Hoe ben ik aan dit boek gekomen?
In mei 2017 ontving ik een e-mail van een oude middelbare school leraar van mij, genaamd George Rutter, die schreef: "Ik heb een exemplaar van Diracs grote boek in het Duits (Die Prinzipien der Quantenmechanik), dat toebehoorde aan Alan Turing, en nadat ik uw boek heb gelezen Het leek mij duidelijk dat jij de persoon was die ze nodig hadHij legde mij uit dat hij het boek van een andere (inmiddels overleden) leraar van mij had gekregen. , van wie ik wist dat hij een vriend van Alan Turing was. George eindigde zijn brief met de zin: "Als je dit boek wilt hebben, kan ik het je geven de volgende keer dat je naar Engeland komt..
Een paar jaar later, in maart 2019, kwam ik daadwerkelijk aan in Engeland en sprak ik af met George voor het ontbijt in een klein hotel in Oxford. We aten, praatten en wachtten tot het eten bezonken was. Toen kwam het geschikte moment om het boek te bespreken. George greep in zijn aktetas en haalde er een vrij bescheiden vormgegeven, typisch academisch boek uit het midden van de twintigste eeuw uit.
Ik opende de omslag en vroeg me af of er misschien een inscriptie op de achterkant stond: "Het eigendom van Alan Turing of zoiets. Maar helaas was dat niet het geval. Wel ging er een veelzeggende brief van vier pagina's van Norman Rutledge aan George Rutter bij, geschreven in 2002.
Ik kende Norman Rutledge al toen ik nog student was. в begin jaren zeventig. Hij was een wiskundeleraar met de bijnaam "Nutty Norman". Hij was in alle opzichten een prettige leraar en vertelde eindeloos veel verhalen over wiskunde en andere interessante dingen. Hij was verantwoordelijk voor de aanschaf van een computer voor de school (programmeerbaar met ponsband ter breedte van een bureau) - het was .
Destijds wist ik niets van Normans achtergrond (bedenk dat dit lang voor het internet was). Ik wist alleen dat hij "Dr. Rutledge" was. Hij vertelde vaak verhalen over mensen uit Cambridge, maar in zijn verhalen noemde hij Alan Turing nooit. Natuurlijk was Turing toen niet erg beroemd (hoewel ik, zo bleek, wel over hem had gehoord van iemand die hem kende in (een landhuis dat tijdens de Tweede Wereldoorlog als codeercentrum fungeerde)).
Alan Turing werd pas beroemd in 1981, toen ik voor het eerst , hoewel toen nog in de context van cellulaire automaten, en niet .
Toen ik op een dag door de kaartenbak in de bibliotheek bladerde, Ik kwam een boek tegen , geschreven door zijn moeder, Sarah Turing. Het boek stond vol met informatie, waaronder Turings ongepubliceerde wetenschappelijke artikelen over biologie. Ik kwam echter niets te weten over zijn relatie met Norman Rutledge, aangezien het boek hem niet vermeldde (hoewel, zoals ik ontdekte, Sarah Turing , en Norman schreef uiteindelijk zelfs ).
Tien jaar later, met extreme nieuwsgierigheid naar Turing en zijn (toen nog niet gepubliceerde) , ik bezocht в . Al snel, nadat ik me had verdiept in wat ze van Turings werk hadden, en er enige tijd aan had besteed, dacht ik dat ik net zo goed kon vragen om zijn persoonlijke correspondentie in te zien. Toen ik het doorkeek, vond ik van Alan Turing tot Norman Routledge.
Tegen die tijd was het al op de wereld verschenen Andrew Hodges, die zoveel heeft gedaan om Turing beroemd te maken, bevestigde dat Alan Turing en Norman Routledge inderdaad vrienden waren, en dat Turing Normans wetenschappelijk adviseur was geweest. Ik wilde Routledge vragen stellen over Turing, maar Norman was toen al gepensioneerd en leefde een eenzaam leven. Desondanks, toen ik klaar was met schrijven ""In 2002 (na mijn tien jaar durende afzondering) heb ik hem opgespoord en hem een exemplaar van het boek gestuurd met de inscriptie 'Aan mijn laatste wiskundeleraar'. Toen hadden we een kort gesprekje en in 2005 kwam ik terug naar Engeland en sprak ik af om met Norman thee te gaan drinken in een luxehotel in het centrum van Londen.
We hadden een leuk gesprek over veel dingen, waaronder Alan Turing. Norman begon ons gesprek door te vertellen dat hij Turing inderdaad 50 jaar geleden had gekend, grotendeels oppervlakkig. Maar hij had persoonlijk nog veel over hem te zeggen: "Hij was niet sociaal.. "Hij giechelde veel.. "Met niet-wiskundigen kon hij eigenlijk niet praten.. "Hij was altijd bang om zijn moeder van streek te maken.. "Overdag ging hij op pad om een marathon te rennen.. "Hij was niet zo ambitieus.Toen kwam het gesprek op Norman zelf. Hij zei dat hij, hoewel hij al zestien jaar met pensioen was, nog steeds artikelen schreef voor ""zodat, in zijn woorden, "Maak al je wetenschappelijke werk af voordat je naar de volgende wereld gaat", waar, zoals hij er met een nauwelijks merkbare glimlach aan toevoegde, "alle wiskundige waarheden zullen zeker onthuld wordenToen het theekransje voorbij was, trok Norman zijn leren jas aan en liep naar zijn brommer, zich totaal niet bewust van de die dag.
Dat was de laatste keer dat ik Norman zag, hij stierf in 2013.
Zes jaar later zat ik aan het ontbijt met George Rutter. Ik had een briefje van Routledge bij me, geschreven in 2002 in zijn kenmerkende handschrift:
Eerst las ik het briefje vluchtig door. Het was zoals gewoonlijk expressief:
Ik ontving het boek van Alan Turing van zijn vriend en executeur (Het was gebruikelijk op King's College om boeken uit de collectie van overleden collega's weg te geven, en ik koos een bundel gedichten uit boeken als een passend geschenk (hij was deken en sprong van de kapel [in 1956])…
Later schrijft hij in een korte notitie:
U vraagt zich af waar dit boek uiteindelijk terecht moet komen. Wat mij betreft moet het terechtkomen bij iemand die alles wat met Turings werk te maken heeft, op waarde weet te schatten. Het lot ervan is dus aan u.
Stephen Wolfram stuurde me zijn indrukwekkende boek, maar ik heb me er niet diep genoeg in verdiept...
Hij sloot af met de felicitaties aan George Rutter voor zijn moed om (tijdelijk, zo bleek) na zijn pensioen naar Australië te verhuizen, en zei dat hij zelf "Ik zou willen spelen dat verhuizen naar Sri Lanka een voorbeeld is van een goedkoop en lotusachtig bestaan", maar voegde eraan toe dat "de gebeurtenissen die daar nu plaatsvinden, geven aan dat hij het niet had moeten doen"(blijkbaar betekent (in Sri Lanka).
Wat bevindt zich dan in de diepten van het boek?
Dus wat deed ik met een exemplaar van een Duits boek geschreven door Paul Dirac, dat ooit van Alan Turing was? Ik lees geen Duits, maar ik heb... in het Engels (de oorspronkelijke taal) uit een editie uit de jaren 1970. Op een dag, tijdens het ontbijt, leek het me echter wel verstandig om het boek pagina voor pagina door te nemen. Dit is immers de gangbare praktijk bij antiquarische boeken.
Ik moet zeggen dat ik onder de indruk was van de elegantie van Diracs presentatie. Het boek werd gepubliceerd in 1931, maar het pure formalisme (en ja, ondanks de taalbarrière kon ik de wiskunde die erin werd gepresenteerd lezen) is bijna hetzelfde alsof het vandaag geschreven was. (Ik wil hier niet te veel nadruk leggen op Dirac, maar mijn vriend vertelde me dat, in ieder geval naar zijn mening, Diracs uiteenzetting monosyllabisch was. Norman Routledge vertelde me dat hij in Cambridge bevriend was geweest met , die grafentheoreticus werd. Norman kwam regelmatig bij Dirac over de vloer en meldde dat de "grote man" soms wat op de achtergrond leek te raken door de vele wiskundige puzzels die altijd op de voorgrond stonden. Helaas heb ik Paul Dirac zelf nooit ontmoet, hoewel mij is verteld dat hij, nadat hij Cambridge uiteindelijk voor Florida had verlaten, veel van zijn vroegere doorzettingsvermogen verloor en een behoorlijk sociaal persoon werd.
Maar terug naar Diracs boek, dat van Turing was. Op pagina 9 zag ik onderstrepingen en kleine aantekeningen in de kantlijn, geschreven met potlood. Ik bleef maar doorbladeren. Na een paar hoofdstukken verdwenen de aantekeningen. Maar toen, plotseling, vond ik een notitie verstopt op pagina 127, die luidde:
Het was in het Duits geschreven, in standaard Duits handschrift. En het leek erop dat het iets te maken kon hebben met Ik dacht dat iemand dit boek misschien al vóór Turing in zijn bezit had gehad en dat dit een aantekening van die persoon moest zijn.
Ik bladerde verder door het boek. De aantekeningen ontbraken. En ik dacht dat ik niets anders kon vinden. Maar toen, op pagina 231, vond ik een bladwijzer met een merknaam erop – met gedrukte tekst:
Zou ik uiteindelijk nog iets anders ontdekken? Ik bleef door het boek bladeren. Toen, aan het einde van het boek, op pagina 259, in het gedeelte over de relativistische theorie van elektronen, vond ik dit:
Ik vouwde dit vel papier open:
Ik besefte meteen wat het was met een bijmengsel , maar hoe is dit blad hier terechtgekomen? Bedenk dat dit boek over kwantummechanica gaat, maar het bijgevoegde blad gaat over wiskundige logica, of wat nu de theorie van de berekening wordt genoemd. Dit is typerend voor Turings werk. Ik vroeg me af of Turing dit briefje zelf geschreven heeft?
Zelfs tijdens mijn ontbijt zocht ik op internet naar voorbeelden van Turings handschrift, maar ik kon geen voorbeelden in de vorm van berekeningen vinden, dus ik kon geen conclusies trekken over de exacte identiteit van het handschrift. En al snel moest ik vertrekken. Ik pakte het boek zorgvuldig in, klaar om het geheim van deze pagina te onthullen en wie hem had geschreven, en nam het mee.
Over het boek
Laten we eerst het boek zelf bespreken.» Dirac's Fields werden in 1930 in het Engels gepubliceerd en al snel in het Duits vertaald. (Diracs voorwoord is gedateerd 29 mei 1930; het is van de vertaler, (15 augustus 1930.) Het boek was een mijlpaal in de ontwikkeling van de kwantummechanica, doordat het systematisch een duidelijk formalisme vastlegde voor het uitvoeren van berekeningen en onder andere Diracs voorspelling uitlegde dat , dat in 1932 geopend zal worden.
Waarom had Alan Turing een boek in het Duits en niet in het Engels? Ik weet het niet zeker, maar Duits was destijds de belangrijkste taal van de wetenschap, en we weten dat Alan Turing het kon lezen. (De titel van zijn beroemde boek werken « (Entscheidungsproblem)" was een heel lang Duits woord - en in het hoofdgedeelte van het artikel werkt hij met tamelijk onbegrijpelijke Gotische symbolen in de vorm van "Duitse letters", die hij gebruikte in plaats van bijvoorbeeld Griekse symbolen).
Heeft Alan Turing dit boek zelf gekocht of is het hem gegeven? Ik weet het niet. Op de binnenkant van Turings boek staat met potlood de aantekening "20/-", de standaardnotatie voor "20 shilling", vergelijkbaar met £1. Op de rechterpagina staat een uitgegumde "26.9.30", vermoedelijk verwijzend naar 26 september 1930 - misschien de datum waarop het boek voor het eerst werd gekocht. Helemaal rechts staat dan een uitgegumde "20". Misschien is dat weer de prijs. (Zou het de prijs in (ervan uitgaande dat het boek in Duitsland is verkocht? 1 Reichsmark was destijds ongeveer 1 schilling waard; de Duitse prijs zou waarschijnlijk bijvoorbeeld "20 RM" zijn.) Ten slotte staat op de binnenkant van de achterflap "c 5/-" - dit zou de (sterk afgeprijsde) tweedehandsprijs van het boek kunnen zijn.
Laten we eens kijken naar de belangrijkste data in het leven van Alan Turing. Alan Turing (toevallig precies 76 jaar eerder In de herfst van 1931 ging hij studeren aan King's College in Cambridge. Na de gebruikelijke drie jaar studie, in 1934, behaalde hij zijn bachelordiploma.
Kwantummechanica was een hot topic in de jaren twintig en begin jaren dertig, en Alan Turing was er zeker in geïnteresseerd. Uit zijn archieven weten we dat hij in 1920, zodra het boek was gepubliceerd, een» John von Neumann (op ). We weten ook dat Turing in 1935 een opdracht kreeg van een natuurkundige uit Cambridge over het onderwerp van het bestuderen van de kwantummechanica. (Fowler stelde voor om te berekenen , wat in feite een zeer complex probleem is, dat een volledige analyse met de interacterende kwantumveldentheorie vereist, die nog steeds niet volledig is opgelost).
Dus wanneer en hoe kreeg Turing zijn exemplaar van Diracs boek? Aangezien er een prijsstempel op het boek zit, heeft Turing het vermoedelijk tweedehands gekocht. Wie was de oorspronkelijke eigenaar van het boek? De aantekeningen in het boek lijken zich vooral te richten op de logische structuur, waarbij wordt opgemerkt dat een logische relatie als axioma moet worden beschouwd. Hoe zit het dan met de aantekening op pagina 127?
Nou ja, het kan toeval zijn, maar op pagina 127 heeft Dirac het over kwantummechanica. en legt de basis voor — wat de basis vormt van al het moderne kwantumformalisme. Wat bevat de notitie? Het bevat een uitbreiding van vergelijking 14, de vergelijking voor de tijdsevolutie van de kwantumamplitude. De auteur van de notitie heeft Diracs A voor de amplitude vervangen door ρ, mogelijk een weerspiegeling van een eerdere (analogie met de dichtheid van een vloeistof) Duitse notatie. De auteur probeert de actie vervolgens uit te breiden naar machten van ℏ (, gedeeld door 2π, wat soms ook wel wordt genoemd ).
Maar er lijkt niet veel bruikbare informatie te zijn te halen uit wat er op de pagina staat. Als je de pagina tegen het licht houdt, zie je een kleine verrassing: een watermerk met de woorden "Z f. Physik. Chem. B".
Dit is een verkorte versie. — een Duits tijdschrift voor fysische chemie dat in 1928 voor het eerst verscheen. Misschien is de notitie geschreven door de redacteur van het tijdschrift? Hier is de titel van het tijdschrift uit 1933. Handig genoeg staan de redacteuren vermeld op woonplaats, en één valt op: "Geboren in Cambridge."
Dat is wat het is wie is de auteur en vele andere dingen in de theorie van de kwantummechanica (en ook de grootvader van de zanger ). Zou dit briefje dus door Max Born geschreven kunnen zijn? Maar helaas is dat niet zo, want het handschrift komt niet overeen.
En hoe zit het met de bladwijzer op pagina 231? Hier is hij van beide kanten:
De bladwijzer is vreemd en heel mooi. Maar wanneer is hij gemaakt? Er is er een in Cambridge. , hoewel het nu deel uitmaakt van Blackwell. Meer dan 70 jaar (tot 1970) was Heffers op dit adres gevestigd, zoals de bladwijzer laat zien. и .
Deze bladwijzer bevat een belangrijke aanwijzing: het is een telefoonnummer, "Tel. 862". Toevallig was het grootste deel van Cambridge (inclusief Heffers) in 1939 overgestapt op viercijferige nummers, en zeker rond 1940 werden de bladwijzers gedrukt met "moderne" telefoonnummers. (Engelse telefoonnummers worden steeds langer; toen ik in de jaren 1960 in Engeland opgroeide, waren onze telefoonnummers "Oxford 56186" en "Kidmore End 2378". Deels herinner ik me deze nummers omdat ik, hoe vreemd het nu ook mag lijken, altijd mijn nummer gaf als ik een telefoongesprek beantwoordde.)
Dit type bladwijzer werd tot 1939 gedrukt. Maar hoe lang daarvoor? Er zijn online behoorlijk wat scans van oude Heffers-advertenties te vinden, die minstens teruggaan tot 1912 (naast "We kindly request that you please honor your requests...") voegen ze "Telephone 862" en "(2 lines)" toe. Er zijn ook enkele bladwijzers met vergelijkbare ontwerpen gevonden in boeken die al dateren uit 1904 (hoewel het onduidelijk is of ze oorspronkelijk voor die boeken waren (d.w.z. tegelijkertijd gedrukt). Voor ons onderzoek lijken we te kunnen concluderen dat dit boek ergens tussen 1930 en 1939 bij Heffers vandaan kwam (dat overigens de belangrijkste boekwinkel in Cambridge was).
Lambda Calculus Pagina
Dus nu weten we iets over wanneer het boek is gekocht. Maar hoe zit het met de "lambdacalculuspagina"? Wanneer is die geschreven? Nou, natuurlijk moest de lambdacalculus toen al uitgevonden zijn. En dat was ook zo. , een wiskundige uit , in de oorspronkelijke vorm in 1932 en in de definitieve vorm in 1935. (Er waren wel werken van eerdere wetenschappers, maar zij gebruikten de λ-notatie niet.)
Er bestaat een complexe connectie tussen Alan Turing en de lambdacalculus. In 1935 raakte Turing geïnteresseerd in de "mechanisatie" van wiskundige bewerkingen en bedacht hij het idee van een Turing-machine en het gebruik ervan om problemen in de basisprincipes van de wiskunde op te lossen. Turing diende een artikel over dit onderwerp in bij een Frans tijdschrift (), maar het ging verloren in de post; en toen bleek dat de geadresseerde aan wie hij het stuurde, helemaal niet meer thuis was, aangezien hij inmiddels naar China was verhuisd.
Maar in mei 1936, voordat Turing zijn artikel ergens anders heen kon sturen, Turing had eerder geklaagd dat toen hij in 1934 het bewijs ontwikkelde , toen ontdekte ik dat er een Noorse wiskundige was die al in 1922 jaar.
Het is niet moeilijk om te zien dat Turing-machines en lambda-calculus in feite equivalent zijn in de soorten berekeningen die ze kunnen representeren (en dit is het begin ). Turing (en zijn leraar) ) raakte ervan overtuigd dat Turings aanpak voldoende verschilde om een aparte publicatie te rechtvaardigen. In november 1936 (en met de volgende maand gecorrigeerde typefouten) in Het beroemde artikel van Turing werd gepubliceerd .
Om de tijdlijn wat in te vullen: van september 1936 tot juli 1938 (met een onderbreking van drie maanden in de zomer van 1937) verbleef Turing in Princeton, waar hij afstudeerde aan Alonzo Church. Gedurende deze periode in Princeton lijkt Turing zich volledig te hebben geconcentreerd op wiskundige logica en schreef hij verschillende werken. , - en waarschijnlijk had hij geen boek over kwantummechanica bij zich.
Turing keerde in juli 1938 terug naar Cambridge, maar in september van dat jaar werkte hij parttime bij , en een jaar later verhuisde hij naar Bletchley Park om fulltime aan cryptoanalyse te werken. Na het einde van de oorlog in 1945 verhuisde Turing naar Londen om te werken bij over de ontwikkeling van het project voor de creatie Hij bracht het academisch jaar 1947-8 door in Cambridge, maar verhuisde daarna naar Manchester om zich verder te ontwikkelen. .
In 1951 begon Turing zich er serieus in te verdiepen. (Persoonlijk vind ik dit feit enigszins ironisch, omdat het mij lijkt dat Turing altijd onbewust geloofde dat biologische systemen gemodelleerd moesten worden door differentiaalvergelijkingen, en niet door iets discreets als Turing-machines of cellulaire automaten.) Hij richtte zijn interesse ook weer op de natuurkunde, en in 1954 zelfs , Wat: "Ik heb geprobeerd een nieuwe kwantummechanica uit te vinden" (hoewel hij eraan toevoegde: "maar in werkelijkheid is het niet zo dat het zal werken"). Maar helaas kwam er op 7 juni 1954 abrupt een einde aan alles, toen Turing plotseling overleed. (Ik geloof dat het geen zelfmoord was, maar dat is een ander verhaal.)
Laten we teruggaan naar de lambda-calculuspagina. Houd hem tegen het licht en we zien het watermerk weer:
Dit is duidelijk een stuk papier van Britse makelij, en het lijkt me onwaarschijnlijk dat het in Princeton is gebruikt. Maar kunnen we het nauwkeurig dateren? Nou, niet zonder hulp. We weten dat de officiële papierfabrikant Spalding & Hodge, Papermakers, Wholesale and Export Company, Drury House, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londen was. Dit kan ons helpen, maar niet veel, omdat het suggereert dat hun Excelsior-papiermerk blijkbaar in leverancierscatalogi uit de jaren 1890 tot 1954 werd opgenomen.
Wat staat er op deze pagina?
Laten we eens kijken naar wat er aan beide kanten van het papier staat. Laten we beginnen met lambda's.
Hier is een methode om te bepalen , en ze vormen een fundamenteel concept in de wiskundige logica, en nu ook in functioneel programmeren. Deze functies komen veel voor in de programmeertaal. , en hun taak is vrij eenvoudig uit te leggen. Iemand schrijft bijvoorbeeld f[x] om een functie aan te duiden f, toegepast op het argument x. En er zijn veel benoemde functies f zoals of of Maar wat als iemand wil f[x] was 2x +1? Er is geen directe naam voor deze functie. Maar is er een andere vorm van toewijzing? f[x]?
Het antwoord is ja: in plaats daarvan f wij schrijven Function[a,2a+1]. En in de Wolfram-taal Function [a,2a+1][x] past functies toe op argument x, wat resulteert in 2x+1. Function[a,2a+1] is een "zuivere" of "anonieme" functie, die de zuivere bewerking is van vermenigvuldigen met 2 en optellen met 1.
Dus λ in lambda-calculus is een exacte analoog in de Wolfram-taal - en daarom bijvoorbeeld λa.(2 a+1) equivalent Function[a, 2a + 1](Het is de moeite waard om op te merken dat de functie bijvoorbeeld Function[b,2b+1] equivalent; "gebonden variabelen" a of b zijn simpelweg plaatsen om het functie-argument te vervangen - en in de Wolfram-taal kunnen ze worden vermeden door alternatieve definities van een zuivere functie te gebruiken (2# +1)&).
In de traditionele wiskunde worden functies meestal beschouwd als objecten die invoer (bijvoorbeeld gehele getallen) en uitvoer (die bijvoorbeeld ook gehele getallen zijn) representeren. Maar wat voor soort object is dit? (of λ)? Het is in feite een structuuroperator die uitdrukkingen verwerkt en omzet in functies. Dit lijkt misschien wat vreemd vanuit het perspectief van traditionele wiskunde en wiskundige notatie, maar als je willekeurige symbolen moet manipuleren, is het veel natuurlijker, ook al lijkt het in eerste instantie wat abstract. (Opgemerkt moet worden dat wanneer gebruikers de Wolfram-taal leren, ik altijd merk dat ze een bepaalde drempel van abstract denken hebben overschreden wanneer ze een gevoel krijgen van ).
Lambda's zijn slechts een deel van wat er op de pagina staat. Er is nog een ander, nog abstracter concept, en dat is Laten we eens een nogal obscure lijn bekijken PI1IIx? Wat zou dit kunnen betekenen? In wezen is het een reeks combinatoren, of een abstracte compositie van symbolische functies.
Een eenvoudige superpositie van functies, die we kennen uit de wiskunde, kan in de Wolfram-taal als volgt worden geschreven: f[g[x]] - wat betekent "toepassen" f naar het resultaat van de toepassing g к x"Maar heb je hier echt haakjes voor nodig? In Wolfram Language f@g@ x — een alternatieve notatie. In deze notatie vertrouwen we op de definitie van Wolfram Language: de @-operator is gekoppeld aan de rechterkant, dus f@g@x equivalent f@(g@x).
Maar wat betekent de opname? (f@g)@x? Dit is gelijkwaardig f[g][x]. En als f и g Als gewone functies in de wiskunde zouden zijn, zou het betekenisloos zijn, maar als f - dan f[g] zelf kan een functie zijn die heel goed kan worden toegepast op x.
Laten we opmerken dat er hier nog steeds sprake is van enige complexiteit. f[х] - f is een functie van één argument. En f[х] gelijk aan de invoer Function[a, f[a]][x]Maar hoe zit het met een functie van twee argumenten, bijvoorbeeld f[x,y]? Dit kan worden geschreven als Function[{a,b},f[a, b]][x, y]Maar wat als Function[{a},f[a,b]]? Wat is dit? Er is hier een "vrije variabele". b, die eenvoudigweg aan de functie wordt doorgegeven. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] zal deze variabele binden en dan Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] (Het definiëren van een functie zodat deze één argument heeft, wordt 'currying' genoemd, vernoemd naar een logicus genaamd ).
Als er vrije variabelen zijn, zijn er veel verschillende complicaties met betrekking tot de manier waarop functies kunnen worden gedefinieerd, maar als we ons beperken tot objecten of λ, die geen vrije variabelen hebben, dan kunnen ze in principe vrij gedefinieerd worden. Zulke objecten worden combinatoren genoemd.
Combinatoren hebben een lange geschiedenis. Het is bekend dat ze voor het eerst in 1920 werden voorgesteld door een student. - .
Pas heel recent werd ontdekt dat het niet nodig was om uitdrukkingen te gebruiken , и om uitdrukkingen in de standaard propositielogica weer te geven: het was voldoende om één enkele operator te gebruiken, die we nu zullen noemen (omdat je bijvoorbeeld schrijft hoe ·, dan Or[a,b] zal de vorm aannemen ). Schonfinkel wilde een vergelijkbare minimale representatie van de predicatenlogica vinden, of eigenlijk van logica inclusief functies.
Hij bedacht twee 'combinatoren', S en K. In de Wolfram-taal zou dit worden geschreven als
K[x_][y_] → x en S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Het is opmerkelijk dat het mogelijk bleek om met deze twee combinatoren berekeningen uit te voeren. Bijvoorbeeld:
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan gebruikt worden als een functie om twee gehele getallen op te tellen.
Dit zijn allemaal vrij abstracte objecten, op zijn zachtst gezegd, maar nu we Turingmachines en lambda-calculus begrijpen, kunnen we zien dat Schoenfinkels combinatoren feitelijk het concept van universele berekeningen vooruitliepen. (En wat nog opmerkelijker is, is dat de definities van S en K uit 1920 minimaal eenvoudig zijn, en doen denken aan , die ik in de jaren negentig voorstelde, waarvan de universaliteit was ).
Maar laten we terugkeren naar onze folder en onze lijn. PI1IIxDe hier beschreven symbolen zijn combinatoren en zijn allemaal bedoeld om een functie te definiëren. De definitie hier is dat de superpositie van functies links-associatief moet zijn, zodat fgx Moet niet worden geïnterpreteerd als f@g@x of f@(g@x) of f[g[x]], maar eerder als (f@g)@x of f[g][x]. Laten we dit vertalen naar een vorm die handig is voor gebruik in Wolfram Language: PI1IIx zal de vorm aannemen p[i][een][i][i][x].
Waarom schrijf je zoiets? Om dit uit te leggen, moeten we het concept van kerkgetallen (genoemd naar Alonzo Church) bespreken. Stel dat we alleen met symbolen en lambda's of combinatoren werken. Is er een manier om ze te gebruiken om gehele getallen te specificeren?
Hoe zit het met het gewoon noemen van het nummer? n komt overeen met Function[x, Nest[f,x,n]]? Of, met andere woorden, wat (in kortere notaties):
1 is f[#]&
2 is f[f[#]]&
3 is f[f[f[#]]]& enzovoort.
Dit lijkt misschien allemaal wat duister, maar het is juist interessant omdat het ons de mogelijkheid geeft om alles volledig symbolisch en abstract te maken, zonder dat we het expliciet over zaken als gehele getallen hoeven te hebben.
Met deze methode van het toekennen van getallen, laten we ons bijvoorbeeld voorstellen dat we twee getallen optellen: 3 kan worden weergegeven als f[f[f[#]]]& en 2 is f[f[#]]&Je kunt ze optellen door ze simpelweg op elkaar toe te passen:
Maar wat is het object? f? Het kan van alles zijn! In zekere zin, ga helemaal "lambda" en representeer getallen met behulp van functies die f als argument. Met andere woorden, laten we 3 bijvoorbeeld voorstellen als Function[f,f[f[f[#]]] &] of Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]](wanneer en hoe je variabelen een naam moet geven is het lastige punt van lambda calculus).
Laten we eens kijken naar een fragment uit Turing's artikel uit 1937 , die objecten precies zo instelt als we zojuist hebben besproken:
De invoer hier kan wat verwarrend zijn. x Turing is van ons f, En zijn X' (de zetter heeft een fout gemaakt door een spatie in te voegen) - dit is van ons xMaar hier wordt precies dezelfde aanpak gebruikt.
Laten we eens kijken naar de lijn net na de vouw aan de voorkant van het papier. Dit is I1IIYI1IIxIn de notatie van Wolfram Language zou dit zijn: i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]Maar hier is i de identiteitsfunctie, dus i[one] het geeft gewoon uit een. in de tussentijd, een — is de kerknummerrepresentatie voor 1 of Function[f,f[#]&]Maar met deze definitie one[а] is aan het worden a[#]& и one[a][b] is aan het worden a[b]. (Trouwens, i[а][b]Of Identity[а][b] is ook а[b]).
Het zal veel duidelijker zijn als we de vervangingsregels voor i и een, in plaats van lambda calculus direct toe te passen. Het resultaat zal hetzelfde zijn. Pas deze regels expliciet toe, dan krijgen we:
En dit is precies hetzelfde als wat in de eerste verkorte vermelding wordt gepresenteerd:
Laten we nu nog eens naar het blad kijken, vanaf de bovenkant:
Er zijn hier enkele nogal verwarrende en obscure objecten "E" en "D", maar ze betekenen "P" en "Q", dus we kunnen de uitdrukking uitschrijven en evalueren (merk op dat hier - na enige verwarring met het allerlaatste symbool - de "mysterieuze wetenschapper" […] en (…) gebruikt om de toepassing van de functie weer te geven):
Dat is dus de eerste afkorting die wordt getoond. Om meer te zien, vullen we de definities voor Q in:
We krijgen precies de volgende reductie. Wat gebeurt er als we de uitdrukkingen voor P vervangen?
Hier is het resultaat:
En nu, gebruikmakend van het feit dat i een functie is die het argument zelf als uitvoer geeft, krijgen we:
Oeps! Maar dat is niet de volgende regel. Zit er een fout in? Het is niet duidelijk. Want in tegenstelling tot de meeste andere gevallen staat er geen pijl die aangeeft dat de volgende regel volgt op de vorige.
Hier zit een klein mysterie in, maar laten we even naar het einde van het blad kijken:
Hier is 2 het kerknummer, gedefinieerd bijvoorbeeld door het patroon two[a_] [b_] → a[a[b]]Merk op dat dit eigenlijk de vorm is van de tweede rij, als a wordt beschouwd als Function[r,r[р]] и b hoe qWe verwachten dus dat de uitkomst van de berekening als volgt zal zijn:
De onderliggende uitdrukking а[b] kan worden geschreven als x (waarschijnlijk verschillend van de x die eerder op het blad is geschreven). Als resultaat krijgen we het volgende eindresultaat:
We kunnen dus weinig ontcijferen van wat er op dit stukje papier staat, maar er blijft minstens één mysterie over: wat Y zou moeten voorstellen.
In feite bestaat er in de combinatorische logica een standaard Y-combinator: de zogenaamde Formeel wordt het gedefinieerd door het feit dat Y[f] moet gelijk zijn f[J[f]], of, met andere woorden, dat Y[f] verandert niet als f wordt toegepast, dus het is een vast punt voor f. (Combinator Y is geassocieerd met #0 (in de Wolfram-taal.)
De Y-combinator is nu beroemd om zijn , zo genoemd (die al lange tijd fan is и en implementeerde de allereerste webwinkel gebaseerd op deze taal). Hij vertelde me ooit persoonlijk: "niemand begrijpt wat een Y-combinator is"(Het is belangrijk om te weten dat Y Combinator precies is wat bedrijven in staat stelt om vaste-komma-transacties te vermijden…)
De Y-combinator (als vastekommacombinator) is al meerdere keren uitgevonden. Turing kwam in 1937 zelfs met een implementatie, die hij Θ noemde. Maar is de "Y" op onze pagina de beroemde vastekommacombinator? Waarschijnlijk niet. Dus wat is onze "Y"? Beschouw deze afkorting:
Maar deze informatie is duidelijk niet voldoende om ondubbelzinnig te bepalen wat Y is. Het is duidelijk dat Y op meer dan één argument werkt; het lijkt op minstens twee argumenten te werken, maar het is niet duidelijk (althans voor mij) hoeveel argumenten het als input neemt en wat het doet.
Tot slot, hoewel we veel delen van het artikel kunnen begrijpen, moeten we zeggen dat het op mondiaal niveau niet duidelijk is wat er is gedaan. Hoewel er veel uitleg nodig is voor wat er in het artikel wordt gepresenteerd, is het vrij elementair in lambda calculus en het gebruik van combinatoren.
Vermoedelijk is dit een poging om een eenvoudig "programma" te maken - met behulp van lambda calculus en combinators om iets te doen. Maar wat reverse engineering betreft, is het moeilijk te zeggen wat dat "iets" zou moeten zijn, of wat het algehele "verklaarbare" doel is.
Er is nog een functie die op het werkblad wordt gepresenteerd en die het waard is om hier te bespreken: het gebruik van verschillende soorten haakjes. In de traditionele wiskunde worden haakjes over het algemeen voor alles gebruikt - en voor functietoepassingen (zoals in f (x)), en groeperingen van leden (zoals in (1+x) (1-x), of, minder voor de hand liggend, een(1-x)(In de Wolfram-taal maken we onderscheid tussen verschillende toepassingen van haakjes, in vierkante haken voor het definiëren van functies f [x] — en ronde haakjes worden alleen gebruikt voor groepering).
Toen de lambdacalculus voor het eerst verscheen, waren er veel vragen over het gebruik van haakjes. Alan Turing zou later een heel (ongepubliceerd) artikel schrijven met de titel", maar al in 1937 vond hij dat hij de moderne (vrij prutsende) definities voor de lambda calculus moest beschrijven (die overigens van Church kwamen).
Hij zei dat f, toegepast op g, het zou geschreven moeten worden {f}(g), als het maar f is niet het enige symbool, in dit geval kan het zijn f(g). Toen zei hij dat lambda (zoals in Function[a, b]) moet worden geschreven als λ a[b] of, als alternatief, λ a.b.
Maar misschien was rond 1940 het hele idee om {…} en […] te gebruiken om verschillende objecten aan te duiden al verlaten, grotendeels ten gunste van haakjes in de standaard wiskundige stijl.
Kijk bovenaan de pagina:
Het is moeilijk te begrijpen zoals het er nu voor staat. In Church's definities dienen vierkante haken voor groepering, waarbij de openingshaak de punt vervangt. Met behulp van deze definitie wordt duidelijk dat de Q (uiteindelijk aangeduid als D) tussen haakjes aan het einde de volledige beginlambda betreft.
De vierkante haak begrenst hier in feite niet de body van de lambda; in plaats daarvan vertegenwoordigt het feitelijk een andere toepassing van de functie, en er is geen expliciete indicatie van waar de body van de lambda eindigt. Aan het einde ziet u dat de "mysterieuze wetenschapper" de afsluitende vierkante haak heeft veranderd in een ronde haak, waarmee hij in feite Church's definitie toepast - en zo de expressie evalueert zoals weergegeven op het werkblad.
Dus wat betekent dit kleine stukje? Ik denk dat het suggereert dat de pagina in de jaren 1930 is geschreven, of niet lang daarna, aangezien de conventies voor haakjes toen nog niet vaststonden.
Van wie was het handschrift eigenlijk?
Tot nu toe hebben we het gehad over wat er op de pagina staat. Maar wie heeft het eigenlijk geschreven?
De meest voor de hand liggende kandidaat voor deze rol zou Alan Turing zelf zijn, aangezien de pagina zich immers in zijn boek bevond. Inhoudelijk lijkt er niets in strijd met het idee dat Alan Turing het geschreven zou kunnen hebben – zelfs niet toen hij voor het eerst met lambdacalculus aan het experimenteren was na het ontvangen van Church's artikel begin 1936.
Hoe zit het met het handschrift? Is het dat van Alan Turing? Laten we eens kijken naar een paar overgebleven voorbeelden waarvan we zeker weten dat ze door Alan Turing zijn geschreven:
De gepresenteerde tekst ziet er duidelijk heel anders uit, maar hoe zit het met de gebruikte notaties? Tenminste, naar mijn mening lijkt het niet zo voor de hand liggend – en men mag aannemen dat een eventueel verschil mogelijk te wijten is aan het feit dat de bestaande voorbeelden (gepresenteerd in de archieven) als het ware "op een schone lei" zijn geschreven, terwijl onze pagina juist een weerspiegeling is van het denkwerk.
Het bleek voor ons onderzoek handig dat er in het archief van Turing een pagina is waarop hij het volgende heeft opgeschreven , noodzakelijk voor de aanduidingen. En als ik deze symbolen letter voor letter vergelijk, lijken ze voor mij behoorlijk op elkaar (deze gegevens zijn gemaakt in Turing toen hij verloofd was , vandaar de notatie “bladoppervlakte”):
Ik wilde dit verder onderzoeken, dus stuurde ik monsters , een professionele handschriftdeskundige (en auteur van handschriftproblemen) die ik ooit ontmoette – die ons artikel simpelweg presenteerde als “monster ‘A’” en een bestaand monster van Turings handschrift als “monster ‘B’.” Haar antwoord was definitief en negatief: “De schrijfstijl is compleet anders. Qua persoonlijkheid heeft de auteur van voorbeeld B een snellere en intuïtievere denkstijl dan de auteur van voorbeeld A..
Ik was nog niet helemaal overtuigd, maar besloot dat het tijd was om naar andere opties te zoeken.
Dus als blijkt dat Turing dit niet heeft geschreven, wie dan wel? Norman Routledge vertelde me dat hij het boek had gekregen van Robin Gandy, Turings executeur. Dus stuurde ik Gandy's "Sample C":
Maar Sheila's eerste conclusie was dat de drie voorbeelden waarschijnlijk door drie verschillende mensen waren geschreven, waarbij ze nogmaals opmerkte dat voorbeeld "B" afkomstig was van "de snelste denker - degene die het meest geneigd is om ongebruikelijke oplossingen voor problemen te zoeken"(Ik vind het verfrissend dat een moderne handschriftdeskundige deze beoordeling geeft van Turings handschrift, gezien hoeveel iedereen klaagde over zijn handschrift in Turings schoolopdrachten uit de jaren twintig.)
Nou, op dat moment leek het erop dat zowel Turing als Gandhi van de lijst met "verdachten" waren geschrapt. Dus wie had dit kunnen schrijven? Ik begon te denken aan de mensen aan wie Turing zijn boek zou kunnen hebben uitgeleend. Die zouden toch zeker wel berekeningen met lambda calculus kunnen uitvoeren?
Ik nam aan dat de persoon uit Cambridge moest komen, of in ieder geval uit Engeland, gezien het watermerk op het papier. Ik nam aan dat 1936 of zo een goed moment was om dit te schrijven. Dus wie kende Turing en met wie had hij toen contact? We hadden een lijst van alle studenten en docenten wiskunde aan King's College in die periode. (Er waren 13 studenten bekend die tussen 1930 en 1936 studeerden.)
En van deze kandidaten leek de meest veelbelovende kandidaat Hij was even oud als Turing, zijn oude vriend, en ook hij was geïnteresseerd in de grondslagen van de wiskunde - in 1933 publiceerde hij zelfs een artikel over wat we nu noemen : 0.12345678910111213… (verkregen door 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, en een van de zeer weinige getallen, in de zin dat elk mogelijk blok getallen met dezelfde waarschijnlijkheid voorkomt.
In 1937 gebruikte hij zelfs Dirac-gamma-matrices, zoals vermeld in Diracs boek, om (Jaren later werd ik een groot fan van gamma-matrixberekeningen.)
Toen hij wiskunde begon te studeren, kwam Champernowne onder invloed (ook aan King's College) en werd uiteindelijk een vooraanstaand econoom, die zich met name bezighield met onderzoek naar inkomensongelijkheid. (In 1948 werkte hij echter ook samen met Turing aan de oprichting van — een schaakprogramma dat praktisch het eerste ter wereld was dat op een computer werd geïmplementeerd).
Maar waar kon ik een voorbeeld van Champernownes handschrift vinden? Ik vond al snel zijn zoon Arthur Champernowne op LinkedIn, die, vreemd genoeg, een graad in wiskundige logica had en voor Microsoft werkte. Hij zei dat zijn vader hem veel over Turings werk had verteld, hoewel hij het niet over schema's had. Hij stuurde me een voorbeeld van het handschrift van zijn vader (het stukje over algoritmische muziekcompositie):
Er kan onmiddellijk gezegd worden dat de handschriften niet overeenkomen (de krullen en staarten in de letters f in Champernowne's handschrift, etc.)
Wie zou het anders kunnen zijn? Ik heb altijd bewondering gehad voor , in veel opzichten een mentor voor Alan Turing. Newman interesseerde Turing voor het eerst in "mechanisatie van de wiskunde", was zijn oude vriend, en jaren later werd hij zijn baas bij het computerproject in Manchester. (Ondanks zijn interesse in computers lijkt Newman zichzelf altijd in de eerste plaats als een topoloog te hebben gezien, hoewel zijn conclusies werden ondersteund door een gebrekkig bewijs dat hij afleidde uit ).
Het was niet moeilijk om een voorbeeld van Newmans handschrift te vinden. En nogmaals: nee, de handschriften kwamen absoluut niet overeen.
"Spoor" van het boek
Het idee om het handschrift te identificeren was mislukt. En ik besloot dat de volgende stap zou zijn om wat gedetailleerder te proberen te achterhalen wat er werkelijk gebeurde met het boek dat ik in mijn handen hield.
Dus, eerst, wat was het langere verhaal over Norman Routledge? Hij ging in 1946 naar King's College in Cambridge en ontmoette Turing (ja, ze waren allebei homo). Hij studeerde af in 1949 en begon vervolgens aan zijn proefschrift met Turing als zijn begeleider. Hij promoveerde in 1954, waar hij werkte aan wiskundige logica en recursietheorie. Hij ontving een beurs aan King's College en was in 1957 hoofd van de wiskundeafdeling aldaar. Hij had dit zijn hele leven kunnen doen, maar hij had een brede interesse (muziek, kunst, architectuur, recreatieve wiskunde, genealogie, enz.). In 1960 veranderde hij zijn academische focus en werd docent aan Eton, waar vele generaties studenten (waaronder ikzelf) werkten (en studeerden), en zijn eclectische en soms zelfs bizarre kennis ontdekten.
Zou Norman Rutledge deze mysterieuze pagina zelf geschreven kunnen hebben? Hij kende de lambda-calculus (hoewel hij er toevallig tijdens de thee in 2005 over sprak en zei dat hij het altijd "verwarrend" had gevonden). Zijn kenmerkende handschrift sluit hem echter meteen uit als mogelijke "mysterieuze wetenschapper".
Zou de pagina op de een of andere manier verbonden kunnen zijn met een student van Norman, misschien uit zijn tijd in Cambridge? Ik betwijfel het. Want ik denk niet dat Norman ooit lambda calculus of iets dergelijks heeft gestudeerd. Tijdens het schrijven van dit artikel ontdekte ik dat Norman in 1955 een artikel schreef over het creëren van logica op "elektronische computers" (en het creëren van conjunctieve normaalvormen, zoals de ingebouwde functie dat tegenwoordig doet). Toen ik Norman kende, was hij erg geïnteresseerd in het schrijven van hulpprogramma's voor echte computers (zijn initialen waren "NAR" en hij noemde zijn programma's "NAR...", bijvoorbeeld "NARLAB" - een programma voor het maken van tekstlabels met behulp van gaatjespatronen op papiertape). Maar hij sprak nooit over theoretische rekenmodellen.
Laten we Normans notitie in het boek eens wat beter bekijken. Het eerste wat ons opvalt, is dat hij het heeft over "het aanbieden van boeken uit de bibliotheek van een overleden persoonEn uit de bewoordingen blijkt dat het allemaal vrij kort na de dood van de man gebeurde, wat suggereert dat Norman het boek kort na Turings dood in 1954 ontving en dat Gandhi het al geruime tijd miste. Norman vervolgt met te zeggen dat hij in werkelijkheid vier boeken ontving, twee over zuivere wiskunde en twee over theoretische natuurkunde.
Toen zei hij dat hij "gaf"nog een van de natuurkundeboeken (denk ik, )""Aan Sebag Montefiore, een aangename jongeman die je misschien nog kent [George Rutter]"Oké, wie is hij? Ik heb mijn zelden gebruikte ledenlijst opgezocht (Ik moet zeggen dat ik, toen ik het opende, niet anders kon dan de regels uit 1902 opmerken, waarvan het eerste, onder de kop “Rechten van de leden”, op amusante wijze luidde: “Kleed je in de kleuren van de Vereniging").
Ik moet erbij zeggen dat ik waarschijnlijk nooit lid zou zijn geworden van deze vereniging of dit boek zou hebben gekregen als het niet was geweest voor het aandringen van een vriend van mij van Eton, genaamd , die al vanaf zijn 12e van plan was om ooit premier te worden, maar helaas op 21-jarige leeftijd overleed.
Maar hoe dan ook, er waren slechts vijf van de genoemde personen met de naam Sebag-Montefiore, met een breed scala aan trainingsdata. Het was gemakkelijk te zien dat de juiste was. . Kleine wereld, zo blijkt, zijn familie was eigenaar van Bletchley Park voordat hij het in 1938 aan de Britse overheid verkocht. En in 2000 schreef Sebag-Montefiore — dat is hoogstwaarschijnlijk ook de reden waarom Norman in 2002 besloot hem het boek te geven dat Turing in zijn bezit had.
Oké, maar hoe zat het met de andere boeken die Norman van Turing kreeg? Omdat ik geen andere manier had om erachter te komen wat ermee gebeurd was, bestelde ik een exemplaar van Normans testament. De laatste zin was duidelijk Norman-achtig:
In het testament werd bepaald dat Normans boeken aan King's College moesten worden nagelaten. Hoewel een complete collectie van zijn boeken nergens te vinden lijkt te zijn, zijn twee boeken over zuivere wiskunde van Turing, die hij in zijn aantekening noemde, nu officieel gearchiveerd in de bibliotheek van King's College.
Volgende vraag: Wat is er met Turing's andere boeken gebeurd? Ik heb het testament van Turing bekeken, waaruit bleek dat ze allemaal aan Robin Gandy werden nagelaten.
Gandy studeerde wiskunde aan King's College in Cambridge en raakte in 1940 bevriend met Alan Turing in zijn laatste jaar daar. Gandy had aan het begin van de oorlog in de radio- en radarindustrie gewerkt, maar in 1944 werd hij ingedeeld bij dezelfde eenheid als Turing, waar hij zich bezighield met spraakversleuteling. Na de oorlog keerde Gandy terug naar Cambridge, waar hij al snel promoveerde met Turing als zijn begeleider.
Zijn werk bij het leger leidde er blijkbaar toe dat hij geïnteresseerd raakte in vragen op het gebied van de natuurkunde, en zijn proefschrift, voltooid in 1952, kreeg de titel Wat Gandhi lijkt te hebben geprobeerd te doen, is misschien om natuurkundige theorieën te karakteriseren in termen van wiskundige logica. Hij spreekt over и , maar niet over Turingmachines. En op basis van wat we nu weten, denk ik dat we kunnen concluderen dat hij de kern van de zaak nogal gemist heeft. En inderdaad, betoogt al sinds het begin van de jaren tachtig dat fysische processen beschouwd moeten worden als "verschillende berekeningen" – zoals bijvoorbeeld Turingmachines of cellulaire automaten – in plaats van als af te leiden stellingen. (Gandhi bespreekt de volgorde van de typen die betrokken zijn bij fysische theorieën op een prachtige manier, door bijvoorbeeld te zeggen dat "Ik geloof dat de orde van elk berekenbaar decimaal getal in binaire vorm kleiner is dan acht"). Hij zei dat "Een van de redenen waarom de moderne kwantumveldentheorie zo ingewikkeld is, is simpelweg omdat het zich bezighoudt met objecten van een vrij ingewikkeld type: functionalen van functies…", wat uiteindelijk zegt dat "we zouden het grootste type algemeen gebruik wel eens als indicator van wiskundige vooruitgang kunnen beschouwen".)
Gandhi noemt Turing meerdere malen in zijn proefschrift en merkt in de inleiding op dat hij veel te danken heeft aan A. M. Turing, die "vestigde voor het eerst zijn enigszins ongeconcentreerde aandacht op Church's berekeningen" (d.w.z. lambda calculus), hoewel zijn proefschrift in feite verschillende lambda-bewijzen bevat.
Na zijn promotie wendde Gandhi zich tot de zuiverdere wiskundige logica en schreef hij meer dan dertig jaar lang artikelen, gemiddeld één per jaar, die zeer succesvol waren in de internationale gemeenschap van wiskundige logica. In 1969 verhuisde hij naar Oxford, en ik denk dat ik hem in mijn jeugd moet hebben ontmoet, hoewel ik me daar niets van herinner.
Gandhi verafgoodde Turing blijkbaar en sprak in latere jaren vaak over hem. Dit roept de vraag op of Turings documenten wel volledig verzameld konden worden. Kort na Turings dood vroegen Sarah Turing en Max Newman Gandhi, als zijn executeur, om de publicatie van Turings ongepubliceerde documenten te regelen. Naarmate de jaren verstreken, weerspiegelen Sarah Turings frustratie over de kwestie. Maar op de een of andere manier leek Gandhi nooit van plan te zijn geweest Turings papieren te verzamelen.
Gandhi stierf in 1995 zonder zijn voltooide werken te hebben opgehaald. - literatuurcriticus en biograaf , die Turing aan King's College had ontmoet, was Turings literair agent, en uiteindelijk begon hij te werken aan een bundel van Turings werken. De meest controversiële leek het boek over wiskundige logica te zijn, en hiervoor trok hij Robin Gandy's eerste serieuze promovendus aan, een zekere , die brieven aan Gandhi vond over het verzamelde werk, waar men al 24 jaar niet aan was begonnen. (verschenen uiteindelijk in 2001, 45 jaar na de release).
Maar hoe zat het met de boeken die Turing persoonlijk bezat? In mijn verdere zoektocht naar die boeken kwam ik terecht bij de familie Turing, en in het bijzonder bij de jongste zoon van Turings broer. (die eigenlijk Sir Dermot Turing is, omdat hij , de titel ging niet via Alans lijn in de familie Turing naar hem over). Dermot Turing (die onlangs schreef ) vertelde me over "Turings grootmoeder" (ook bekend als Sarah Turing), haar huis dat blijkbaar een tuiningang deelde met zijn familie, en vele andere dingen over Alan Turing. Hij vertelde me dat de familie nooit persoonlijke boeken van Alan Turing heeft gehad.
Dus ging ik de testamenten opnieuw lezen en ontdekte dat Gandhi's executeur zijn student Mike Yates was. Ik ontdekte dat Mike Yates 30 jaar geleden met pensioen was gegaan en nu in Noord-Wales woont. Hij zei dat hij in de decennia dat hij zich had beziggehouden met wiskundige logica en de theorie van berekeningen, nooit echt een computer had aangeraakt - maar dat hij dat uiteindelijk toch deed toen hij met pensioen ging (kort nadat hij het programma had ontdekt). Hij zei dat het geweldig was dat Turing zo beroemd was geworden, en dat toen hij slechts drie jaar na Turings dood in Manchester aankwam, niemand over Turing sprak, zelfs Max Newman niet toen hij een cursus logica gaf. Gandy zou later echter vertellen hoe ontroerd hij was door zijn omgang met Turings verzamelde documenten, en liet ze uiteindelijk allemaal aan Mike na.
Wat wist Mike over Turings boeken? Hij vond een van Turings handgeschreven notitieboekjes, die Gandhi niet aan King's College had gegeven omdat (vreemd genoeg) Gandhi het had gebruikt als vermomming voor de droomnotities die hij bijhield. (Turing hield ook droomnotities bij, die na zijn dood werden vernietigd.) Mike zei dat het notitieboekje onlangs voor ongeveer 1 miljoen dollar op een veiling was verkocht. En dat hij anders niet had kunnen raden dat er ook materiaal van Turing in Gandhi's spullen zat.
Het leek erop dat al onze opties uitgeput waren, maar Mike vroeg me om naar dat mysterieuze stukje papier te kijken. En meteen zei hij: "Dit is het handschrift van Robin Gandhi!Hij zei dat hij er in de loop der jaren zoveel van had gezien. En hij was er zeker van. Hij zei dat hij niet veel van lambda-calculus wist en dat hij de pagina niet echt kon lezen, maar hij was er zeker van dat Robin Gandy het had geschreven.
We gingen terug naar onze handschriftexpert met meer voorbeelden, en ze was het ermee eens dat wat er stond inderdaad overeenkwam met Gandhi's handschrift. Dus kwamen we er eindelijk achter: Robin Gandy schreef dat mysterieuze stukje papierDit is niet geschreven door Alan Turing, maar door zijn leerling Robin Gandy.
Natuurlijk blijven er nog steeds enkele mysteries bestaan. Turing zou het boek aan Gandhi hebben geleend, maar wanneer? Afgaande op de manier waarop de lambda calculus is geschreven, lijkt het ergens rond de jaren 1930 te zijn geweest. Maar afgaande op de commentaren op zijn proefschrift, zou Gandhi waarschijnlijk pas eind jaren 1940 iets met lambda calculus hebben gedaan. De vraag is dan waarom Gandhi het schreef. Het lijkt niet direct verband te houden met zijn proefschrift, dus misschien was het toen hij voor het eerst probeerde lambda calculus te begrijpen.
Ik betwijfel of we ooit de waarheid zullen weten, maar het was zeker leuk om te proberen erachter te komen. Ik moet hier zeggen dat deze hele reis er veel aan heeft bijgedragen om mijn begrip te verbreden van hoe complex de verhalen in zulke boeken uit voorbije eeuwen, zoals die ik bezit, kunnen zijn. Ik denk dat ik er maar beter voor moet zorgen dat ik alle pagina's doorneem, gewoon om te zien wat voor interessante dingen er te vinden zijn...
Ik wil Jonathan Gorard (privéstudies in Cambridge), Dana Scott (wiskundige logica) en Matthew Shudzik (wiskundige logica) bedanken voor hun hulp.
Over vertalingVertaling van het bericht van Stephen Wolfram "".
Ik spreek mijn diepe dankbaarheid uit и voor hulp bij vertaling en voorbereiding van publicatie.
Wilt u leren programmeren in de Wolfram-taal?
Kijk wekelijks .
. Klaar .
over Wolfram-taal.
Bron: www.habr.com
