Hoe kwam ik aan dit boek?
In mei 2017 ontving ik een e-mail van mijn oude middelbare schoolleraar, George Rutter genaamd, waarin hij schreef: “Ik heb een exemplaar van Diracs geweldige boek in het Duits (Die Prinzipien der Quantenmechanik), dat toebehoorde aan Alan Turing, en na het lezen van uw boek , het leek mij vanzelfsprekend dat jij precies de persoon bent die het nodig heeft" Hij legde mij uit dat hij het boek van een andere (inmiddels overleden) onderwijzer van mij had gekregen , van wie ik wist dat het een vriend was van Alan Turing. George eindigde zijn brief met de zin: "Als je dit boek wilt, kan ik het je de volgende keer dat je naar Engeland komt, geven.
Een paar jaar later, in maart 2019, kwam ik daadwerkelijk aan in Engeland, waarna ik een afspraak maakte met George voor het ontbijt in een klein hotel in Oxford. We aten, praatten en wachtten tot het eten bezonken was. Daarna was het een goed moment om het boek te bespreken. George stak zijn hand in zijn koffertje en haalde er een nogal bescheiden vormgegeven, typisch academisch boek uit het midden van de 1900e eeuw uit.
Ik opende de omslag en vroeg me af of er misschien iets op de achterkant stond met de tekst: “Eigendom van Alan Turing" of zoiets. Maar helaas bleek dit niet het geval te zijn. Het ging echter vergezeld van een nogal expressieve notitie van vier pagina's van Norman Routledge aan George Rutter, geschreven in 2002.
Ik kende Norman Rutledge toen ik student was в begin jaren zeventig. Hij was een wiskundeleraar met de bijnaam 'Nutty Norman'. Hij was in alle opzichten een prettige leraar en vertelde eindeloze verhalen over wiskunde en allerlei andere interessante dingen. Hij was er verantwoordelijk voor dat de school een computer kreeg (geprogrammeerd met ponsband over het hele bureau) – dat was het ook .
Destijds wist ik niets over de achtergrond van Norman (bedenk dat dit lang vóór het internet was). Het enige dat ik wist was dat hij 'Dr. Rutledge' was. Hij vertelde vaak verhalen over de mensen in Cambridge, maar hij noemde Alan Turing nooit in zijn verhalen. Natuurlijk was Turing nog niet erg beroemd (hoewel ik, zo bleek, al over hem had gehoord van iemand die hem kende (het landhuis waarin het encryptiecentrum zich bevond tijdens de Tweede Wereldoorlog)).
Alan Turing werd pas beroemd in 1981, toen ik voor het eerst begon , hoewel dan nog steeds in de context van cellulaire automaten, en niet .
Toen ik plotseling op een dag door een catalogus met kaarten in de bibliotheek bladerde , Ik kwam een boek tegen , geschreven door zijn moeder Sarah Turing. Het boek bevatte veel informatie, onder meer over Turing's ongepubliceerde wetenschappelijke werken over biologie. Ik kwam echter niets te weten over zijn relatie met Norman Routledge, aangezien er in het boek niets over hem werd vermeld (hoewel, zoals ik ontdekte, Sarah Turing , en Norman ging uiteindelijk zelfs schrijven ).
Tien jaar later enorm nieuwsgierig naar Turing en zijn (toen nog ongepubliceerde) , Ik bezocht в . Al snel, nadat ik bekend was geraakt met wat ze over het werk van Turing hadden, en er wat tijd aan had besteed, dacht ik dat ik net zo goed kon vragen om ook zijn persoonlijke correspondentie in te zien. Terwijl ik er doorheen keek, ontdekte ik van Alan Turing tot Norman Routledge.
Tegen die tijd werd het gepubliceerd Andrew Hodges, die zoveel heeft gedaan om ervoor te zorgen dat Turing uiteindelijk beroemd werd, bevestigde dat Alan Turing en Norman Routledge inderdaad vrienden waren, en ook dat Turing de wetenschappelijk adviseur van Norman was. Ik wilde Routledge vragen over Turing, maar tegen die tijd was Norman al met pensioen en leidde hij een teruggetrokken leven. Toen ik echter klaar was met het werk aan het boek "In 2002 (na mijn tien jaar durende afzondering) spoorde ik hem op en stuurde hem een exemplaar van het boek met het onderschrift ‘Aan mijn laatste wiskundeleraar.’ Dan hij en ik een beetje , en in 2005 kwam ik terug naar Engeland en sprak ik af om Norman te ontmoeten voor thee in een luxe hotel in het centrum van Londen.
We hadden een leuk gesprek over veel dingen, waaronder Alan Turing. Norman begon ons gesprek door ons te vertellen dat hij Turing vijftig jaar geleden eigenlijk kende, meestal oppervlakkig. Maar toch had hij iets over hem persoonlijk te vertellen: “Hij was ongezellig. "Hij giechelde veel. "Hij kon niet echt met niet-wiskundigen praten. "Hij was altijd bang zijn moeder van streek te maken. "Overdag ging hij eropuit en liep een marathon. "Hij was niet al te ambitieus" Het gesprek ging vervolgens over de persoonlijkheid van Norman. Hij zei dat hij, ook al is hij al 16 jaar met pensioen, nog steeds artikelen schrijft voor ""zodat, in zijn woorden, "voltooi al je wetenschappelijke werken voordat je naar de volgende wereld gaat", waar, zoals hij er met een flauwe glimlach aan toevoegde, "alle wiskundige waarheden zullen definitief onthuld worden" Toen het theekransje voorbij was, trok Norman zijn leren jack aan en liep richting zijn bromfiets, zich er totaal niet van bewust op die dag.
Dat was de laatste keer dat ik Norman zag; hij stierf in 2013.
Zes jaar later zat ik aan het ontbijt met George Rutter. Ik had een briefje van Rutledge bij me, geschreven in 2002 in zijn kenmerkende handschrift:
Eerst heb ik het briefje doorgenomen. Ze was zoals gewoonlijk expressief:
Ik ontving het boek van Alan Turing van zijn vriend en executeur-testamentair (op King's College was het aan de orde van de dag om boeken weg te geven uit de verzameling dode kerels, en ik koos een verzameling gedichten uit boeken als passend geschenk (hij was decaan en sprong van de kapel [in 1956])…
Later schrijft hij in een korte notitie:
Je vraagt waar dit boek terecht moet komen - naar mijn mening moet het naar iemand gaan die alles waardeert wat met het werk van Turing te maken heeft, dus het lot hangt van jou af.
Stephen Wolfram stuurde mij zijn indrukwekkende boek, maar ik ben er niet diep genoeg in gedoken...
Hij sloot af met het feliciteren van George Rutter omdat hij de moed had om na zijn pensionering (tijdelijk, zo bleek) naar Australië te verhuizen, waarbij hij zei dat hij zelf "zou spelen met verhuizen naar Sri Lanka als voorbeeld van een goedkoop en lotusachtig bestaan", maar voegde eraan toe"de gebeurtenissen die daar momenteel plaatsvinden, geven aan dat hij dit niet had moeten doen"(blijkbaar bedoeld in SriLanka).
Dus wat zit er verborgen in de diepten van het boek?
Dus wat deed ik met het exemplaar van het Duitse boek geschreven door Paul Dirac dat ooit toebehoorde aan Alan Turing? Ik kan geen Duits lezen, maar dat heb ik wel gedaan in Engelse (wat de originele taal is) editie uit de jaren zeventig. Maar op een dag bij het ontbijt leek het mij juist dat ik het boek zorgvuldig pagina voor pagina doornam. Dit is immers gebruikelijk bij het omgaan met antiquarische boeken.
Opgemerkt moet worden dat ik getroffen werd door de elegantie van de presentatie van Dirac. Het boek werd in 1931 gepubliceerd, maar het pure formalisme ervan (en ja, ondanks de taalbarrière kon ik de wiskunde in het boek lezen) is bijna hetzelfde als wanneer het vandaag zou zijn geschreven. (Ik wil hier niet te veel nadruk leggen op Dirac, maar mijn vriend vertelde me dat Diracs uiteenzetting, althans naar zijn mening, eenlettergrepige tekst is. Norman Rutledge vertelde me dat hij bevriend was in Cambridge , die grafentheoreticus werd. Norman bezocht het huis van Dirac vrij vaak en zei dat de 'grote man' soms persoonlijk naar de achtergrond verdween, terwijl de eerste plaats altijd vol wiskundige puzzels was. Zelf heb ik Paul Dirac helaas nooit ontmoet, hoewel mij werd verteld dat hij, nadat hij uiteindelijk Cambridge naar Florida had verlaten, veel van zijn vroegere taaiheid verloor en een behoorlijk sociaal persoon werd).
Maar laten we terugkeren naar het boek van Dirac, dat toebehoorde aan Turing. Op pagina 9 zag ik onderstrepingen en kleine aantekeningen in de marge, geschreven met potlood. Ik bladerde verder door de pagina's. Na een paar hoofdstukken verdwenen de aantekeningen. Maar toen vond ik plotseling een briefje op pagina 127 met de volgende tekst:
Het is in het Duits geschreven in standaard Duits handschrift. En het lijkt erop dat ze er iets mee te maken heeft . Ik dacht dat waarschijnlijk iemand dit boek vóór Turing in zijn bezit had gehad, en dat dit een aantekening moest zijn die door die persoon was geschreven.
Ik bladerde verder door het boek. Er waren geen aantekeningen. En ik dacht dat ik niets anders kon vinden. Maar toen ontdekte ik op pagina 231 een bladwijzer met het merk - met de gedrukte tekst:
Zal ik uiteindelijk nog iets ontdekken? Ik bladerde verder door het boek. Vervolgens ontdekte ik aan het eind van het boek, op pagina 259, in het gedeelte over de relativistische elektronentheorie het volgende:
Ik vouwde dit papiertje open:
Ik besefte meteen wat het was gemengd met , maar hoe is dit blad hier terechtgekomen? Laten we bedenken dat dit boek een boek is over de kwantummechanica, maar dat de bijgevoegde folder handelt over wiskundige logica, of wat nu de rekentheorie wordt genoemd. Dit is typerend voor de geschriften van Turing. Ik vroeg me af of Turing dit briefje persoonlijk heeft geschreven?
Zelfs tijdens het ontbijt zocht ik op internet naar voorbeelden van Turing's handschrift, maar vond geen voorbeelden in de vorm van berekeningen, dus ik kon geen conclusies trekken over de exacte identiteit van het handschrift. En al snel moesten we gaan. Ik pakte het boek zorgvuldig in, klaar om het mysterie te onthullen van welke pagina het was en wie het schreef, en nam het mee.
Over het boek
Laten we eerst het boek zelf bespreken. "» De velden van Dirac werden in 1930 in het Engels gepubliceerd en al snel in het Duits vertaald. (Het voorwoord van Dirac is gedateerd 29 mei 1930; het is van de vertaler - - 15 augustus 1930.) Het boek werd een mijlpaal in de ontwikkeling van de kwantummechanica, waarbij systematisch een duidelijk formalisme werd vastgelegd voor het uitvoeren van berekeningen, en onder andere Diracs voorspelling werd uitgelegd van , dat in 1932 wordt geopend.
Waarom had Alan Turing een boek in het Duits en niet in het Engels? Ik weet dit niet zeker, maar in die tijd was Duits de leidende taal van de wetenschap, en we weten dat Alan Turing het kon lezen. (Per slot van rekening in naam van zijn beroemde werken « (Entscheidungsproblem)" was een heel lang Duits woord - en in het grootste deel van het artikel werkt hij met tamelijk obscure gotische symbolen in de vorm van "Duitse letters" die hij gebruikte in plaats van bijvoorbeeld Griekse symbolen).
Heeft Alan Turing dit boek zelf gekocht of is het hem gegeven? Ik weet het niet. Op de binnenkant van de omslag van Turing's boek staat de potloodnotatie "20/-", wat de standaardnotatie was voor "20 shilling", vergelijkbaar met £ 1. Op de rechterpagina staat "26.9.30" weggevaagd, wat vermoedelijk 26 september 1930 betekent, mogelijk de datum waarop het boek voor het eerst werd gekocht. Dan, uiterst rechts, staat het gewiste getal ‘20’. Misschien is het weer de prijs. (Zou dit de prijs kunnen zijn? , ervan uitgaande dat het boek in Duitsland is verkocht? In die tijd was 1 Reichsmark ongeveer 1 schilling waard; de Duitse prijs zou bijvoorbeeld waarschijnlijk worden geschreven als "RM20".) Ten slotte staat er op de binnenzijde van de achteromslag "c 5/-" - misschien dit (met een grote korting) prijs voor een gebruikt boek.
Laten we eens kijken naar de belangrijkste data in het leven van Alan Turing. Alan Turing (toevallig precies 76 jaar geleden ). In de herfst van 1931 ging hij naar King's College, Cambridge. Hij behaalde zijn bachelordiploma na de standaardstudie van drie jaar in 1934.
In de jaren twintig en het begin van de jaren dertig was de kwantummechanica een hot topic, en Alan Turing was er zeker in geïnteresseerd. Uit zijn archieven weten we dat hij in 1920, zodra het boek verscheen, "»John von Neumann (op ). We weten ook dat Turing in 1935 een opdracht kreeg van een natuurkundige uit Cambridge over het onderwerp van het bestuderen van de kwantummechanica. (Fowler stelde voor om te rekenen , wat eigenlijk een zeer complex probleem is dat een volledige analyse vereist met interacterende kwantumveldentheorie, wat nog steeds niet volledig is opgelost).
En toch, wanneer en hoe kreeg Turing zijn exemplaar van Diracs boek? Aangezien het boek een duidelijke prijs heeft, heeft Turing het vermoedelijk tweedehands gekocht. Wie was de eerste eigenaar van het boek? De aantekeningen in het boek lijken in de eerste plaats over de logische structuur te gaan, waarbij wordt opgemerkt dat een bepaalde logische relatie als een axioma moet worden opgevat. Hoe zit het dan met de notitie op pagina 127?
Nou ja, misschien is het toeval, maar op pagina 127 spreekt Dirac over kwantum en legt er de basis voor – wat de basis is van al het moderne kwantumformalisme. Wat houdt de nota in? Het bevat een uitbreiding van vergelijking 14, de vergelijking voor de tijdsevolutie van de kwantumamplitude. De auteur van de notitie verving de Dirac A voor amplitude door ρ, wat misschien een eerdere (vloeistofdichtheidsanalogie) Duitse notatie weerspiegelde. De auteur probeert vervolgens de actie uit te breiden met bevoegdheden van ℏ (, gedeeld door 2π, ook wel genoemd ).
Maar er lijkt niet veel nuttige informatie te kunnen worden verzameld uit wat er op de pagina staat. Als je de pagina tegen het licht houdt, staat er een kleine verrassing op: een watermerk met de tekst “Z f. Fysiek. Chem. B":
Dit is de verkorte versie - een Duits tijdschrift over fysische chemie, dat in 1928 begon te publiceren. Misschien is het briefje geschreven door een tijdschriftredacteur? Hier is een tijdschriftkop uit 1933. Handig genoeg zijn de redacteuren per locatie gerangschikt, en één daarvan valt op: “Bourne · Cambridge.”
Dat is wat het is wie is de auteur en nog veel meer in de theorie van de kwantummechanica (evenals de grootvader van de zanger ). Dus dit briefje is misschien geschreven door Max Born? Maar helaas is dit niet het geval, omdat het handschrift niet overeenkomt.
Hoe zit het met de bladwijzer op pagina 231? Hier is het van beide kanten:
De bladwijzer is vreemd en best mooi. Maar wanneer is het gemaakt? In Cambridge wel , hoewel het nu onderdeel is van Blackwell. Ruim 70 jaar (tot 1970) was Heffers gevestigd op het adres, zoals uit de boekenlegger blijkt, и .
Dit tabblad bevat een belangrijke sleutel: dit is het telefoonnummer “Tel. 862". Toevallig schakelde het grootste deel van Cambridge (inclusief Heffers) in 1939 over op viercijferige nummers, en zeker in 1940 werden bladwijzers bedrukt met 'moderne' telefoonnummers. (Engelse telefoonnummers werden geleidelijk langer; toen ik in de jaren zestig in Engeland opgroeide, waren onze telefoonnummers "Oxford 1960" en "Kidmore End 56186". Een deel van de reden dat ik me deze nummers herinner is omdat, hoe vreemd het nu ook is het leek er niet op dat ik altijd mijn nummer belde als ik een inkomende oproep beantwoordde).
De bladwijzer werd tot 1939 in deze vorm gedrukt. Maar hoe lang daarvoor? Er zijn nogal wat scans van oude Heffers-advertenties online, die minstens teruggaan tot 1912 (samen met "We vragen dat u aan uw verzoeken voldoet..."). Ze vullen "Phone 862" aan door "(2 regels)" toe te voegen. Er zijn ook enkele bladwijzers met soortgelijke ontwerpen die terug te vinden zijn in boeken die teruggaan tot 1904 (hoewel het onduidelijk is of ze origineel waren voor deze boeken (dat wil zeggen tegelijkertijd gedrukt). Voor de doeleinden van ons onderzoek lijkt het erop dat we kan concluderen dat dit boek ergens tussen 1930 en 1939 afkomstig was van Heffer's (wat overigens de belangrijkste boekwinkel in Cambridge was).
Lambdarekening pagina
Nu weten we dus iets over wanneer het boek is gekocht. Maar hoe zit het met de “lambdacalculuspagina”? Wanneer is dit geschreven? Tegen die tijd had de lambda-calculus natuurlijk al uitgevonden moeten zijn. En het was klaar , wiskundige uit , in zijn oorspronkelijke vorm in 1932 en in zijn definitieve vorm in 1935. (Er waren werken van eerdere wetenschappers, maar zij gebruikten de notatie λ niet).
Er bestaat een complex verband tussen Alan Turing en lambdarekening. In 1935 raakte Turing geïnteresseerd in de 'mechanisatie' van wiskundige bewerkingen en bedacht hij het idee van een Turing-machine, die hij gebruikte om problemen in de fundamentele wiskunde op te lossen. Turing stuurde een artikel over dit onderwerp naar een Frans tijdschrift (), maar het ging verloren bij de post; en toen bleek dat de ontvanger naar wie hij het stuurde er toch niet was, aangezien hij naar China was verhuisd.
Maar in mei 1936, voordat Turing zijn artikel ergens anders naartoe kon sturen, . Turing had daar eerder over geklaagd toen hij het bewijs in 1934 ontwikkelde , toen ontdekte ik dat er een Noorse wiskundige was die dat al had gedaan in 1922 jaar.
Het is niet moeilijk in te zien dat Turing-machines en lambda-calculus effectief gelijkwaardig zijn wat betreft het soort berekeningen dat ze kunnen vertegenwoordigen (en dat is een begin ). Turing (en zijn leraar ) waren ervan overtuigd dat de aanpak van Turing anders genoeg was om een eigen publicatie te verdienen. In november 1936 (en met typefouten die de volgende maand werden gecorrigeerd) in Het beroemde artikel van Turing werd gepubliceerd .
Om de tijdlijn een beetje in te vullen: van september 1936 tot juli 1938 (met een pauze van drie maanden in de zomer van 1937) was Turing in Princeton, waar hij naartoe was gegaan met het doel een afgestudeerde student van de Alonzo Church te worden. Tijdens deze periode bij Princeton concentreerde Turing zich blijkbaar volledig op de wiskundige logica en schreef hij er verschillende , - en hoogstwaarschijnlijk had hij geen boek over de kwantummechanica bij zich.
Turing keerde in juli 1938 terug naar Cambridge, maar in september van dat jaar werkte hij parttime , en een jaar later verhuisde hij naar Bletchley Park met als doel daar fulltime te werken aan kwesties die verband hielden met cryptanalyse. Na het einde van de oorlog in 1945 verhuisde Turing naar Londen om voor te werken over de ontwikkeling van een project om te creëren . Hij bracht het academiejaar 1947-8 door in Cambridge, maar verhuisde daarna naar Manchester om zich te ontwikkelen .
In 1951 begon Turing serieus te studeren . (Voor mij persoonlijk is dit feit enigszins ironisch, omdat het mij lijkt dat Turing altijd onbewust heeft geloofd dat biologische systemen moeten worden gemodelleerd door differentiaalvergelijkingen, en niet door iets discreets als Turing-machines of cellulaire automaten). Hij richtte zijn interesse ook weer op de natuurkunde, en in 1954 zelfs , Wat: "Ik probeerde een nieuwe kwantummechanica uit te vinden" (hoewel hij eraan toevoegde: "maar in feite is het geen feit dat het zal lukken"). Maar helaas kwam aan alles abrupt een einde op 7 juni 1954, toen Turing plotseling stierf. (Ik vermoed dat het geen zelfmoord was, maar dat is een ander verhaal.)
Laten we dus teruggaan naar de lambdacalculuspagina. Laten we het tegen het licht houden en het watermerk opnieuw bekijken:
Het blijkt een stukje Brits papier te zijn, en het lijkt mij onwaarschijnlijk dat het in Princeton gebruikt zou zijn. Maar kunnen we het nauwkeurig dateren? Nou ja, niet zonder enige hulp weten we dat de officiële fabrikant van het papier Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londen was. Dit kan ons helpen, maar niet erg veel, aangezien kan worden aangenomen dat hun papiermerk Excelsior tussen 1890 en 1954 in de aanbodcatalogi lijkt te zijn opgenomen.
Wat zegt deze pagina?
Laten we dus eens nader bekijken wat er op beide zijden van het vel papier staat. Laten we beginnen met lambda's.
Hier is een manier om te bepalen , en ze zijn een basisconcept in de wiskundige logica, en nu in functioneel programmeren. Deze functies zijn vrij gebruikelijk in de taal , en hun taak is vrij eenvoudig uit te leggen. Iemand schrijft bijvoorbeeld f[x] om een functie aan te geven f, toegepast op het argument x. En er zijn veel benoemde functies f zoals of of . Maar wat als iemand dat wil? f[x] was 2x +1? Er is geen directe naam voor deze functie. Maar bestaat er ook een andere vorm van opdracht, f[x]?
Het antwoord is ja: in plaats daarvan f Wij schrijven Function[a,2a+1]. En in Wolfram-taal Function [a,2a+1][x] past functies toe op argument x en produceert 2x+1. Function[a,2a+1] is een "pure" of "anonieme" functie die de pure werking van vermenigvuldigen met 2 en optellen van 1 vertegenwoordigt.
Dus λ in lambda-calculus is een exacte analoog in de Wolfram-taal - en daarom bijvoorbeeld λa.(2 a+1) equivalent Function[a, 2a + 1]. (Het is de moeite waard om op te merken dat een functie, bijvoorbeeld Function[b,2b+1] equivalent; "gebonden variabelen" a of b zijn eenvoudigweg vervangingen van functieargumenten - en in de Wolfram-taal kunnen ze worden vermeden door alternatieve zuivere functiedefinities te gebruiken (2# +1)&).
In de traditionele wiskunde worden functies doorgaans gezien als objecten die invoer (die bijvoorbeeld ook gehele getallen zijn) en uitvoer (die bijvoorbeeld ook gehele getallen zijn) vertegenwoordigen. Maar wat voor voorwerp is dit? (of λ)? In wezen is het een structuuroperator die uitdrukkingen neemt en deze omzet in functies. Dit lijkt misschien een beetje vreemd vanuit het perspectief van de traditionele wiskunde en wiskundige notatie, maar als je willekeurige symboolmanipulatie moet uitvoeren, is het veel natuurlijker, ook al lijkt het in eerste instantie een beetje abstract. (Opgemerkt moet worden dat wanneer gebruikers de Wolfram-taal leren, ik altijd kan zien dat ze een bepaalde drempel van abstract denken hebben overschreden wanneer ze inzicht krijgen in ).
Lambda's zijn slechts een deel van wat er op de pagina aanwezig is. Er is nog een ander, nog abstracter concept: dit . Denk eens aan de nogal obscure string PI1IIx? Wat zou dit kunnen betekenen? In wezen is dit een reeks combinatoren, of een abstracte compositie van symbolische functies.
De gebruikelijke superpositie van functies, heel bekend in de wiskunde, kan in de Wolfram-taal worden geschreven als: f[g[x]] - wat 'solliciteren' betekent f naar het resultaat van de toepassing g к x" Maar zijn haakjes hiervoor echt nodig? In Wolfram-taal f@g@ x - een alternatieve vorm van opnemen. In dit bericht vertrouwen we op de definitie in de Wolfram-taal: de @-operator is geassocieerd met de rechterkant, dus f@g@x equivalent f@(g@x).
Maar wat gaat de opname betekenen? (f@g)@x? Dit is gelijkwaardig f[g][x]. En als f и g gewone functies in de wiskunde zouden zijn, zou het zinloos zijn, maar als f - dan f[g] zelf kan een functie zijn die heel goed kan worden toegepast x.
Merk op dat er hier nog steeds sprake is van enige complexiteit. IN f[х] - f is een functie van één argument. EN f[х] is gelijk aan schrijven Function[a, f[a]][x]. Maar hoe zit het bijvoorbeeld met een functie met twee argumenten f[x,y]? Dit kan worden geschreven als Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Maar wat als Function[{a},f[a,b]]? Wat is dit? Er is hier een "vrije variabele". b, die eenvoudigweg aan de functie wordt doorgegeven. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] zal deze variabele binden en vervolgens Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] opnieuw. (Het specificeren van een functie zodat deze één argument heeft, wordt "currying" genoemd ter ere van de genoemde logicus ).
Als er vrije variabelen zijn, dan zijn er veel verschillende complexiteiten met betrekking tot de manier waarop functies kunnen worden gedefinieerd, maar als we ons beperken tot objecten of λ, die geen vrije variabelen hebben, dan kunnen ze in principe vrij worden gespecificeerd. Dergelijke objecten worden combinatoren genoemd.
Combinatoren hebben een lange geschiedenis. Het is bekend dat ze voor het eerst in 1920 door een student werden voorgesteld - .
Destijds werd pas zeer onlangs ontdekt dat het niet nodig was de uitdrukkingen te gebruiken , и om uitdrukkingen weer te geven in de standaard propositielogica: het was voldoende om één enkele operator te gebruiken, die we nu zullen noemen (want als je bijvoorbeeld schrijft als · toen Or[a,b] de vorm zal aannemen ). Schoenfinkel wilde dezelfde minimale representatie van predicaatlogica vinden, of, in wezen, logica inclusief functies.
Hij bedacht twee “combinatoren” S en K. In de Wolfram-taal wordt dit geschreven als
K[x_][y_] → x en S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Opmerkelijk is dat het mogelijk bleek om met deze twee combinatoren elke berekening uit te voeren. Bijvoorbeeld,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan als functie worden gebruikt om twee gehele getallen op te tellen.
Dit zijn op zijn zachtst gezegd allemaal nogal abstracte objecten, maar nu we begrijpen wat Turing-machines en lambda-calculus zijn, kunnen we zien dat Schoenfinkel-combinatoren feitelijk anticipeerden op het concept van universeel computergebruik. (En wat nog opmerkelijker is, is dat de definities van S en K uit 1920 minimaal eenvoudig zijn en doen denken aan , dat ik in de jaren negentig voorstelde en waarvan de veelzijdigheid was ).
Maar laten we terugkeren naar ons blad en onze lijn PI1IIx. De hier geschreven symbolen zijn combinatoren en ze zijn allemaal ontworpen om een functie te specificeren. Hier is de definitie dat de superpositie van functies associatief moet blijven, zodat fgx moet niet worden geïnterpreteerd als f@g@x of f@(g@x) of f[g[x]], maar eerder als (f@g)@x of f[g][x]. Laten we dit bericht vertalen in een formulier dat handig is voor gebruik door de Wolfram-taal: PI1IIx de vorm zal aannemen p[i][een][i][i][x].
Waarom zoiets schrijven? Om dit uit te leggen moeten we het concept van kerknummers (genoemd naar de Alonzo-kerk) bespreken. Laten we zeggen dat we alleen maar met symbolen en lambda's of combinatoren werken. Is er een manier om ze te gebruiken om gehele getallen op te geven?
Zullen we gewoon dat nummer zeggen? n komt overeen met Function[x, Nest[f,x,n]]? Of, met andere woorden, dat (in kortere notatie):
1 is f[#]&
2 is f[f[#]]&
3 is f[f[f[#]]]& enzovoort.
Dit lijkt misschien allemaal wat onduidelijker, maar de reden dat het interessant is, is dat het ons in staat stelt alles volledig symbolisch en abstract te maken, zonder dat we expliciet over zoiets als gehele getallen hoeven te praten.
Stel je bij deze methode voor het specificeren van getallen voor dat je bijvoorbeeld twee getallen optelt: 3 kan worden weergegeven als f[f[f[#]]]& en 2 is f[f[#]]&. Je kunt ze bij elkaar optellen door simpelweg de ene op de andere toe te passen:
Maar wat is het voorwerp? f? Het kan van alles zijn! In zekere zin "ga helemaal naar lambda" en geef getallen weer met behulp van functies die nemen f als argument. Met andere woorden, laten we 3 bijvoorbeeld voorstellen als Function[f,f[f[f[#]]] &] of Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (wanneer en hoe je variabelen een naam moet geven, is de rub in lambda-calculus).
Beschouw eens een fragment uit het artikel van Turing uit 1937 , waarmee objecten precies worden ingesteld zoals we zojuist hebben besproken:
Dit is waar de opname een beetje verwarrend kan worden. x Turing is van ons f, En zijn X' (de typiste heeft een fout gemaakt door een spatie in te voegen) - dit is onze x. Maar hier wordt precies dezelfde aanpak gebruikt.
Laten we dus eens kijken naar de lijn net na de vouw aan de voorkant van het papier. Dit I1IIIYI1IIx. Volgens de Wolfram Language-notatie zou dit zo zijn i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Maar hier is i de identiteitsfunctie, dus i[one] het laat het gewoon zien een. in de tussentijd, een is de numerieke weergave van Church voor 1 of Function[f,f[#]&]. Maar met deze definitie one[а] is aan het worden a[#]& и one[a][b] is aan het worden a[b]. (Trouwens, i[а][b]Of Identity[а][b] is ook а[b]).
Het zal veel duidelijker zijn als we de vervangingsregels voor opschrijven i и een, in plaats van lambda-calculus rechtstreeks toe te passen. Het resultaat zal hetzelfde zijn. Pas deze regels expliciet toe, we krijgen:
En dit is precies hetzelfde als gepresenteerd in het eerste verkorte item:
Laten we nu opnieuw naar het blad kijken, bovenaan:
Er zijn hier enkele nogal verwarrende en verwarrende objecten "E" en "D", maar hiermee bedoelen we "P" en "Q", dus we kunnen de uitdrukking uitschrijven en evalueren (merk op dat hier - na enige verwarring met de allerlaatste symbool - de “mysterieuze wetenschapper” zet […] en (...) om de toepassing van de functie weer te geven):
Dit is dus de eerste afkorting die wordt weergegeven. Laten we, voor meer informatie, de definities voor Q toevoegen:
We krijgen precies de volgende reductie weergegeven. Wat gebeurt er als we uitdrukkingen voor P vervangen?
Hier is het resultaat:
En nu, gebruikmakend van het feit dat i een functie is die het argument zelf uitvoert, krijgen we:
Oooooops! Maar dit is niet de volgende opgenomen regel. Is hier sprake van een fout? Niet helder. Want in tegenstelling tot de meeste andere gevallen is er immers geen pijl die aangeeft dat de volgende regel uit de vorige volgt.
Er is hier een beetje een mysterie, maar laten we verder gaan naar de onderkant van het blad:
Hier is 2 het kerknummer, bijvoorbeeld bepaald door het patroon two[a_] [b_] → a[a[b]]. Merk op dat dit feitelijk de vorm is van de tweede regel als a wordt beschouwd als Function[r,r[р]] и b hoe q. We verwachten dus dat het resultaat van de berekening als volgt zal zijn:
Echter, de uitdrukking binnenin а[b] kan worden geschreven als x (waarschijnlijk anders dan de x die eerder op het stuk papier is geschreven) - uiteindelijk krijgen we het eindresultaat:
We kunnen dus weinig ontcijferen van wat er op dit stukje papier gebeurt, maar er is tenminste één mysterie dat nog steeds overblijft: wat Y zou moeten zijn.
In feite bestaat er in de combinatorische logica een standaard Y-combinator: de zogenaamde . Formeel wordt het gedefinieerd door het feit dat Y[f] moet gelijk zijn f[Y[f]], of, met andere woorden, dat Y[f] verandert niet als f wordt toegepast, dus het is een vast punt voor f. (De combinator Y is geassocieerd met #0 in de Wolfram-taal.)
Momenteel is de Y-combinator beroemd geworden dankzij , zo genoemd (die al heel lang fan is и en implementeerde de allereerste webwinkel op basis van deze taal). Hij vertelde mij ooit persoonlijk "niemand begrijpt wat een Y-combinator is" (Opgemerkt moet worden dat Y Combinator precies is wat bedrijven in staat stelt vaste-punttransacties te vermijden...)
De Y-combinator (als vastpuntcombinator) is meerdere malen uitgevonden. Turing bedacht er in 1937 een implementatie van, die hij Θ noemde. Maar is de letter "Y" op onze pagina de beroemde vastpuntcombinator? Misschien niet. Dus wat is onze “Y”? Denk eens aan deze afkorting:
Maar deze informatie is duidelijk niet voldoende om ondubbelzinnig vast te stellen wat Y is. Het is duidelijk dat Y niet alleen met één argument werkt; het lijkt erop dat er minstens twee argumenten bij betrokken zijn, maar het is onduidelijk (althans voor mij) hoeveel argumenten er als input nodig zijn en wat het doet.
Hoewel we veel delen van het document kunnen begrijpen, moeten we tenslotte zeggen dat het op mondiale schaal niet duidelijk is wat ermee is gedaan. Hoewel er veel uitleg nodig is over wat hier op het blad staat, is het vrij eenvoudig in lambda-calculus en het gebruik van combinatoren.
Vermoedelijk is dit een poging om een eenvoudig "programma" te maken - met behulp van lambda-calculus en combinatoren om iets te doen. Maar hoe typisch dit ook is voor reverse engineering, het is voor ons moeilijk om te zeggen wat dat ‘iets’ zou moeten zijn en wat het algemene ‘verklaarbare’ doel is.
Er staat nog een kenmerk op het blad dat de moeite waard is om hier commentaar op te geven: het gebruik van verschillende soorten haakjes. Traditionele wiskunde gebruikt meestal haakjes voor alles - en functietoepassingen (zoals in f (x)), en groeperingen van leden (zoals in (1+x) (1-x), of, minder duidelijk, een(1-x)). (In de Wolfram-taal scheiden we de verschillende toepassingen van haakjes – tussen vierkante haken om functies te definiëren f [x] - en haakjes worden alleen gebruikt voor groeperen).
Toen lambdarekening voor het eerst verscheen, waren er veel vragen over het gebruik van haakjes. Alan Turing zou later een heel (ongepubliceerd) werk schrijven met de titel”, maar al in 1937 vond hij dat hij de moderne (nogal hacky) definities voor lambda-calculus (die overigens vanwege Church verscheen) moest beschrijven.
Hij zei dat f, toegepast op g, geschreven moeten worden {f}(g), Als maar f is niet het enige personage, in dit geval zou dat wel het geval kunnen zijn f(g). Toen zei hij lambda (zoals in Function[a, b]) moet worden geschreven als λ a[b] of, als alternatief, λ a.b.
Maar misschien was in 1940 het hele idee om {...} en […] te gebruiken om verschillende objecten weer te geven verlaten, grotendeels ten gunste van standaard haakjes in wiskundige stijl.
Kijk eens bovenaan de pagina:
In deze vorm is het moeilijk te begrijpen. In de definities van Church zijn vierkante haakjes bedoeld voor groepering, waarbij een open haakje de punt vervangt. Met behulp van deze definitie wordt het duidelijk dat de Q (uiteindelijk aangeduid met D), tussen haakjes aan het einde, de volledige initiële lambda is waarop de gehele initiële lambda van toepassing is.
De vierkante haak bakent hier niet echt het lichaam van de lambda af; in plaats daarvan vertegenwoordigt het feitelijk een ander gebruik van de functie, en er is geen expliciete indicatie van waar het lichaam van de lambda eindigt. Aan het einde is te zien dat de ‘mysterieuze wetenschapper’ het afsluitende vierkante haakje heeft veranderd in een rond haakje, waarmee hij de definitie van Church effectief heeft toegepast – en daardoor heeft gedwongen de uitdrukking te berekenen zoals weergegeven op het blad.
Wat betekent dit kleine stukje eigenlijk? Ik denk dat dit erop wijst dat de pagina in de jaren dertig is geschreven, of niet zo lang daarna, aangezien de conventies voor haakjes tot die tijd nog niet waren ingeburgerd.
Wiens handschrift was dit eigenlijk?
Dus hiervoor hebben we gesproken over wat er op de pagina staat. Maar hoe zit het met wie het eigenlijk heeft geschreven?
De meest voor de hand liggende kandidaat voor deze rol zou Alan Turing zelf zijn, aangezien de pagina tenslotte in zijn boek stond. Qua inhoud lijkt er niets onverenigbaar te zijn met het idee dat Alan Turing het geschreven zou kunnen hebben - zelfs toen hij voor het eerst grip kreeg op de lambda-calculus nadat hij het artikel van Church begin 1936 had ontvangen.
Hoe zit het met handschrift? Is het van Alan Turing? Laten we eens kijken naar een paar overgebleven voorbeelden waarvan we zeker weten dat ze zijn geschreven door Alan Turing:
De gepresenteerde tekst ziet er uiteraard heel anders uit, maar hoe zit het met de notatie die in de tekst wordt gebruikt? Naar mijn mening ziet het er in ieder geval niet zo voor de hand liggend uit - en men kan aannemen dat elk verschil juist kan worden veroorzaakt door het feit dat de bestaande voorbeelden (gepresenteerd in de archieven) als het ware 'aan de oppervlakte' zijn geschreven, 'terwijl de onze de pagina juist een weerspiegeling is van het denkwerk.
Voor ons onderzoek bleek het handig dat Turing's archief een pagina bevat waarop hij schreef , noodzakelijk voor notatie. En als ik deze symbolen letter voor letter vergeleek, lijken ze voor mij behoorlijk op elkaar (deze aantekeningen zijn gemaakt in Turing toen hij studeerde , vandaar het label “bladoppervlak”):
Ik wilde dit verder onderzoeken, dus stuurde ik monsters , een professionele handschriftexpert (en auteur van op handschrift gebaseerde problemen) die ik ooit heb mogen ontmoeten - simpelweg door ons artikel te presenteren als 'Voorbeeld 'A'' en een bestaand voorbeeld van Turing's handschrift als 'Voorbeeld 'B'.' Haar antwoord was definitief en ontkennend: "De schrijfstijl is compleet anders. Wat persoonlijkheid betreft, heeft voorbeeldauteur "B" een snellere en intuïtievere denkstijl dan voorbeeldauteur "A"..
Ik was nog niet helemaal overtuigd, maar besloot dat het tijd was om naar andere opties te kijken.
Dus als blijkt dat Turing het niet heeft geschreven, wie dan wel? Norman Routledge vertelde me dat hij het boek had ontvangen van Robin Gandy, de executeur-testamentair van Turing. Dus stuurde ik "Voorbeeld "C"" van Gandhi:
Maar Sheila's aanvankelijke conclusie was dat de drie samples waarschijnlijk door drie verschillende mensen waren geschreven, waarbij ze opnieuw opmerkte dat sample "B" afkomstig was van "de snelste denker: degene die waarschijnlijk het meest bereid is om naar ongebruikelijke oplossingen voor problemen te zoeken" (Ik vind het verfrissend dat een moderne handschriftexpert deze beoordeling van Turing's handschrift zou geven, gezien hoeveel iedereen klaagde over zijn handschrift tijdens de schoolopdrachten van Turing in de jaren twintig.)
Welnu, op dit punt leek het erop dat zowel Turing als Gandhi waren uitgesloten als ‘verdachten’. Dus wie had dit kunnen schrijven? Ik begon na te denken over de mensen aan wie Turing zijn boek zou hebben uitgeleend. Uiteraard moeten ze ook kunnen rekenen met lambdacalculus.
Gezien het watermerk op het papier ging ik ervan uit dat de persoon uit Cambridge kwam, of in ieder geval uit Engeland. Ik nam als werkhypothese aan dat ongeveer 1936 een goed moment was om dit te schrijven. Dus wie kende en communiceerde Turing op dat moment? Voor deze periode hebben we een lijst verkregen van alle studenten en docenten wiskunde aan King's College. (Er waren 13 bekende studenten die van 1930 tot 1936 studeerden.)
En van hen leek de meest veelbelovende kandidaat . Hij was even oud als Turing, zijn oude vriend, en hij was ook geïnteresseerd in fundamentele wiskunde; in 1933 publiceerde hij zelfs een artikel over wat we nu noemen : 0.12345678910111213… (verkregen door 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, en een van de weinige cijfers in de zin dat elk mogelijk blok cijfers met gelijke waarschijnlijkheid voorkomt).
In 1937 gebruikte hij zelfs de gammamatrices van Dirac, zoals vermeld in Diracs boek, om problemen op te lossen . (Toevallig werd ik jaren later een grote fan van gammamatrixberekeningen).
Champernowne begon wiskunde te studeren en raakte onder invloed (ook aan King's College) en werd uiteindelijk een vooraanstaand econoom, die zich vooral bezighield met inkomensongelijkheid. (In 1948 werkte hij echter ook samen met Turing om te creëren - een schaakprogramma, dat vrijwel het eerste ter wereld werd dat op een computer werd geïmplementeerd).
Maar waar kon ik een voorbeeld van Champernowne's handschrift vinden? Al snel vond ik zijn zoon Arthur Champernowne op LinkedIn, die vreemd genoeg een graad in wiskundige logica had en voor Microsoft werkte. Hij zei dat zijn vader veel met hem over het werk van Turing sprak, hoewel hij combinators niet noemde. Hij stuurde mij een voorbeeld van het handschrift van zijn vader (een fragment over algoritmische muziekcompositie):
Je kunt meteen zien dat de handschriften niet overeenkwamen (krullen en staarten in de letters f in het handschrift van Champernowne, enz.)
Dus wie zou het anders kunnen zijn? Ik heb altijd bewondering gehad , in veel opzichten een mentor voor Alan Turing. Newman interesseerde Turing eerst"mechanisering van de wiskunde"was zijn oude vriend en werd jaren later zijn baas bij een computerproject in Manchester. (Ondanks zijn interesse in berekeningen lijkt Newman zichzelf altijd in de eerste plaats als een topoloog te hebben gezien, hoewel zijn conclusies werden ondersteund door een foutief bewijs dat hij ontleende aan ).
Het was niet moeilijk om een voorbeeld van Newmans handschrift te vinden - en nogmaals, nee, de handschriften kwamen beslist niet overeen.
"Trace" van het boek
Het idee om handschriften te identificeren mislukte dus. En ik besloot dat de volgende stap was om wat gedetailleerder na te gaan wat er feitelijk gebeurde met het boek dat ik in mijn handen hield.
Dus allereerst: wat was het langere verhaal met Norman Rutledge? Hij ging in 1946 naar King's College, Cambridge en ontmoette Turing (ja, ze waren allebei homo). Hij studeerde in 1949 af aan de universiteit en begon vervolgens zijn proefschrift te schrijven met Turing als zijn adviseur. Hij promoveerde in 1954 op wiskundige logica en recursietheorie. Hij ontving een persoonlijke studiebeurs voor King's College en in 1957 werd hij daar hoofd van de wiskundeafdeling. Hij had dit zijn hele leven kunnen doen, maar hij had brede interesses (muziek, kunst, architectuur, recreatieve wiskunde, genealogie, etc.). In 1960 veranderde hij zijn academische richting en werd leraar aan Eton, waar generaties studenten (waaronder ikzelf) werkten (en studeerden) en werden blootgesteld aan zijn eclectische en soms zelfs vreemde kennis.
Zou Norman Routledge deze mysterieuze pagina zelf kunnen hebben geschreven? Hij kende lambda-calculus (hoewel hij het toevallig zei toen we in 2005 thee dronken dat hij het altijd "verwarrend" vond). Zijn karakteristieke handschrift sluit hem echter onmiddellijk uit als een mogelijke ‘mysterieuze wetenschapper’.
Zou de pagina op de een of andere manier verband kunnen houden met een student van Norman, misschien uit de tijd dat hij nog in Cambridge zat? Ik betwijfel. Omdat ik denk dat Norman nooit lambda-calculus of iets dergelijks heeft bestudeerd. Terwijl ik dit artikel schreef, ontdekte ik dat Norman in 1955 een artikel had geschreven over het creëren van logica op "elektronische computers" (en het creëren van conjunctieve normaalvormen, zoals de ingebouwde functie nu doet ). Toen ik Norman kende, was hij erg geïnteresseerd in het schrijven van hulpprogramma's voor echte computers (zijn initialen waren "NAR", en hij noemde zijn programma's "NAR...", bijvoorbeeld "NARLAB", een programma voor het maken van tekstlabels met behulp van geperforeerde gaten "patronen" "op papieren tape). Maar hij sprak nooit over theoretische rekenmodellen.
Laten we de notitie van Norman in het boek eens wat nader lezen. Het eerste wat ons zal opvallen is dat hij het heeft over "het aanbieden van boeken uit de bibliotheek van de overledene" En uit de formulering lijkt het alsof het allemaal vrij snel gebeurde nadat de man stierf, wat suggereert dat Norman het boek kort na de dood van Turing in 1954 ontving, en dat Gandhi het al een behoorlijk lange tijd had gemist. Norman vervolgt met te zeggen dat hij feitelijk vier boeken heeft ontvangen, twee over zuivere wiskunde en twee over theoretische natuurkunde.
Toen zei hij dat hij gaf "een ander uit een natuurkundeboek (soort van, )""Aan Sebag Montefiore, een aardige jongeman die je je misschien herinnert [George Rutter]" Oké, dus wie is hij? Ik heb mijn zelden gebruikte ledenlijst opgegraven . (Ik moet melden dat ik bij het openen ervan de regels sinds 1902 opmerkte, waarvan de eerste, onder het kopje "Rechten van leden", grappig klonk: "Kleed je in de kleuren van de vereniging").
Hieraan moet worden toegevoegd dat ik waarschijnlijk nooit lid zou zijn geworden van deze vereniging of dit boek zou hebben ontvangen als er niet de aandrang was geweest van een Eton-vriend genaamd , die al sinds zijn twaalfde van plan was om ooit premier te worden, maar helaas op 12-jarige leeftijd overleed).
Maar in ieder geval waren er slechts vijf van de mensen met de achternaam Sebag-Montefiore op de lijst, met een breed scala aan trainingsdata. Het was niet moeilijk te begrijpen dat het geschikt was . Kleine wereld, zo blijkt: zijn familie was Bletchley Park, voordat hij het in 1938 aan de Britse overheid verkocht. En in 2000 schreef Sebag-Montefiore - dit is naar alle waarschijnlijkheid de reden waarom Norman in 2002 besloot hem het boek te geven dat Turing bezat.
Oké, hoe zit het met de andere boeken die Norman van Turing kreeg? Omdat ik geen andere manier had om erachter te komen wat er met hen was gebeurd, bestelde ik een kopie van Normans testament. De laatste clausule van het testament was duidelijk in Normans stijl:
In het testament stond dat de boeken van Norman op King's College moesten worden achtergelaten. En hoewel zijn volledige boekencollectie nergens te vinden lijkt te zijn, worden de twee boeken van Turing over zuivere wiskunde, die hij in zijn notitie noemde, nu naar behoren gearchiveerd in de King's College Library.
Volgende vraag: wat is er met de andere boeken van Turing gebeurd? Ik keek naar het testament van Turing, waaruit bleek dat ze allemaal aan Robin Gandy werden overgelaten.
Gandhi was een wiskundestudent aan King's College, Cambridge, die in 1940 in zijn laatste jaar op de universiteit bevriend raakte met Alan Turing. Aan het begin van de oorlog werkte Gandhi op de radio en op de radar, maar in 1944 werd hij bij dezelfde eenheid als Turing ingedeeld en werkte hij aan spraakversleuteling. En na de oorlog keerde Gandhi terug naar Cambridge, waar hij al snel promoveerde, en Turing werd zijn adviseur.
Zijn werk in het leger leidde er blijkbaar toe dat hij geïnteresseerd raakte in de natuurkunde, en zijn proefschrift, voltooid in 1952, was getiteld . Wat Gandhi leek te proberen, was misschien om natuurkundige theorieën te karakteriseren in termen van wiskundige logica. Hij praat over и , maar niet over Turingmachines. En uit wat we nu weten, denk ik dat we kunnen concluderen dat hij het punt nogal gemist heeft. En inderdaad, heeft sinds het begin van de jaren tachtig betoogd dat fysieke processen moeten worden beschouwd als ‘verschillende berekeningen’ – bijvoorbeeld als Turing-machines of cellulaire automaten – in plaats van als stellingen die moeten worden afgeleid. (Gandhi bespreekt heel mooi de volgorde van typen die betrokken zijn bij natuurkundige theorieën, door bijvoorbeeld te zeggen dat ‘Ik geloof dat de volgorde van elk berekenbaar decimaal getal in binaire vorm kleiner is dan acht"). Hij zei dat "Een van de redenen waarom de moderne kwantumveldentheorie zo complex is, is alleen maar omdat zij zich bezighoudt met objecten van een nogal complex type: functionele functies van functies...", wat uiteindelijk betekent dat"we zouden heel goed het grootste type gemeenschappelijk gebruik kunnen nemen als maatstaf voor wiskundige vooruitgang".)
Gandhi noemt Turing verschillende keren in het proefschrift en merkt in de inleiding op dat hij schatplichtig is aan A. M. Turing, die "vestigde eerst zijn enigszins ongerichte aandacht op de calculus van Church"(dat wil zeggen lambda-calculus), hoewel zijn proefschrift in feite verschillende lambda-bewijzen bevat.
Na het verdedigen van zijn proefschrift wendde Gandhi zich tot een zuiverdere wiskundige logica en schreef meer dan dertig jaar lang artikelen met een snelheid van één per jaar, en deze artikelen werden met succes geciteerd in de gemeenschap van internationale wiskundige logica. Hij verhuisde in 1969 naar Oxford en ik denk dat ik hem in mijn jeugd moet hebben ontmoet, ook al heb ik daar geen herinnering aan.
Gandhi had Turing blijkbaar enorm verafgood en sprak in latere jaren vaak over hem. Dit roept de vraag op naar de volledige verzameling werken van Turing. Kort na de dood van Turing vroegen Sarah Turing en Max Newman Gandhi – als zijn executeur – om de publicatie van Turing’s ongepubliceerde werken te regelen. De jaren gingen voorbij en weerspiegelen de frustratie van Sarah Turing over deze kwestie. Maar op de een of andere manier leek Gandhi nooit van plan te zijn geweest Turing's papieren op een rij te zetten.
Gandhi stierf in 1995 zonder de voltooide werken samen te brengen. - literair criticus en biograaf , die Turing ontmoette op King's College, was Turing's literair agent, en hij begon uiteindelijk aan Turing's verzamelde werken te werken. Het meest controversiële leek het boek over wiskundige logica te zijn, waarvoor hij zijn eerste serieuze afgestudeerde student, Robin Gandy, een zekere , die brieven aan Gandhi vond over verzamelde werken waar al 24 jaar niet meer mee was begonnen. ( verscheen uiteindelijk in 2001 - 45 jaar na hun vrijlating).
Maar hoe zit het met de boeken die Turing persoonlijk bezat? Ik bleef proberen ze op te sporen en mijn volgende stop was de familie Turing, en in het bijzonder de jongste zoon van Turing's broer, (die eigenlijk Sir Dermot Turing is, omdat hij dat was , deze titel ging niet via Alan in de Turing-familie naar hem toe). Dermot Turing (die onlangs schreef ) vertelde me over "Turing's grootmoeder" (ook bekend als Sarah Turing), haar huis deelde blijkbaar een tuiningang met zijn familie, en nog veel meer dingen over Alan Turing. Hij vertelde me dat de persoonlijke boeken van Alan Turing nooit in hun familie waren geweest.
Dus ging ik verder met het lezen van de testamenten en ontdekte dat Gandhi's executeur-testamentair zijn leerling Mike Yates was. Ik hoorde dat Mike Yates dertig jaar geleden met pensioen ging als hoogleraar en nu in Noord-Wales woont. Hij zei dat hij in de decennia dat hij aan wiskundige logica en computationele theorie werkte, nooit echt een computer had aangeraakt, maar dat hij dat uiteindelijk wel deed toen hij met pensioen ging (en dit gebeurde kort nadat hij het programma had ontdekt ). Hij zei hoe geweldig het was dat Turing zo beroemd was geworden, en dat toen hij slechts drie jaar na de dood van Turing in Manchester aankwam, niemand het over Turing had, zelfs niet Max Newman toen hij een cursus logica gaf. Gandy vertelde later echter hoe enthousiast hij werd over de omgang met Turing's verzameling werken, en liet ze uiteindelijk allemaal aan Mike over.
Wat wist Mike over de boeken van Turing? Hij vond een van Turing's handgeschreven notitieboekjes, die Gandhi niet aan King's College gaf omdat Gandhi het (vreemd genoeg) gebruikte als vermomming voor de aantekeningen die hij over zijn dromen bijhield. (Turing hield ook aantekeningen bij van zijn dromen, die na zijn dood werden vernietigd.) Mike zei dat het notitieboekje onlangs op een veiling voor ongeveer $ 1 miljoen werd verkocht. En dat hij anders niet zou hebben gedacht dat er onder Gandhi's spullen Turing-materialen zaten.
Het leek erop dat al onze opties waren opgedroogd, maar Mike vroeg me om naar dat mysterieuze stukje papier te kijken. En meteen zei hij: “Dit is het handschrift van Robin Gandy!» Hij zei dat hij in de loop der jaren zoveel dingen had gezien. En hij was er zeker van. Hij zei dat hij niet veel wist over lambda-calculus en de pagina niet echt kon lezen, maar hij was er zeker van dat Robin Gandy het had geschreven.
We gingen terug naar onze handschriftexpert met meer voorbeelden en zij was het ermee eens dat wat daar stond, overeenkwam met Gandhi's handschrift. Dus uiteindelijk zijn we er achter gekomen: Robin Gandy schreef dat mysterieuze stukje papier. Het is niet geschreven door Alan Turing; het is geschreven door zijn leerling Robin Gandy.
Natuurlijk blijven er nog steeds enkele mysteries bestaan. Turing zou Gandhi het boek hebben uitgeleend, maar wanneer? Door de vorm van de lambda-calculus-notatie lijkt het alsof het rond de jaren dertig was. Maar afgaande op de commentaren op Gandhi's proefschrift zou hij tot eind jaren veertig waarschijnlijk niets met lambda-calculus doen. De vraag rijst dan waarom Gandhi dit schreef. Dit lijkt niet direct verband te houden met zijn proefschrift, dus het kan zijn geweest toen hij voor het eerst de lambda-rekening probeerde te achterhalen.
Ik betwijfel of we ooit de waarheid zullen weten, maar het was zeker leuk om erachter te komen. Hier moet ik zeggen dat deze hele reis veel heeft bijgedragen aan het vergroten van mijn begrip van hoe complex de geschiedenis van soortgelijke boeken uit de afgelopen eeuwen, die ik in het bijzonder bezit, kan zijn. Dit doet me denken dat ik er beter voor kan zorgen dat ik al hun pagina's bekijk - gewoon om te zien wat daar interessant kan zijn...
Bedankt voor de hulp aan: Jonathan Gorard (Cambridge Private Studies), Dana Scott (Wiskundige Logica) en Matthew Szudzik (Wiskundige Logica).
Over vertalingVertaling van het bericht van Stephen Wolfram "".
Ik spreek mijn diepe dankbaarheid uit и voor hulp bij vertaling en voorbereiding van publicatie.
Wilt u leren programmeren in de Wolfram-taal?
Kijk wekelijks .
. Klaar .
over Wolfram-taal.
Bron: www.habr.com