Como conseguín este libro?
En maio de 2017, recibín un correo electrónico do meu antigo profesor do instituto chamado George Rutter no que escribía: "Teño un exemplar do gran libro de Dirac en alemán (Die Prinzipien der Quantenmechanik), que pertenceu a Alan Turing, e despois de ler o teu libro , pareceume evidente que es exactamente a persoa que o necesita" Explicoume que recibiu o libro doutro profesor meu (daquela falecido). , que eu sabía que era amigo de Alan Turing. George rematou a súa carta coa frase: "Se queres este libro, podería regalalo a próxima vez que veñas a Inglaterra».
Un par de anos despois, en marzo de 2019, cheguei de feito a Inglaterra, despois de que fixen reunirme con George para almorzar nun pequeno hotel de Oxford. Comemos, charlamos e agardamos a que a comida se acomodara. Entón foi un bo momento para comentar o libro. George meteu a man no seu maletín e sacou un volume académico típico de mediados de 1900 de deseño bastante modesto.
Abrín a tapa, preguntándome se podería haber algo na parte traseira que dicía: "Propiedade de Alan Turing" ou algo así. Pero, por desgraza, isto resultou non ser o caso. Non obstante, estivo acompañado dunha nota bastante expresiva de catro páxinas de Norman Routledge a George Rutter, escrita en 2002.
Coñecín a Norman Rutledge cando era estudante в a principios dos anos 1970. Era un profesor de matemáticas alcumado "Nutty Norman". Era un profesor agradable en todos os sentidos e contaba infinitas historias sobre matemáticas e todo tipo de cousas interesantes. El foi o responsable de asegurarse de que a escola recibise un ordenador (programado usando cinta perforada para todo o escritorio) - era .
Nese momento, non sabía nada sobre os antecedentes de Norman (lembra que isto foi moito antes de Internet). O único que sabía era que era o "Dr. Rutledge". Contou historias sobre a xente de Cambridge con bastante frecuencia, pero nunca mencionou a Alan Turing nas súas historias. Por suposto, Turing aínda non era moi famoso (aínda que, polo que se ve, xa oín falar del por alguén que o coñecía en (a mansión na que estaba situado o centro de cifrado durante a Segunda Guerra Mundial)).
Alan Turing non se fixo famoso ata 1981, cando eu por primeira vez , aínda que entón aínda no contexto dos autómatas celulares, e non .
Cando de súpeto un día, mentres buscaba un catálogo de fichas na biblioteca , atopeime cun libro , escrito pola súa nai Sarah Turing. O libro contiña moita información, incluíndo os traballos científicos inéditos de Turing sobre bioloxía. Porén, non aprendín nada sobre a súa relación con Norman Routledge, xa que no libro non se mencionou nada sobre el (aínda que, como descubrín, Sarah Turing , e Norman ata acabou escribindo ).
Dez anos despois, moi curioso por Turing e o seu (daquela inédito) , Visitei в . Axiña, familiarizado co que tiñan da obra de Turing, e despois de pasar algún tempo nela, pensei que tamén podería pedir ver a súa correspondencia persoal. Mentres miraba, descubrín de Alan Turing a Norman Routledge.
Nese momento publicouse Andrew Hodges, que fixo tanto para garantir que Turing finalmente se fixera famoso, confirmou que Alan Turing e Norman Routledge eran realmente amigos, e tamén que Turing era o conselleiro científico de Norman. Quería preguntarlle a Routledge sobre Turing, pero para entón Norman xa estaba xubilado e levaba unha vida illada. Non obstante, cando rematei o traballo no libro "” en 2002 (despois dos meus dez anos de reclusión), localiceino e envieille unha copia do libro coa lenda “Ao meu último profesor de matemáticas”. Despois el e eu un pouco , e en 2005 volvín a Inglaterra e fixen un encontro con Norman para tomar o té nun hotel de luxo no centro de Londres.
Tivemos unha boa charla sobre moitas cousas, incluído Alan Turing. Norman comezou a nosa conversa dicíndonos que en realidade coñecía a Turing, sobre todo superficialmente, hai 50 anos. Pero aínda así tiña algo que contar sobre el persoalmente: "Era pouco sociable". "El riu moito". "Realmente non podía falar con non matemáticos". "Sempre tivo medo de molestar á súa nai". "Saíu durante o día e correu unha maratón". "Non era demasiado ambicioso" A conversa volveuse entón á personalidade de Norman. Dixo que aínda que leva 16 anos xubilado, aínda escribe artigos para ""para que, segundo as súas palabras,"remata todos os teus traballos científicos antes de pasar ao outro mundo", onde, segundo engadiu cun leve sorriso, "todas as verdades matemáticas serán definitivamente reveladas" Cando rematou a festa do té, Norman puxo a chaqueta de coiro e dirixiuse cara ao seu ciclomotor, completamente alleo a nese día.
Foi a última vez que vin a Norman; morreu en 2013.
Seis anos despois estaba sentado no almorzo con George Rutter. Tiña comigo unha nota de Rutledge, escrita en 2002 coa súa letra distintiva:
Primeiro repasei a nota. Era expresiva como de costume:
Recibín o libro de Alan Turing do seu amigo e executor (no King's College estaba á orde do día para regalar libros da colección de mortos, e escollín unha colección de poemas dos libros como un agasallo axeitado (era decano e saltou da capela [en 1956])...
Máis tarde, nunha breve nota, escribe:
Preguntas onde debe parar este libro; na miña opinión, debería ir a alguén que aprecie todo o relacionado coa obra de Turing, polo que o seu destino depende de ti.
Stephen Wolfram envioume o seu impresionante libro, pero non me afondei o suficiente nel...
Concluíu felicitando a George Rutter por ter o valor de trasladarse (temporalmente, como resultou) a Australia despois de retirarse, dicindo que el mesmo "xogaría con mudarse a Sri Lanka como exemplo dunha existencia barata e parecida a un loto", pero engadiu que "os feitos que alí acontecen actualmente indican que non debería ter feito isto"(aparentemente significa en Sri Lanka).
Entón, que se agocha no fondo do libro?
Entón, que fixen coa copia do libro alemán escrito por Paul Dirac que pertenceu a Alan Turing? Non leo alemán, pero si en inglés (que é o seu idioma orixinal) edición dos anos 1970. Porén, un día no almorzo pareceume correcto que eu debería repasar coidadosamente o libro páxina por páxina. Despois de todo, esta é unha práctica común cando se trata de libros anticuarios.
Hai que sinalar que me chamou a atención a elegancia da presentación de Dirac. O libro publicouse en 1931, pero o seu puro formalismo (e, si, a pesar da barreira lingüística, podía ler as matemáticas do libro) case o mesmo que se estivese escrito hoxe. (Non quero poñer moito énfase en Dirac aquí, pero o meu amigo díxome que, polo menos na súa opinión, a exposición de Dirac é monosilábica. Norman Rutledge díxome que era amigo de Cambridge , que se converteu nun teórico de grafos. Norman visitaba a casa de Dirac con bastante frecuencia e dixo que o "gran home" ás veces pasaba persoalmente a un segundo plano, mentres que o primeiro sempre estaba cheo de crebacabezas matemáticos. Eu mesmo, por desgraza, nunca coñecín a Paul Dirac, aínda que me dixeron que despois de que finalmente deixou Cambridge para a Florida, perdeu gran parte da súa dureza anterior e converteuse nunha persoa bastante sociable).
Pero volvamos ao libro de Dirac, que pertenceu a Turing. Na páxina 9, notei subliñado e pequenas notas nas marxes, escritas a lapis. Seguín pasando as páxinas. Despois duns capítulos, as notas desapareceron. Pero entón, de súpeto, atopei unha nota adxunta á páxina 127 que dicía:
Escribiuse en alemán con caligrafía alemá estándar. E parece que podería ter algo que ver . Pensei que probablemente alguén fora propietario deste libro antes de Turing, e esta debe ser unha nota escrita por esa persoa.
Seguín folleando o libro. Non había notas. E pensei que non atopaba outra cousa. Pero entón, na páxina 231, descubrín un marcador de marca, co texto impreso:
Acabarei descubrindo algo máis? Seguín folleando o libro. Despois, ao final do libro, na páxina 259, na sección de teoría relativista electrónica, descubrín o seguinte:
Desdobrei este papel:
Inmediatamente decateime do que era mesturado con , pero como acabou aquí esta folla? Lembremos que este libro é un libro sobre mecánica cuántica, pero o folleto que se adjunta trata sobre a lóxica matemática, ou o que agora se chama teoría da computación. Isto é típico dos escritos de Turing. Pregunteime se Turing escribiu persoalmente esta nota?
Incluso durante o almorzo, busquei en Internet exemplos da caligrafía de Turing, pero non atopei exemplos en forma de cálculos, polo que non puiden sacar conclusións sobre a identidade exacta da caligrafía. E logo tivemos que ir. Empaquei o libro con coidado, preparado para revelar o misterio de que páxina era e de quen o escribiu, e leveino comigo.
Sobre o libro
En primeiro lugar, imos falar do propio libro. "» Os campos de Dirac foron publicados en inglés en 1930 e logo foron traducidos ao alemán. (O prefacio de Dirac ten data do 29 de maio de 1930; pertence ao tradutor - - 15 de agosto de 1930.) O libro converteuse nun fito no desenvolvemento da mecánica cuántica, establecendo sistematicamente un formalismo claro para realizar cálculos e, entre outras cousas, explicando a predición de Dirac de , que abrirá en 1932.
Por que Alan Turing tiña un libro en alemán e non en inglés? Non o sei con certeza, pero naqueles tempos o alemán era a lingua principal da ciencia, e sabemos que Alan Turing podía lelo. (Despois de todo, en nome do seu famoso traballar « (Entscheidungsproblem)" era unha palabra alemá moi longa - e na parte principal do artigo opera con símbolos góticos bastante escuros en forma de "letras alemás" que utilizaba en lugar de, por exemplo, símbolos gregos).
Alan Turing comprou este libro el mesmo ou foille regalado? Non sei. Na portada interior do libro de Turing hai unha notación a lapis "20/-", que era a notación estándar para "20 shillings", similar a £1. Na páxina da dereita hai un "26.9.30" borrado, que presumiblemente significa o 26 de setembro de 1930, posiblemente a data na que se comprou o libro por primeira vez. Despois, no extremo dereito, está o número borrado "20". Quizais sexa o prezo de novo. (Pode ser este o prezo en , supoñendo que o libro foi vendido en Alemaña? Naqueles días, 1 Reichsmark valía aproximadamente 1 chelín, o prezo alemán probablemente escribiríase como "RM20", por exemplo.) Finalmente, na contraportada interior hai "c 5/-" - quizais isto, (cunha gran desconto) prezo dun libro usado.
Vexamos as principais datas da vida de Alan Turing. Alan Turing (Coincidentemente, exactamente 76 anos antes ). No outono de 1931 ingresou no King's College de Cambridge. Obtivo o seu título de bacharelato despois dos tres anos estándar de estudo en 1934.
Na década de 1920 e principios dos 1930, a mecánica cuántica era un tema candente, e Alan Turing estaba certamente interesado nela. Polos seus arquivos sabemos que en 1932, nada máis publicar o libro, recibiu "» John von Neumann (on ). Tamén sabemos que en 1935 Turing recibiu un encargo dun físico de Cambridge sobre o tema do estudo da mecánica cuántica. (Fowler suxeriu calcular , que en realidade é un problema moi complexo que require unha análise completa coa teoría de campos cuánticos interactivos, que aínda non está completamente resolto).
E aínda así, cando e como conseguiu Turing a súa copia do libro de Dirac? Dado que o libro ten un prezo marcado, Turing presumiblemente mercouno de segunda man. Quen foi o primeiro propietario do libro? As notas do libro parecen tratar principalmente da estrutura lóxica, sinalando que algunha relación lóxica debería tomarse como un axioma. E entón a nota incluída na páxina 127?
Pois quizais sexa unha coincidencia, pero xusto na páxina 127 - Dirac fala de cuántica e pon as bases para — que é a base de todo formalismo cuántico moderno. Que contén a nota? Contén unha extensión da ecuación 14, que é a ecuación para a evolución temporal da amplitude cuántica. O autor da nota substituíu o Dirac A para a amplitude por ρ, quizais reflectindo así unha notación alemá anterior (analoxía de densidade de fluído). A continuación, o autor tenta ampliar a acción mediante poderes de ℏ (, dividido por 2π, ás veces chamado ).
Pero non parece haber moita información útil que se poida recoller do que hai na páxina. Se sostén a páxina á luz, contén unha pequena sorpresa: unha marca de auga que di "Z f. Física. Chem. B":
Esta é a versión abreviada - unha revista alemá de química física, que comezou a publicarse en 1928. Quizais a nota foi escrita por un editor de revista? Aquí tes un titular dunha revista de 1933. Convenientemente, os editores están listados por localización, e destaca un: "Bourne · Cambridge".
Iso é o que é quen é o autor e moito máis na teoría da mecánica cuántica (así como o avó do cantante ). Entón, esta nota puido ser escrita por Max Born? Pero, por desgraza, non é así, porque a caligrafía non coincide.
E o marcador da páxina 231? Aquí está dende os dous lados:
O marcapáxinas é estraño e bastante bonito. Pero cando se fixo? En Cambridge hai , aínda que agora forma parte de Blackwell. Durante máis de 70 anos (ata 1970), Heffers estivo situado no enderezo, como mostra o marcador, и .
Esta pestana contén unha clave importante: este é o número de teléfono "Tel. 862". Como ocorreu, en 1939 a maioría de Cambridge (incluíndo Heffers) pasou a números de catro díxitos, e certamente en 1940 os marcadores estaban sendo impresos con números de teléfono "modernos". (Os números de teléfono en inglés foron gradualmente máis longos; cando eu estaba crecendo en Inglaterra nos anos 1960, os nosos números de teléfono eran "Oxford 56186" e "Kidmore End 2378". Parte da razón pola que recordo estes números é porque, por estraño que é agora, non parecía que sempre chamase ao meu número cando respondía a unha chamada entrante).
O marcapáxinas foi impreso desta forma ata 1939. Pero canto tempo antes diso? Hai bastantes escaneos de anuncios antigos de Heffers en liña, que se remontan polo menos a 1912 (xunto con "Pedimos que atenda as súas solicitudes...") completan o "Teléfono 862" engadindo "(2 liñas)." Tamén hai algúns marcapáxinas con deseños similares que se poden atopar en libros xa desde 1904 (aínda que non está claro se foron orixinais destes libros (é dicir, impresos ao mesmo tempo). Para os efectos da nosa investigación, parece que pode concluír que Este libro veu de Heffer's (que, por certo, era a principal libraría de Cambridge) nalgún momento entre 1930 e 1939.
Páxina de cálculo lambda
Entón, agora sabemos algo sobre cando se comprou o libro. Pero que pasa coa "páxina de cálculo lambda"? Cando se escribiu isto? Ben, naturalmente, para ese momento o cálculo lambda xa debería estar inventado. E fíxose , matemático de , na súa forma orixinal en 1932 e na súa forma definitiva en 1935. (Houbo traballos de científicos anteriores, pero non usaban a notación λ).
Existe unha conexión complexa entre Alan Turing e o cálculo lambda. En 1935, Turing interesouse pola "mecanización" das operacións matemáticas e inventou a idea dunha máquina de Turing, utilizándoa para resolver problemas de matemáticas fundamentais. Turing enviou un artigo sobre este tema a unha revista francesa (), pero perdeuse no correo; e entón resultou que o destinatario a quen llo enviou non estaba de todos os xeitos, xa que se mudara a China.
Pero en maio de 1936, antes de que Turing puidese enviar o seu artigo a outro lugar, . Turing xa se queixara diso cando desenvolveu a proba en 1934 , entón descubrín que había un matemático noruegués que xa o tiña o ano 1922.
Non é difícil ver que as máquinas de Turing e o cálculo lambda son efectivamente equivalentes nos tipos de cálculos que poden representar (e iso é un comezo ). Non obstante, Turing (e o seu profesor ) estaban convencidos de que o enfoque de Turing era o suficientemente diferente como para merecer a súa propia publicación. En novembro de 1936 (e con erros tipográficos corrixidos ao mes seguinte) en O famoso artigo de Turing foi publicado .
Para cubrir un pouco a cronoloxía: de setembro de 1936 a xullo de 1938 (cunha pausa de tres meses no verán de 1937), Turing estivo en Princeton, tras ir alí co obxectivo de converterse nun estudante graduado da Alonzo Church. Durante este período en Princeton, Turing aparentemente concentrouse enteiramente na lóxica matemática, escribindo varias , - e, moi probablemente, non levaba consigo un libro sobre mecánica cuántica.
Turing volveu a Cambridge en xullo de 1938, pero en setembro dese ano traballaba a tempo parcial en , e un ano despois trasladouse a Bletchley Park co obxectivo de traballar alí a tempo completo en cuestións relacionadas coa criptoanálise. Despois do final da guerra en 1945, Turing trasladouse a Londres para traballar sobre o desenvolvemento dun proxecto para crear . Pasou o ano académico 1947–8 en Cambridge, pero despois trasladouse a Manchester para desenvolverse .
En 1951, Turing comezou a estudar seriamente . (Para min persoalmente, este feito é algo irónico, porque paréceme que Turing sempre creu inconscientemente que os sistemas biolóxicos debían modelarse mediante ecuacións diferenciais, e non por algo discreto como as máquinas de Turing ou os autómatas celulares). Tamén devolveu o seu interese á física, e ata 1954 , Que: "Tentei inventar unha nova mecánica cuántica" (aínda que engadiu: "pero de feito non é un feito que funcione"). Pero, por desgraza, todo chegou a un fin brusco o 7 de xuño de 1954, cando Turing morreu de súpeto. (Supoño que non foi un suicidio, pero esa é outra historia).
Entón, volvamos á páxina de cálculo lambda. Sostémolo á luz e volvamos ver a marca de auga:
Parece ser un anaco de papel de fabricación británica, e paréceme improbable que fose usado en Princeton. Pero podemos datalo con precisión? Ben, non sen algunha axuda , sabemos que o fabricante oficial do papel foi Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londres. Isto pode axudarnos, pero non moito, xa que pódese supoñer que a súa marca de papel Excelsior parece estar incluída nos catálogos de subministracións desde os anos 1890 ata 1954.
Que di esta páxina?
Entón, vexamos máis de cerca o que hai a ambos os dous lados do papel. Imos comezar coas lambdas.
Aquí tes un xeito de determinar , e son un concepto básico na lóxica matemática, e agora na programación funcional. Estas funcións son bastante comúns na lingua , e a súa tarefa é bastante fácil de explicar. Por exemplo, alguén escribe f[x] para indicar unha función f, aplicado ao argumento x. E hai moitas funcións nomeadas f como ou ou . Pero que pasa se alguén quere f[x] foi 2x +1? Non hai un nome directo para esta función. Pero hai outra forma de asignación, f[x]?
A resposta é si: en cambio f estamos escribindo Function[a,2a+1]. E en lingua Wolfram Function [a,2a+1][x] aplica funcións ao argumento x, producindo 2x+1. Function[a,2a+1] é unha función "pura" ou "anónima" que representa a operación pura de multiplicar por 2 e sumar 1.
Entón, λ no cálculo lambda é un análogo exacto no Wolfram Language - e polo tanto, por exemplo, λa.(2 a+1) equivalente Function[a, 2a + 1]. (Paga a pena notar que unha función, por exemplo, Function[b,2b+1] equivalente; "variables vinculadas" a ou b son simplemente substitucións de argumentos de función - e no Wolfram Language pódense evitar utilizando definicións alternativas de función pura (2# +1)&).
Nas matemáticas tradicionais, as funcións adoitan considerarse como obxectos que representan entradas (que tamén son enteiros, por exemplo) e saídas (que tamén son, por exemplo, números enteiros). Pero que tipo de obxecto é este? (ou λ)? Esencialmente, é un operador de estrutura que toma expresións e as converte en funcións. Isto pode parecer un pouco estraño desde a perspectiva das matemáticas tradicionais e da notación matemática, pero se hai que facer unha manipulación de símbolos arbitraria, é moito máis natural, aínda que ao principio pareza un pouco abstracto. (Cómpre ter en conta que cando os usuarios aprenden a linguaxe Wolfram, sempre podo dicir que superaron un certo limiar de pensamento abstracto cando obteñen unha comprensión de ).
As lambdas son só parte do que está presente na páxina. Hai outro concepto, aínda máis abstracto: este . Considere a corda bastante escura PI1IIx? Que podería significar isto? Esencialmente, esta é unha secuencia de combinadores, ou algunha composición abstracta de funcións simbólicas.
A superposición habitual de funcións, bastante familiar en matemáticas, pódese escribir na linguaxe Wolfram como: f[g[x]] - que significa "aplicar" f ao resultado da aplicación g к x" Pero son realmente necesarios os parénteses para iso? En linguaxe Wolfram f@g@ x - unha forma alternativa de gravación. Neste post, confiamos na definición da linguaxe Wolfram: o operador @ está asociado co lado dereito, polo que f@g@x equivalente f@(g@x).
Pero que significará a gravación? (f@g)@x? Isto é equivalente f[g][x]. E se f и g fosen funcións ordinarias en matemáticas, carecería de sentido, pero se f - , Entón f[g] en si pode ser unha función á que ben se lle pode aplicar x.
Teña en conta que aínda hai certa complexidade aquí. EN f[х] - f é unha función dun argumento. E f[х] equivale a escribir Function[a, f[a]][x]. Pero que dicir dunha función con dous argumentos, digamos f[x,y]? Isto pódese escribir como Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Pero e se Function[{a},f[a,b]]? Que é isto? Aquí hai unha "variable libre". b, que simplemente se pasa á función. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] vinculará esta variable e despois Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] dá f[x,y] de novo. (Especificar unha función para que teña un argumento chámase "currying" en honra ao lóxico chamado ).
Se hai variables libres, entón hai moitas complexidades diferentes sobre como se poden definir as funcións, pero se nos restrinximos aos obxectos ou λ, que non teñen variables libres, entón basicamente pódense especificar libremente. Estes obxectos chámanse combinadores.
Os combinadores teñen unha longa historia. Sábese que foron propostos por primeira vez en 1920 por un estudante - .
Daquela, foi só moi recentemente cando se descubriu que non había necesidade de utilizar as expresións , и para representar expresións en lóxica proposicional estándar: abondaba con empregar un único operador, que agora chamaremos (porque, por exemplo, se escribes como · entón Or[a,b] tomará a forma ). Schoenfinkel quería atopar a mesma representación mínima da lóxica de predicados ou, esencialmente, a lóxica incluíndo funcións.
Ocorréuselle dous "combinadores" S e K. En Wolfram Language isto escribirase como
K[x_][y_] → x e S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
É destacable que resultou posible utilizar estes dous combinadores para realizar calquera cálculo. Por exemplo,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
pódese usar como función para sumar dous números enteiros.
Estes son todos obxectos bastante abstractos para dicir o mínimo, pero agora que entendemos o que son as máquinas de Turing e o cálculo lambda, podemos ver que os combinadores de Schoenfinkel realmente anticiparon o concepto de computación universal. (E o que é aínda máis notable é que as definicións de 1920 de S e K son mínimamente simples, e lembran a , que propuxen nos anos 1990, cuxa versatilidade foi ).
Pero volvamos á nosa folla e liña PI1IIx. Os símbolos aquí escritos son combinadores, e todos están deseñados para especificar unha función. Aquí a definición é que a superposición de funcións debe quedar asociativa, de xeito que fgx non debe interpretarse como f@g@x ou f@(g@x) ou f[g[x]], senón como (f@g)@x ou f[g][x]. Imos traducir esta entrada a un formulario conveniente para o seu uso polo Wolfram Language: PI1IIx tomará a forma p[i][un][i][i][x].
Por que escribir algo así? Para explicalo, temos que discutir o concepto de números da Igrexa (nomeado así pola Igrexa de Alonzo). Digamos que só estamos a traballar con símbolos e lambdas ou combinadores. Hai algunha forma de usalos para especificar números enteiros?
Que tal só dicimos que o número n corresponde a Function[x, Nest[f,x,n]]? Ou, noutras palabras, que (en notación máis breve):
1 é f[#]&
2 é f[f[#]]&
3 é f[f[f[#]]]& e así por diante.
Todo isto pode parecer un pouco máis escuro, pero a razón pola que é interesante é que nos permite facer todo completamente simbólico e abstracto, sen ter que falar explícitamente de algo así como de números enteiros.
Con este método de especificación de números, imaxine, por exemplo, engadindo dous números: 3 pódese representar como f[f[f[#]]]& e 2 é f[f[#]]&. Podes sumalos simplemente aplicando un deles ao outro:
Pero cal é o obxecto? f? Pode ser calquera cousa! En certo sentido, "ir a lambda" todo o camiño e representar números usando funcións que toman f como argumento. Noutras palabras, representemos 3, por exemplo, como Function[f,f[f[f[#]]] &] ou Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (Cando e como cómpre nomear as variables é o problema no cálculo lambda).
Considere un fragmento do artigo de Turing de 1937 , que configura os obxectos exactamente como acabamos de comentar:
Aquí é onde a gravación pode resultar un pouco confusa. x Turing é noso f, E o seu x’ (o mecanógrafo cometeu un erro ao inserir un espazo) - este é o noso x. Pero aquí úsase exactamente o mesmo enfoque.
Entón, vexamos a liña xusto despois do dobrado na parte frontal do papel. Isto I1IIYI1IIx. Segundo a notación Wolfram Language, isto sería i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Pero aquí está i a función de identidade, entón i[one] simplemente amosa un. Mentres tanto, un é a representación numérica de Church para 1 ou Function[f,f[#]&]. Pero con esta definición one[а] está facendo a[#]& и one[a][b] está facendo a[b]. (Por certo, i[а][b]Ou Identity[а][b] tamén é а[b]).
Estará moito máis claro se anotamos as regras de substitución para i и un, en lugar de aplicar directamente o cálculo lambda. O resultado será o mesmo. Aplicando estas regras de forma explícita, obtemos:
E isto é exactamente o mesmo que se presenta na primeira entrada abreviada:
Vexamos agora de novo a folla, na súa parte superior:
Aquí hai algúns obxectos "E" e "D" bastante confusos e confusos, pero con estes queremos dicir "P" e "Q", polo que podemos escribir a expresión e avaliala (nótese que aquí, despois dunha certa confusión co último símbolo - o "científico misterioso" pon […] e (...) para representar a aplicación da función):
Polo tanto, esta é a primeira abreviatura que se mostra. Para ver máis, conectemos as definicións de Q:
Obtemos exactamente a seguinte redución mostrada. Que pasa se substituímos expresións por P?
Velaquí o resultado:
E agora, usando o feito de que i é unha función que produce o propio argumento, obtemos:
Oooops! Pero esta non é a seguinte liña gravada. Hai algún erro aquí? Escuro. Porque, despois de todo, a diferenza da maioría dos outros casos, non hai ningunha frecha que indique que a seguinte liña segue da anterior.
Aquí hai un pouco de misterio, pero imos ao final da folla:
Aquí 2 é o número da Igrexa, determinado, por exemplo, polo patrón two[a_] [b_] → a[a[b]]. Teña en conta que esta é realmente a forma da segunda liña se a se considera como Function[r,r[р]] и b como q. Polo tanto, esperamos que o resultado do cálculo sexa o seguinte:
Porén, a expresión dentro а[b] pódese escribir como x (probablemente diferente da x escrita anteriormente no papel) - ao final obtemos o resultado final:
Entón, podemos descifrar pouco do que está a suceder neste anaco de papel, pero polo menos un misterio que aínda queda é o que se supón que é Y.
De feito, na lóxica combinatoria existe un combinador Y estándar: o chamado . Formalmente, defínese polo feito de que Y[f] deben ser iguais f[Y[f]] ou, noutras palabras, que Y[f] non cambia cando se aplica f, polo que é un punto fixo para f. (O combinador Y está asociado con #0 en Wolfram Language).
Actualmente, o combinador Y fíxose famoso grazas a , así chamado (que leva moito tempo sendo fan и e implementou a primeira tenda web baseada nesta linguaxe). Unha vez díxome persoalmente "ninguén entende o que é un combinador Y" (Hai que ter en conta que Y Combinator é exactamente o que permite ás empresas evitar transaccións de punto fixo...)
O combinador Y (como combinador de punto fixo) foi inventado varias veces. Turing en realidade veu cunha implementación do mesmo en 1937, que chamou Θ. Pero é a letra "Y" da nosa páxina o famoso combinador de punto fixo? Quizais non. Entón, cal é a nosa "Y"? Considere esta abreviatura:
Pero esta información claramente non é suficiente para determinar inequívocamente o que é Y. Está claro que Y non opera só cun argumento; Parece que hai polo menos dous argumentos implicados, pero non está claro (polo menos para min) cantos argumentos leva como entrada e o que fai.
Finalmente, aínda que podemos dar sentido a moitas partes do traballo, debemos dicir que a escala global non está claro o que se fixo sobre el. Aínda que hai moitas explicacións sobre o que hai na folla aquí, é bastante básico no cálculo lambda e no uso de combinadores.
Presumiblemente este é un intento de crear un "programa" sinxelo, usando cálculo lambda e combinadores para facer algo. Pero por máis que isto sexa típico da enxeñaría inversa, é difícil para nós dicir cal debe ser ese "algo" e cal é o obxectivo xeral "explicable".
Hai unha característica máis presentada na folla que paga a pena comentar aquí: o uso de diferentes tipos de parénteses. As matemáticas tradicionais usan principalmente parénteses para todo - e aplicacións de funcións (como en f (x)), e agrupacións de membros (como en (1+x) (1-x)ou, menos obviamente, a(1-x)). (No Wolfram Language, separamos os diferentes usos dos parénteses, entre corchetes para definir funcións f [x] - e as parénteses úsanse só para agrupar).
Cando apareceu por primeira vez o cálculo lambda, había moitas preguntas sobre o uso das parénteses. Alan Turing escribiría máis tarde unha obra completa (inédita) titulada”, pero xa en 1937 sentiu que necesitaba describir as definicións modernas (máis ben hackers) para o cálculo lambda (que, por certo, apareceu por mor da Igrexa).
El dixo iso f, aplicado a g, debe escribirse {f}(g), Só f non é o único personaxe, neste caso podería ser f(g). Entón dixo lambda (como en Function[a, b]) debe escribirse como λ a[b] ou, alternativamente, λ a.b.
Non obstante, quizais en 1940 toda a idea de usar {...} e […] para representar diferentes obxectos fora abandonada, en gran parte a favor dos parénteses de estilo matemático estándar.
Bótalle un ollo á parte superior da páxina:
Nesta forma é difícil de entender. Nas definicións de Church, os corchetes están destinados a agrupar, cun corchete aberto que substitúe o punto. Usando esta definición, queda claro que a Q (eventualmente etiquetada como D) entre parénteses ao final é ao que se aplica toda a lambda inicial.
O corchete aquí non delimita realmente o corpo da lambda; en cambio, en realidade representa outro uso da función e non hai ningunha indicación explícita de onde remata o corpo da lambda. Ao final, pódese ver que o "científico misterioso" cambiou o corchete de peche por un corchete redondo, aplicando así de forma efectiva a definición de Church, e forzando así a calcular a expresión como se mostra na folla.
Entón, que significa este pequeno anaco de todos os xeitos? Creo que isto suxire que a páxina foi escrita nos anos 1930, ou non moito tempo despois, xa que as convencións para as parénteses aínda non se estableceron ata ese momento.
Entón, de quen era esta caligrafía?
Entón, antes disto falamos do que está escrito na páxina. Pero e quen o escribiu realmente?
O candidato máis obvio para este papel sería o propio Alan Turing, xa que, ao cabo, a páxina estaba dentro do seu libro. En termos de contido, parece que non hai nada incompatible coa idea de que Alan Turing puidera escribilo, mesmo cando se familiarizaba co cálculo lambda despois de recibir o documento de Church a principios de 1936.
E a caligrafía? Pertence a Alan Turing? Vexamos algúns exemplos supervivientes que sabemos con certeza que foron escritos por Alan Turing:
O texto presentado obviamente ten un aspecto moi diferente, pero que pasa coa notación utilizada no texto? Polo menos, na miña opinión, non parece tan obvio - e pódese supoñer que calquera diferenza pode ser causada precisamente polo feito de que as mostras existentes (presentadas nos arquivos) están escritas, por así dicir, "en superficie". , mentres que a nosa a páxina é precisamente un reflexo do traballo do pensamento.
Resultou conveniente para a nosa investigación que o arquivo de Turing conteña unha páxina na que escribiu , necesario para a notación. E ao comparar estes símbolos letra por letra, parécense bastante a min (estas notas fixéronse en Turing cando estudaba , de aí a etiqueta "área da folla"):
Quería explorar isto máis, así que enviei mostras , un experto profesional en caligrafía (e autor de problemas baseados na caligrafía) a quen tiven o pracer de coñecer unha vez, simplemente presentando o noso traballo como "Mostra 'A'" e unha mostra existente da caligrafía de Turing como "Mostra 'B'". A súa resposta foi definitiva e negativa: "O estilo de escritura é completamente diferente. En termos de personalidade, o autor da mostra "B" ten un estilo de pensamento máis rápido e intuitivo que o autor da mostra "A".».
Aínda non estaba completamente convencido, pero decidín que era hora de mirar outras opcións.
Entón, se resulta que Turing non o escribiu, entón quen o fixo? Norman Routledge díxome que recibiu o libro de Robin Gandy, que era o executor de Turing. Entón enviei "Sample "C"" de Gandhi:
Pero a conclusión inicial de Sheila foi que as tres mostras probablemente foron escritas por tres persoas diferentes, unha vez máis sinalando que a mostra "B" procedía de "o pensador máis rápido: aquel que probablemente estea máis disposto a buscar solucións pouco habituais aos problemas" (Paréceme refrescante que un experto en caligrafía moderna faga esta valoración da caligrafía de Turing, dado o que todos se queixaron da súa caligrafía nos traballos escolares de Turing nos anos 1920).
Ben, a estas alturas parecía que tanto Turing como Gandhi foran descartados como "sospeitosos". Entón, quen puido escribir isto? Comecei a pensar nas persoas ás que Turing lles puido prestar o seu libro. Por suposto, tamén deben poder facer cálculos mediante o cálculo lambda.
Supuxín que a persoa debía ser de Cambridge, ou polo menos de Inglaterra, dada a marca de auga do papel. Tomei como hipótese de traballo que 1936 ou así era un bo momento para escribir isto. Entón, con quen coñecía e se comunicaba Turing nese momento? Para este período de tempo, obtivemos unha lista de todos os estudantes e profesores de matemáticas do King's College. (Había 13 estudantes coñecidos que estudaron de 1930 a 1936.)
E deles, o candidato máis prometedor parecía . Tiña a mesma idade que Turing, o seu amigo de sempre, e tamén estaba interesado nas matemáticas básicas; en 1933 mesmo publicou un artigo sobre o que hoxe chamamos. : 0.12345678910111213… (obtido por 1, 2, 3, 4,..., 8, 9, 10, 11, 12,... e un dos poucos números no sentido de que cada posible bloque de díxitos ocorre con igual probabilidade).
En 1937, mesmo utilizou as matrices gamma de Dirac, como se menciona no libro de Dirac, para resolver . (Como acontece, anos máis tarde convertínme nun gran fan dos cálculos de matriz gamma).
Despois de comezar a estudar matemáticas, Champernowne quedou baixo a influencia (tamén no King's College) e finalmente converteuse nun distinguido economista, especialmente traballando sobre a desigualdade de ingresos. (Non obstante, en 1948 tamén traballou con Turing para crear - un programa de xadrez, que se converteu practicamente no primeiro do mundo en implementarse nun ordenador).
Pero onde podería atopar unha mostra da caligrafía de Champernowne? Pronto atopei o seu fillo Arthur Champernowne en LinkedIn, quen, curiosamente, era licenciado en lóxica matemática e traballaba para Microsoft. Dixo que o seu pai faloulle bastante sobre o traballo de Turing, aínda que non mencionou os combinadores. Envioume unha mostra da caligrafía do seu pai (un fragmento sobre composición musical algorítmica):
Pódese dicir inmediatamente que as caligrafías non coincidían (rizos e colas nas letras f da caligrafía de Champernowne, etc.)
Entón, quen máis podería ser? Sempre admirei , en moitos sentidos un mentor de Alan Turing. Newman interesou por primeira vez a Turing "mecanización das matemáticas" foi o seu amigo de moito tempo, e anos máis tarde converteuse no seu xefe nun proxecto informático en Manchester. (A pesar do seu interese polos cálculos, Newman sempre semella ter visto a si mesmo principalmente como un topólogo, aínda que as súas conclusións foron apoiadas por unha proba errónea que derivou de ).
Non foi difícil atopar unha mostra da caligrafía de Newman e, de novo, non, definitivamente as caligrafías non coincidían.
"Rastro" do libro
Entón, a idea de identificar a caligrafía fallou. E decidín que o seguinte paso a dar era tratar de rastrexar cun pouco máis de detalle o que realmente estaba a suceder co libro que tiña nas mans.
Entón, en primeiro lugar, cal foi a historia máis longa con Norman Rutledge? Asistiu ao King's College de Cambridge en 1946 e coñeceu a Turing (si, ambos eran gays). Graduouse na universidade en 1949, despois comezou a escribir a súa tese de doutoramento con Turing como asesor. Doutorouse en 1954, traballando en lóxica matemática e teoría da recursividade. Recibiu unha bolsa persoal para o King's College, e en 1957 chegou a ser xefe do departamento de matemáticas alí. Podería facelo toda a súa vida, pero tiña intereses amplos (música, arte, arquitectura, matemáticas recreativas, xenealoxía, etc.). En 1960 cambiou a súa dirección académica e converteuse en profesor en Eton, onde xeracións de estudantes (incluído eu) traballaron (e estudaron) e foron expostos aos seus coñecementos eclécticos e ás veces mesmo estraños.
Podería Norman Routledge escribir el mesmo esta misteriosa páxina? Coñecía o cálculo lambda (aínda que, casualmente, comentouno cando tomabamos o té en 2005 que sempre lle pareceu "confuso"). Non obstante, a súa letra característica exclúeo inmediatamente como un posible "científico misterioso".
Podería estar a páxina relacionada dalgún xeito cun estudante de Norman, quizais de cando aínda estaba en Cambridge? Dubido. Porque creo que Norman nunca estudou cálculo lambda nin nada parecido. Mentres escribía este artigo, descubrín que Norman escribira un artigo en 1955 sobre a creación de lóxica en "computadoras electrónicas" (e a creación de formas normais conxuntivas, como fai agora a función integrada). ). Cando coñecín a Norman, estaba moi interesado en escribir utilidades para ordenadores reais (as súas iniciais eran "NAR", e chamou aos seus programas "NAR...", por exemplo, "NARLAB", un programa para crear etiquetas de texto usando perforadas. burato "patróns" "en cinta de papel). Pero nunca falou de modelos teóricos de computación.
Leamos un pouco máis de preto a nota de Norman dentro do libro. O primeiro que notaremos é que fala de "ofrecendo libros da biblioteca da persoa falecida" E pola redacción parece que todo aconteceu con bastante rapidez despois da morte do home, o que suxire que Norman recibiu o libro pouco despois de que Turing morrese en 1954, e que Gandhi o botaba de menos durante moito tempo. Norman continúa dicindo que en realidade recibiu catro libros, dous sobre matemáticas puras e dous sobre física teórica.
Entón dixo que deu "outro dun libro de física (como, )»«A Sebag Montefiore, un mozo agradable que pode lembrar [George Rutter]" Vale, entón quen é? Destei a miña lista de membros que raramente usaba . (Debo informar que ao abrilo non puiden deixar de observar as súas regras desde 1902, a primeira das cales, baixo o título "Dereitos dos membros", soaba graciosa: "Vístete coas cores da Asociación").
Hai que engadir que probablemente nunca me tivese unido a esta sociedade nin recibín este libro se non fora polo impulso dun amigo de Eton chamado , que levaba planeando dende os 12 anos para converterse un día en primeiro ministro, pero lamentablemente morreu aos 21 anos).
Pero, en todo caso, só eran cinco as persoas que figuraban co apelido Sebag-Montefiore, cunha ampla gama de datas de formación. Non foi difícil entender que era axeitado . Pequeno mundo, segundo se ve, a súa familia posuía Bletchley Park antes de vendelo ao goberno británico en 1938. E en 2000, escribiu Sebag-Montefiore - É por iso, con toda probabilidade, polo que en 2002 Norman decidiu regalarlle o libro que posuía Turing.
Vale, que pasa cos outros libros que Norman obtivo de Turing? Non tendo outro xeito de saber o que lles pasou, pedín unha copia do testamento de Norman. A última cláusula do testamento foi claramente ao estilo de Norman:
O testamento indicaba que os libros de Norman debían deixarse no King's College. E aínda que a súa colección completa de libros parece non atoparse por ningures, os dous libros de Turing sobre matemáticas puras, que mencionou na súa nota, están agora debidamente arquivados na Biblioteca do King's College.
seguinte pregunta: que pasou cos outros libros de Turing? Observei o testamento de Turing, que resultou deixar todos a Robin Gandy.
Gandhi era un estudante de matemáticas no King's College de Cambridge, que se fixo amigo de Alan Turing no seu último ano universitario en 1940. Ao comezo da guerra, Gandhi traballou na radio e no radar, pero en 1944 foi asignado á mesma unidade que Turing e traballou no cifrado da voz. E despois da guerra, Gandhi volveu a Cambridge, logo de doutorarse, e Turing converteuse no seu conselleiro.
O seu traballo no exército, ao parecer, levouno a interesarse pola física, e a súa tese, rematada en 1952, titulouse . O que Gandhi parecía tentar facer quizais era caracterizar as teorías físicas en termos de lóxica matemática. El fala и , pero non sobre as máquinas de Turing. E polo que sabemos agora, creo que podemos concluír que perdeu o punto. E de feito, defendeu desde principios dos anos 1980 que os procesos físicos deberían ser considerados como "varias cálculos" -por exemplo, como máquinas de Turing ou autómatas celulares- máis que como teoremas a deducir. (Gandhi discute moi ben a orde dos tipos implicados nas teorías físicas, dicindo, por exemplo, que "Creo que a orde de calquera número decimal computable en forma binaria é menor que oito"). El dixo que "Unha das razóns polas que a teoría cuántica de campos moderna é tan complexa é só porque trata con obxectos dun tipo bastante complexo: funcionais de funcións...", o que finalmente significa que "ben poderiamos tomar o maior tipo de uso común como medida do progreso matemático".)
Gandhi menciona a Turing varias veces na disertación, sinalando na introdución que está en débeda con A. M. Turing, quen "primeiro chamou a súa atención un tanto desenfocada sobre o cálculo da Igrexa” (é dicir, cálculo lambda), aínda que de feito a súa tese ten varias probas lambda.
Despois de defender a súa tese, Gandhi recorreu a unha lóxica matemática máis pura e durante máis de tres décadas escribiu artigos a razón de un ao ano, e estes artigos foron citados con bastante éxito na comunidade de lóxica matemática internacional. Trasladouse a Oxford en 1969 e creo que debín coñecelo na miña mocidade, aínda que non teño memoria del.
Gandhi aparentemente idolatraba moito a Turing e falou a miúdo del nos últimos anos. Isto suscita a cuestión da colección completa das obras de Turing. Pouco despois da morte de Turing, Sarah Turing e Max Newman pediron a Gandhi -como o seu executor- que organizase a publicación das obras inéditas de Turing. Pasaron os anos e reflectir a frustración de Sarah Turing por este tema. Pero, dalgún xeito, Gandhi nunca parecía ter planeado xuntar os papeis de Turing.
Gandhi morreu en 1995 sen reunir as obras rematadas. - crítico literario e biógrafo , a quen Turing coñeceu no King's College, era o axente literario de Turing, e finalmente comezou a traballar nas obras recollidas de Turing. O máis controvertido parecía ser o volume sobre lóxica matemática, polo que atraeu ao seu primeiro estudante serio de posgrao, Robin Gandy, un certo , que atopou cartas a Gandhi sobre obras recollidas que levaban 24 anos sen comezar. ( apareceron finalmente en 2001 - 45 anos despois do seu lanzamento).
Pero que pasa cos libros que Turing posuía persoalmente? Continuando intentando rastrexalos, a miña seguinte parada foi a familia Turing, e en particular o fillo menor do irmán de Turing, (que en realidade é Sir Dermot Turing, debido ao feito de que o era , este título non lle pasou por Alan na familia Turing). Dermot Turing (que escribiu recentemente ) falábame sobre "a avoa de Turing" (tamén coñecida como Sarah Turing), a súa casa aparentemente compartía a entrada do xardín coa súa familia e moitas outras cousas sobre Alan Turing. Díxome que os libros persoais de Alan Turing nunca estiveran na súa familia.
Entón volvín a ler os testamentos e descubrín que o executor de Gandhi era o seu alumno Mike Yates. Souben que Mike Yates xubilouse como profesor hai 30 anos e agora vive no norte de Gales. Dixo que nas décadas nas que traballou en lóxica matemática e teoría computacional, nunca tocou realmente un ordenador, pero finalmente fíxoo cando se xubilou (e, isto aconteceu, pouco despois de descubrir o programa). ). Dixo o marabilloso que era que Turing se fixera tan famoso, e que cando chegou a Manchester só tres anos despois da morte de Turing, ninguén falaba de Turing, nin sequera Max Newman cando impartiu un curso de lóxica. Porén, Gandy falaría máis tarde do moito que se entusiasmaba ao tratar a colección de obras de Turing e, finalmente, deixoullas todas a Mike.
Que sabía Mike dos libros de Turing? Atopou un dos cadernos manuscritos de Turing, que Gandhi non regalou ao King's College porque (estrañamente) Gandhi utilizouno como disfraz para as notas que gardaba sobre os seus soños. (Turing tamén gardou notas dos seus soños, que foron destruídos despois da súa morte.) Mike dixo que o caderno foi recentemente vendido nunha poxa por preto de 1 millón de dólares. E que doutro xeito non pensaría que entre as cousas de Gandhi había materiais de Turing.
Parecía que todas as nosas opcións se agotaran, pero Mike pediume que mirara aquel misterioso anaco de papel. E inmediatamente dixo: "Esta é a caligrafía de Robin Gandy!» Dixo que vira tantas cousas ao longo dos anos. E estaba seguro. Dixo que non sabía moito sobre cálculo lambda e que realmente non podía ler a páxina, pero estaba seguro de que Robin Gandy a escribira.
Volvemos á nosa experta en caligrafía con máis mostras e ela aceptou que si, o que había coincidía coa caligrafía de Gandhi. Así que finalmente decatámolo: Robin Gandy escribiu ese misterioso anaco de papel. Non foi escrito por Alan Turing; foi escrito polo seu alumno Robin Gandy.
Por suposto, aínda quedan algúns misterios. Turing supostamente prestou o libro a Gandhi, pero cando? A forma da notación do cálculo lambda fai que pareza que foi ao redor dos anos 1930. Pero baseándose nos comentarios sobre a tese de Gandhi, probablemente non faría nada co cálculo lambda ata finais da década de 1940. Xorde entón a pregunta por que Gandhi escribiu isto. Isto non parece estar directamente relacionado coa súa tese, polo que puido ser cando intentou descubrir o cálculo lambda.
Dubido que algún día saibamos a verdade, pero seguro que foi divertido tentar descubrilo. Aquí debo dicir que toda esta viaxe fixo moito para ampliar a miña comprensión do complexo que poden ser as historias de libros semellantes dos séculos pasados, que, en particular, son propietarios. Isto faime pensar que mellor me aseguro de mirar todas as súas páxinas, só para ver o que pode ser interesante alí...
Grazas pola axuda a: Jonathan Gorard (Estudos Privados de Cambridge), Dana Scott (Lóxica Matemática) e Matthew Szudzik (Lóxica Matemática).
Sobre a traduciónTradución da publicación de Stephen Wolfram "«.
Expreso o meu profundo agradecemento и para asistencia na tradución e preparación da publicación.
Queres aprender a programar no Wolfram Language?
Ver semanalmente .
... Listo .
sobre Wolfram Language.
Fonte: www.habr.com