směr proudění je příčný. Jedna chladicí kapalina je dodávána do předního řezu, druhá - do strany.

Abychom vyřešili problém řízení SCR, potřebujeme vědět, kolik tepla se přenese z jednoho média do druhého v takovém výměníku tepla za jednotku času. Na tom závisí rychlost změny teploty, kterou regulujeme.

Obrázek 1. Schéma leteckého výměníku tepla.

Problémy s modelováním. Hydraulická část

Úloha je na první pohled celkem jednoduchá, je nutné vypočítat hmotnostní průtok kanály výměníku tepla a tepelný tok mezi kanály.
Hmotnostní průtok chladicí kapaliny v kanálech se vypočítá pomocí Bernoulliho vzorce:

kde:
ΔP – tlakový rozdíl mezi dvěma body;
ξ – koeficient tření chladicí kapaliny;
L – délka kanálu;
d – hydraulický průměr kanálu;
ρ – hustota chladicí kapaliny;
ω – rychlost chladicí kapaliny v kanálu.

Pro kanál libovolného tvaru se hydraulický průměr vypočítá podle vzorce:

kde:
F – průtoková plocha;
P – smáčený obvod kanálu.

Koeficient tření se vypočítá pomocí empirických vzorců a závisí na rychlosti proudění a vlastnostech chladicí kapaliny. Pro různé geometrie se získají různé závislosti, například vzorec pro turbulentní proudění v hladkých trubkách:

kde:
Re – Reynoldsovo číslo.

Pro proudění v plochých kanálech lze použít následující vzorec:

Z Bernoulliho vzorce můžete vypočítat pokles tlaku pro danou rychlost nebo naopak vypočítat rychlost chladicí kapaliny v kanálu na základě daného poklesu tlaku.

Výměna tepla

Tepelný tok mezi chladicí kapalinou a stěnou se vypočítá podle vzorce:

kde:
α [W/(m2×deg)] – součinitel prostupu tepla;
F – průtoková plocha.

Pro problémy proudění chladicí kapaliny v potrubí bylo provedeno dostatečné množství výzkumů a existuje mnoho výpočtových metod a zpravidla vše závisí na empirických závislostech součinitele prostupu tepla α [W/(m2×deg)]

kde:
Nu – Nusseltovo číslo,
λ – součinitel tepelné vodivosti kapaliny [W/(m×deg)] d – hydraulický (ekvivalentní) průměr.

Pro výpočet Nusseltova čísla (kritéria) se používají empirické závislosti kritérií, například vzorec pro výpočet Nusseltova čísla kruhové trubky vypadá takto:

Zde již vidíme Reynoldsovo číslo, Prandtlovo číslo při teplotě stěny a teplotě kapaliny a koeficient nerovnoměrnosti. (Zdroj)

Pro vlnité deskové výměníky tepla je vzorec podobný ( Zdroj ):

kde:
n = 0.73 m = 0.43 pro turbulentní proudění,
koeficient a - se pohybuje od 0,065 do 0.6 v závislosti na počtu desek a režimu proudění.

Vezměme v úvahu, že tento koeficient se počítá pouze pro jeden bod v toku. Pro další bod máme jinou teplotu kapaliny (zahřála se nebo vychladla), jinou teplotu stěny a podle toho všechna Reynoldsova a Prandtlova čísla plavou.

V tuto chvíli každý matematik řekne, že je nemožné přesně vypočítat systém, ve kterém se koeficient mění 10krát, a bude mít pravdu.

Každý praktický inženýr řekne, že každý výměník se vyrábí jinak a nelze spočítat systémy, a bude mít také pravdu.

A co modelový design? Je opravdu vše ztraceno?

Pokročilí prodejci západního softwaru na tomto místě vám prodají superpočítače a 3D výpočetní systémy, jako „bez toho se neobejdete“. A musíte provést výpočet na jeden den, abyste získali rozložení teploty do 1 minuty.

Je jasné, že to není naše možnost, musíme odladit řídicí systém, když ne v reálném čase, tak alespoň v dohledné době.

Náhodné řešení

Vyrobí se výměník tepla, provede se řada testů a nastaví se tabulka účinnosti ustálené teploty při daných průtokech chladiva. Jednoduché, rychlé a spolehlivé, protože data pocházejí z testování.

Nevýhodou tohoto přístupu je, že neexistují žádné dynamické charakteristiky objektu. Ano, víme, jaký bude tok tepla v ustáleném stavu, ale nevíme, jak dlouho bude trvat, než se ustaví při přechodu z jednoho provozního režimu do druhého.

Po výpočtu potřebných charakteristik tedy nakonfigurujeme řídicí systém přímo během testování, čemuž bychom se zpočátku chtěli vyhnout.

Přístup založený na modelu

Pro vytvoření modelu dynamického výměníku tepla je nutné použít zkušební data pro odstranění nejistot v empirických výpočtových vzorcích - Nusseltovo číslo a hydraulický odpor.

Řešení je jednoduché, jako všechno geniální. Vezmeme empirický vzorec, provedeme experimenty a určíme hodnotu koeficientu a, čímž eliminujeme nejistotu ve vzorci.

Jakmile máme určitou hodnotu součinitele prostupu tepla, jsou všechny ostatní parametry určeny základními fyzikálními zákony zachování. Teplotní rozdíl a koeficient přestupu tepla určují množství energie přenesené do kanálu za jednotku času.

Se znalostí toku energie je možné řešit rovnice zachování hmotnosti energie a hybnosti pro chladivo v hydraulickém kanálu. Například toto:

V našem případě zůstává tepelný tok mezi stěnou a chladicí kapalinou - Qwall - nejistý. Můžete vidět další podrobnosti tady…

A také rovnice derivace teploty pro stěnu kanálu:

kde:
ΔQwall – rozdíl mezi vstupním a výstupním tokem ke stěně kanálu;
M je hmotnost stěny kanálu;
CPC – tepelná kapacita materiálu stěny.

Přesnost modelu

Jak bylo uvedeno výše, ve výměníku tepla máme rozložení teploty po povrchu desky. Pro ustálenou hodnotu můžete vzít průměr přes desky a použít jej, přičemž si celý výměník tepla představíte jako jeden koncentrovaný bod, ve kterém se při jednom teplotním rozdílu přenese teplo přes celý povrch výměníku. Ale pro přechodné režimy taková aproximace nemusí fungovat. Druhým extrémem je vydělat několik set tisíc bodů a načíst superpočítač, což pro nás také není vhodné, protože úkolem je nakonfigurovat řídicí systém v reálném čase, nebo ještě lépe rychleji.

Nabízí se otázka, na kolik sekcí by měl být výměník rozdělen, aby bylo dosaženo přijatelné přesnosti a rychlosti výpočtu?

Jako vždy jsem náhodou měl po ruce model aminového výměníku. Výměník tepla je trubka, v trubkách proudí topné médium a mezi vaky proudí ohřáté médium. Pro zjednodušení problému může být celá trubka výměníku tepla reprezentována jako jedna ekvivalentní trubka a samotná trubka může být reprezentována jako sada diskrétních výpočtových buněk, v každé z nich je vypočítán bodový model přenosu tepla. Schéma jednočlánkového modelu je na obrázku 2. Kanál horkého vzduchu a kanál studeného vzduchu jsou propojeny stěnou, která zajišťuje přenos tepelného toku mezi kanály.

Obrázek 2. Model článku výměníku tepla.

Model trubkového výměníku tepla se snadno nastavuje. Můžete změnit pouze jeden parametr - počet úseků po délce potrubí a podívat se na výsledky výpočtu pro různé oddíly. Vypočítejme několik možností, počínaje rozdělením na 5 bodů po délce (obr. 3) a až do 100 bodů po délce (obr. 4).

Obrázek 3. Stacionární rozložení teplot 5 vypočtených bodů.

Obrázek 4. Stacionární rozložení teplot 100 vypočtených bodů.

Výsledkem výpočtů bylo, že teplota v ustáleném stavu při rozdělení do 100 bodů je 67,7 stupňů. A při rozdělení do 5 vypočtených bodů je teplota 72 stupňů C.

Ve spodní části okna je také zobrazena rychlost výpočtu vzhledem k reálnému času.
Podívejme se, jak se teplota v ustáleném stavu a rychlost výpočtu mění v závislosti na počtu bodů výpočtu. Rozdíl teplot v ustáleném stavu při výpočtech s různým počtem výpočtových buněk lze využít k posouzení přesnosti získaného výsledku.

Tabulka 1. Závislost teploty a rychlosti výpočtu na počtu bodů výpočtu po délce výměníku tepla.

Počet výpočtových bodů	Ustálená teplota	Rychlost výpočtu
5	72,66	426
10	70.19	194
25	68.56	124
50	67.99	66
100	67.8	32

Analýzou této tabulky můžeme vyvodit následující závěry:

• Rychlost výpočtu klesá úměrně počtu bodů výpočtu v modelu výměníku tepla.
• Ke změně přesnosti výpočtu dochází exponenciálně. S rostoucím počtem bodů se upřesnění při každém dalším zvýšení snižuje.

V případě deskového výměníku s chladivem s příčným prouděním, jako na obrázku 1, je vytvoření ekvivalentního modelu z elementárních výpočtových buněk o něco složitější. Potřebujeme propojit buňky takovým způsobem, abychom organizovali křížové toky. Pro 4 články bude obvod vypadat jako na obrázku 5.

Proud chladiva je rozdělen podél horké a studené větve do dvou kanálů, kanály jsou propojeny tepelnými konstrukcemi, takže při průchodu kanálem si chladivo vyměňuje teplo s různými kanály. Simuluje křížový tok, horké chladivo proudí zleva doprava (viz obr. 5) v každém kanálu, přičemž si postupně vyměňuje teplo s kanály studeného chladiva, které proudí zdola nahoru (viz obr. 5). Nejteplejší bod je v levém horním rohu, protože horké chladivo si vyměňuje teplo s již ohřátým chladivem studeného kanálu. A nejchladnější je vpravo dole, kde si studená chladicí kapalina vyměňuje teplo s teplou chladicí kapalinou, která již v první sekci vychladla.

Obrázek 5. Model křížového toku 4 výpočetních buněk.

Tento model pro deskový výměník tepla nezohledňuje přenos tepla mezi články v důsledku tepelné vodivosti a nezohledňuje směšování chladicí kapaliny, protože každý kanál je izolován.

Ale v našem případě poslední omezení nesnižuje přesnost, protože v konstrukci výměníku tepla vlnitá membrána rozděluje tok do mnoha izolovaných kanálů podél chladicí kapaliny (viz obr. 1). Podívejme se, co se stane s přesností výpočtu při modelování deskového výměníku tepla, když se počet výpočtových buněk zvýší.

K analýze přesnosti používáme dvě možnosti rozdělení výměníku tepla na konstrukční buňky:

1. Každý čtvercový článek obsahuje dva hydraulické (studené a horké proudy) a jeden tepelný článek. (viz obrázek 5)
2. Každá čtvercová buňka obsahuje šest hydraulických prvků (tři sekce v horkém a studeném toku) a tři tepelné prvky.

V druhém případě používáme dva typy připojení:

• protiproud studených a horkých proudů;
• paralelní proudění studeného a horkého proudu.

Protiproud zvyšuje účinnost ve srovnání s příčným tokem, zatímco protiproud ji snižuje. Při velkém počtu článků dochází k zprůměrování přes průtok a vše se přibližuje skutečnému příčnému toku (viz obrázek 6).

Obrázek 6. Čtyřčlánkový, 3prvkový model křížového toku.

Obrázek 7 ukazuje výsledky ustáleného stacionárního rozložení teplot ve výměníku při přívodu vzduchu o teplotě 150 °C podél horké linky a 21 °C podél studené linky pro různé možnosti rozdělení modelu. Barva a čísla na buňce odrážejí průměrnou teplotu stěny ve výpočtové buňce.

Obrázek 7. Teploty v ustáleném stavu pro různá návrhová schémata.

Tabulka 2 ukazuje ustálenou teplotu ohřátého vzduchu za výměníkem v závislosti na rozdělení modelu výměníku na články.

Tabulka 2. Závislost teploty na počtu konstrukčních článků ve výměníku tepla.

Rozměr modelu	Ustálená teplota 1 prvek na buňku	Ustálená teplota 3 prvky na buňku
2 × 2	62,7	67.7
3 × 3	64.9	68.5
4 × 4	66.2	68.9
8 × 8	68.1	69.5
10 × 10	68.5	69.7
20 × 20	69.4	69.9
40 × 40	69.8	70.1

S rostoucím počtem výpočtových buněk v modelu se zvyšuje konečná teplota v ustáleném stavu. Rozdíl mezi teplotou v ustáleném stavu pro různé přepážky lze považovat za ukazatel přesnosti výpočtu. Je vidět, že s nárůstem počtu výpočtových buněk se teplota blíží limitu a nárůst přesnosti není úměrný počtu výpočtových bodů.

Nabízí se otázka: jakou přesnost modelu potřebujeme?

Odpověď na tuto otázku závisí na účelu našeho modelu. Protože tento článek je o návrhu založeném na modelu, vytvoříme model pro konfiguraci řídicího systému. To znamená, že přesnost modelu musí být srovnatelná s přesností senzorů použitých v systému.

V našem případě je teplota měřena termočlánkem, jehož přesnost je ±2.5°C. Jakákoli vyšší přesnost pro účely nastavení řídicího systému je k ničemu, náš skutečný řídicí systém ji prostě „neuvidí“. Pokud tedy připustíme, že mezní teplota pro nekonečný počet přepážek je 70 °C, pak model, který nám dá více než 67.5 °C, bude dostatečně přesný. Všechny modely se 3 body v buňce výpočtu a modely větší než 5x5 s jedním bodem v buňce. (V tabulce 2 zvýrazněno zeleně)

Dynamické provozní režimy

Pro posouzení dynamického režimu vyhodnotíme proces změny teploty v nejteplejších a nejchladnějších místech stěny výměníku pro různé varianty návrhových schémat. (viz obr. 8)

Obrázek 8. Zahřívání výměníku tepla. Modely o rozměrech 2x2 a 10x10.

Je vidět, že doba přechodového procesu a jeho samotná povaha jsou prakticky nezávislé na počtu výpočtových buněk a jsou určeny výhradně hmotností zahřátého kovu.

Docházíme tedy k závěru, že pro spravedlivé modelování výměníku v režimech od 20 do 150 °C s přesností požadovanou řídicím systémem SCR stačí cca 10 - 20 návrhových bodů.

Nastavení dynamického modelu na základě experimentu

Máme-li matematický model a také experimentální data o proplachování výměníku tepla, stačí provést jednoduchou korekci, totiž zavést do modelu intenzifikační faktor tak, aby se výpočet shodoval s výsledky experimentu.

Navíc pomocí prostředí pro tvorbu grafického modelu to uděláme automaticky. Obrázek 9 ukazuje algoritmus pro výběr koeficientů zesílení přenosu tepla. Data získaná z experimentu se přivedou na vstup, připojí se model výměníku a na výstupu se získají požadované koeficienty pro každý režim.

Obrázek 9. Algoritmus pro výběr intenzifikačního koeficientu na základě experimentálních výsledků.

Určíme tedy stejný koeficient pro Nusseltovo číslo a eliminujeme nejistotu ve výpočtových vzorcích. Pro různé provozní režimy a teploty se hodnoty korekčních faktorů mohou měnit, ale pro podobné provozní režimy (normální provoz) se ukazují jako velmi blízké. Například pro daný výměník tepla pro různé režimy se koeficient pohybuje od 0.492 do 0.655

Pokud použijeme koeficient 0.6, pak ve zkoumaných provozních režimech bude chyba výpočtu menší než chyba termočlánku, takže pro řídicí systém bude matematický model výměníku zcela adekvátní reálnému modelu.

Výsledky nastavení modelu výměníku tepla

Pro posouzení kvality přenosu tepla se používá speciální charakteristika - účinnost:

kde:
effhorké – účinnost výměníku tepla pro horké chladivo;
Thoryin – teplota na vstupu do výměníku tepla podél cesty toku horkého chladiva;
Thoryout – teplota na výstupu z jejich výměníku tepla podél cesty toku horkého chladiva;
Thalain – teplota na vstupu do výměníku tepla podél cesty toku studeného chladiva.

Tabulka 3 ukazuje odchylku účinnosti modelu výměníku tepla od experimentálního při různých průtokech podél horkého a studeného potrubí.

Tabulka 3. Chyby ve výpočtu účinnosti přenosu tepla v %

V našem případě lze zvolený koeficient použít ve všech provozních režimech, které nás zajímají. Pokud při malých průtocích, kde je chyba větší, není dosaženo požadované přesnosti, můžeme použít variabilní intenzifikační faktor, který bude závislý na aktuálním průtoku.

Například na obrázku 10 je koeficient zesílení vypočítán pomocí daného vzorce v závislosti na aktuálním průtoku v buňkách kanálu.

Obrázek 10. Variabilní koeficient zesílení přenosu tepla.

Závěry

• Znalost fyzikálních zákonů umožňuje vytvářet dynamické modely objektu pro návrh na základě modelu.
• Model je nutné ověřit a vyladit na základě testovacích dat.
• Nástroje pro vývoj modelu by měly vývojáři umožnit přizpůsobit model na základě výsledků testování objektu.
• Použijte správný modelový přístup a budete šťastní!

Bonus pro ty, kteří dočetli. Video z provozu virtuálního modelu systému SCR.

Průzkumu se mohou zúčastnit pouze registrovaní uživatelé. Přihlásit se, prosím.

O čem bych měl mluvit dál?

• 76,2%Jak dokázat, že program v modelu odpovídá programu v hardwaru.16

• 23,8%Jak používat superpočítačové výpočty pro návrh založený na modelu.5

Hlasovalo 21 uživatelů. 1 uživatel se zdržel hlasování.

Zdroj: www.habr.com