Hvordan fikk jeg tak i denne boken?
I mai 2017 mottok jeg en e-post fra min gamle videregående lærer ved navn George Rutter der han skrev: "Jeg har et eksemplar av Diracs flotte bok på tysk (Die Prinzipien der Quantenmechanik), som tilhørte Alan Turing, og etter å ha lest boken din , det virket for meg selvinnlysende at du er akkurat den personen som trenger det" Han forklarte meg at han mottok boken fra en annen (på da avdøde) skolelærer av meg , som jeg visste var en venn av Alan Turing. George avsluttet brevet med setningen: "Hvis du vil ha denne boken, kan jeg gi den til deg neste gang du kommer til England'.
Et par år senere, i mars 2019, kom jeg faktisk til England, hvoretter jeg avtalte å møte George til frokost på et lite hotell i Oxford. Vi spiste, pratet og ventet på at maten skulle sette seg. Da var det et godt tidspunkt å diskutere boka. George strakte seg ned i kofferten og trakk frem et ganske beskjedent utformet, typisk akademisk bind fra midten av 1900-tallet.
Jeg åpnet dekselet og lurte på om det kunne være noe på baksiden som sto: "Eiendom til Alan Turing" eller noe sånt. Men dette viste seg dessverre ikke å være tilfelle. Imidlertid ble den akkompagnert av et ganske uttrykksfullt firesiders notat fra Norman Routledge til George Rutter, skrevet i 2002.
Jeg kjente Norman Rutledge da jeg var student в tidlig på 1970-tallet. Han var en matematikklærer med kallenavnet "Nutty Norman." Han var en trivelig lærer på alle måter og fortalte uendelige historier om matematikk og alt mulig annet interessant. Han var ansvarlig for å sørge for at skolen fikk en datamaskin (programmert med stanset tape på skrivebordet) - det var .
På den tiden visste jeg ingenting om Normans bakgrunn (husk at dette var lenge før Internett). Alt jeg visste var at han var «Dr. Rutledge». Han fortalte historier om Cambridge-folket ganske ofte, men han nevnte aldri Alan Turing i historiene sine. Turing var selvfølgelig ikke særlig kjent ennå (selv om jeg, som det viser seg, allerede hadde hørt om ham fra noen som kjente ham i (herskapshuset der krypteringssenteret lå under andre verdenskrig)).
Alan Turing ble ikke kjent før i 1981, da jeg først , men da fortsatt i sammenheng med cellulære automater, og ikke .
Når plutselig en dag, mens du ser gjennom en katalog med kort i biblioteket , kom jeg over en bok , skrevet av moren Sarah Turing. Boken inneholdt mye informasjon, blant annet om Turings upubliserte vitenskapelige arbeider om biologi. Jeg lærte imidlertid ikke noe om forholdet hans til Norman Routledge, siden ingenting ble nevnt om ham i boken (selv om, som jeg fant ut, Sarah Turing , og Norman endte til og med opp med å skrive ).
Ti år senere, ekstremt nysgjerrig på Turing og hans (da upubliserte) , Jeg besøkte в . Snart, etter å ha blitt kjent med hva de hadde av Turings arbeid, og etter å ha brukt litt tid på det, tenkte jeg at jeg like gjerne kunne be om å se hans personlige korrespondanse også. Mens jeg så gjennom det, oppdaget jeg fra Alan Turing til Norman Routledge.
På den tiden ble den publisert Andrew Hodges, som gjorde så mye for å sikre at Turing til slutt ble berømt, bekreftet at Alan Turing og Norman Routledge virkelig var venner, og også at Turing var Normans vitenskapelige rådgiver. Jeg ville spørre Routledge om Turing, men da var Norman allerede pensjonert og levde et tilbaketrukket liv. Men da jeg fullførte arbeidet med boken "” i 2002 (etter min ti år lange isolasjon), sporet jeg ham opp og sendte ham en kopi av boken med overskriften “Til min siste matematikklærer.” Så han og jeg litt , og i 2005 kom jeg tilbake til England og avtalte å møte Norman for te på et luksushotell i London sentrum.
Vi hadde en hyggelig prat om mange ting, inkludert Alan Turing. Norman begynte samtalen vår med å fortelle oss at han faktisk kjente Turing, for det meste overfladisk, for 50 år siden. Men likevel hadde han noe å fortelle om ham personlig: "Han var usosial. " "Han fniste mye. " "Han kunne egentlig ikke snakke med ikke-matematikere. " "Han var alltid redd for å irritere moren sin. " "Han gikk ut på dagen og løp et maraton. " "Han var ikke for ambisiøs" Samtalen dreide seg deretter om Normans personlighet. Han sa at selv om han har vært pensjonist i 16 år, skriver han fortsatt artikler for ""slik at, med hans ord,"fullfør alle dine vitenskapelige arbeider før du går videre til den neste verden", der, som han la til med et svakt smil, "alle matematiske sannheter vil definitivt bli avslørt" Da teselskapet var slutt, tok Norman på seg skinnjakken og satte kursen mot mopeden sin, helt uvitende om på den dagen.
Det var siste gang jeg så Norman; han døde i 2013.
Seks år senere satt jeg til frokost med George Rutter. Jeg hadde med meg en lapp fra Rutledge, skrevet i 2002 med hans særegne håndskrift:
Først skummet jeg lappen. Hun var uttrykksfull som vanlig:
Jeg mottok boken til Alan Turing fra hans venn og eksekutor (ved King's College var det dagsorden å gi bort bøker fra samlingen av døde karer, og jeg valgte en diktsamling fra bøker som en passende gave (han var dekan og hoppet av kapellet [i 1956])...
Senere i et kort notat skriver han:
Du spør hvor denne boken skal ende opp – etter min mening bør den gå til noen som setter pris på alt knyttet til Turings arbeid, så dens skjebne avhenger av deg.
Stephen Wolfram sendte meg sin imponerende bok, men jeg dykket ikke dypt nok ned i den...
Han avsluttet med å gratulere George Rutter for at han hadde motet til å flytte (midlertidig, som det viste seg) til Australia etter å ha trukket seg tilbake, og sa at han selv "ville leke med å flytte til Sri Lanka som et eksempel på en billig og lotusaktig tilværelse", men la til at"hendelsene som nå skjer der indikerer at han ikke burde ha gjort dette"(tilsynelatende betyr på Sri Lanka).
Så hva skjuler seg i dybden av boken?
Så hva gjorde jeg med kopien av den tyske boken skrevet av Paul Dirac som en gang tilhørte Alan Turing? Jeg leser ikke tysk, men det har jeg i engelsk (som er originalspråket) utgave fra 1970-tallet. Men en dag ved frokosten virket det riktig at jeg nøye skulle gå gjennom boken side for side. Dette er tross alt vanlig praksis når man har med antikvariske bøker å gjøre.
Det skal bemerkes at jeg ble slått av elegansen i Diracs presentasjon. Boken ble utgitt i 1931, men dens rene formalisme (og, ja, til tross for språkbarrieren kunne jeg lese matematikken i boken) er nesten den samme som om den var skrevet i dag. (Jeg vil ikke legge for mye vekt på Dirac her, men min venn fortalte meg at, i det minste etter hans mening, er Diracs utstilling enstavelse. Norman Rutledge fortalte meg at han var venn med i Cambridge , som ble grafteoretiker. Norman besøkte Diracs hus ganske ofte og sa at den "store mannen" noen ganger personlig bleknet inn i bakgrunnen, mens den første alltid var full av matematiske gåter. Selv har jeg dessverre aldri møtt Paul Dirac, selv om jeg ble fortalt at etter at han endelig forlot Cambridge til Florida, mistet han mye av sin tidligere seighet og ble en ganske sosial person).
Men la oss gå tilbake til Diracs bok, som tilhørte Turing. På side 9 la jeg merke til understreking og små notater i margene, skrevet med blyant. Jeg fortsatte å bla gjennom sidene. Etter noen kapitler forsvant notatene. Men så, plutselig fant jeg et notat vedlagt side 127 der det sto:
Den ble skrevet på tysk med standard tysk håndskrift. Og det ser ut som hun kan ha noe å gjøre med . Jeg tenkte at nok noen hadde eid denne boken før Turing, og dette må være et notat skrevet av den personen.
Jeg fortsatte å bla i boken. Det var ingen notater. Og jeg tenkte at jeg ikke kunne finne noe annet. Men så, på side 231, oppdaget jeg et merkebokmerke - med den trykte teksten:
Vil jeg ende opp med å oppdage noe annet? Jeg fortsatte å bla i boken. Så, på slutten av boken, på side 259, i avsnittet om relativistisk elektronteori, oppdaget jeg følgende:
Jeg brettet ut dette papiret:
Jeg skjønte umiddelbart hva det var blandet med , men hvordan havnet dette bladet her? La oss huske at denne boken er en bok om kvantemekanikk, men det vedlagte heftet omhandler matematisk logikk, eller det som nå kalles beregningsteorien. Dette er typisk for Turings forfatterskap. Jeg lurte på om Turing personlig skrev dette notatet?
Selv under frokosten søkte jeg på Internett etter eksempler på Turings håndskrift, men fant ingen eksempler i form av beregninger, så jeg kunne ikke trekke konklusjoner om håndskriftens eksakte identitet. Og snart måtte vi gå. Jeg pakket boken nøye, klar til å avsløre mysteriet om hvilken side det var og hvem som skrev den, og tok den med meg.
Om boka
Først av alt, la oss diskutere selve boken. "» Diracs felt ble utgitt på engelsk i 1930 og ble snart oversatt til tysk. (Diracs forord er datert 29. mai 1930; det tilhører oversetteren - - 15. august 1930.) Boken ble en milepæl i utviklingen av kvantemekanikken, og etablerte systematisk en klar formalisme for å utføre beregninger, og blant annet forklarte Diracs spådom om , som åpner i 1932.
Hvorfor hadde Alan Turing en bok på tysk og ikke engelsk? Jeg vet ikke dette med sikkerhet, men på den tiden var tysk det ledende vitenskapens språk, og vi vet at Alan Turing kunne lese det. (Tross alt, i navnet til hans berømte arbeide « (Entscheidungsproblem)» var et veldig langt tysk ord – og i hoveddelen av artikkelen opererer han med ganske obskure gotiske symboler i form av «tyske bokstaver» som han brukte i stedet for for eksempel greske symboler).
Kjøpte Alan Turing denne boken selv, eller ble den gitt til ham? Jeg vet ikke. På innsiden av omslaget til Turings bok er det en blyantnotasjon "20/-", som var standardnotasjonen for "20 shilling", tilsvarende £1. På høyre side er det en slettet "26.9.30", antagelig betyr 26. september 1930, muligens datoen boken ble kjøpt første gang. Så, helt til høyre, er det slettede tallet «20». Kanskje det er prisen igjen. (Kan dette være prisen i , forutsatt at boken ble solgt i Tyskland? I de dager var 1 Reichsmark verdt omtrent 1 schilling, den tyske prisen ville antagelig blitt skrevet som "RM20" for eksempel.) Til slutt, på innsiden av bakdekselet er det "c 5/-" - kanskje dette, (med en stor rabatt) pris for en brukt bok.
La oss se på hoveddatoene i livet til Alan Turing. Alan Turing (tilfeldigvis nøyaktig 76 år før ). Høsten 1931 gikk han inn på King's College, Cambridge. Han fikk sin bachelorgrad etter standard tre studieår i 1934.
På 1920-tallet og begynnelsen av 1930-tallet var kvantemekanikk et hett tema, og Alan Turing var absolutt interessert i det. Fra arkivene hans vet vi at han i 1932, så snart boken ble utgitt, mottok "» John von Neumann (på ). Vi vet også at Turing i 1935 fikk et oppdrag fra en Cambridge-fysiker om emnet å studere kvantemekanikk. (Fowler foreslo å beregne , som faktisk er et veldig komplekst problem som krever en full analyse med interagerende kvantefeltteori, som fortsatt ikke er fullstendig løst).
Og likevel, når og hvordan fikk Turing sitt eksemplar av Diracs bok? Gitt at boken har en markert pris, kjøpte Turing den antagelig brukt. Hvem var den første eieren av boken? Notatene i boken ser ut til å omhandle først og fremst logisk struktur, og bemerker at en eller annen logisk sammenheng bør tas som et aksiom. Hva så med notatet på side 127?
Vel, kanskje det er en tilfeldighet, men rett på side 127 - Dirac snakker om kvante og legger grunnlaget for — som er grunnlaget for all moderne kvanteformalisme. Hva inneholder lappen? Den inneholder en utvidelse av ligning 14, som er ligningen for tidsutviklingen av kvanteamplituden. Forfatteren av notatet erstattet Dirac A for amplitude med ρ, og reflekterer dermed en tidligere (væsketetthetsanalogi) tysk notasjon. Forfatteren prøver deretter å utvide handlingen ved hjelp av kreftene ℏ (, delt på 2π, noen ganger kalt ).
Men det ser ikke ut til å være mye nyttig informasjon å hente fra det som står på siden. Hvis du holder siden opp mot lyset, inneholder den en liten overraskelse - et vannmerke som sier "Z f. Fysik. Chem. B":
Dette er den forkortede versjonen - et tysk tidsskrift om fysisk kjemi, som begynte å publiseres i 1928. Kanskje notatet er skrevet av en magasinredaktør? Her er en magasinoverskrift fra 1933. Beleilig er redaktørene oppført etter sted, og en skiller seg ut: "Bourne · Cambridge."
Det er det det er hvem er forfatteren og mye mer i teorien om kvantemekanikk (så vel som sangerens bestefar ). Så, dette notatet kan ha blitt skrevet av Max Born? Men det er dessverre ikke tilfelle, for håndskriften stemmer ikke.
Hva med bokmerket på side 231? Her er det fra begge sider:
Bokmerket er merkelig og ganske vakkert. Men når ble den laget? I Cambridge er det , selv om det nå er en del av Blackwell. I mer enn 70 år (til 1970) var Heffers lokalisert på adressen, som bokmerket viser, и .
Denne kategorien inneholder en viktig nøkkel - dette er telefonnummeret "Tlf. 862". Som det skjedde, byttet det meste av Cambridge (inkludert Heffers) til firesifrede tall i 1939, og i 1940 ble bokmerker skrevet ut med "moderne" telefonnumre. (Engelske telefonnumre ble gradvis lengre; da jeg vokste opp i England på 1960-tallet, var telefonnumrene våre "Oxford 56186" og "Kidmore End 2378". Noe av grunnen til at jeg husker disse numrene er fordi, merkelig som det er nå det så ikke ut som om jeg alltid ringte nummeret mitt når jeg svarte på et innkommende anrop).
Bokmerket ble trykt i denne formen til 1939. Men hvor lenge før det? Du kan finne ganske mange skanninger av gamle Heffers-annonser på nettet, som dateres tilbake til minst 1912 (sammen med "Vi ber om dine forespørsler ...") de fullfører "Telefon 862" ved å legge til "(2 linjer)." Det er også noen bokmerker med lignende design som kan finnes i bøker så langt tilbake som i 1904 (selv om det er uklart om de var originale til disse bøkene (dvs. trykt samtidig). For vår undersøkelse ser det ut til at vi kan konkludere med at denne boken kom fra Heffer's (som for øvrig var hovedbokhandelen i Cambridge) en gang mellom 1930 og 1939.
Lambdaberegningsside
Så nå vet vi noe om når boken ble kjøpt. Men hva med «lambda-kalkulussiden»? Når ble dette skrevet? Vel, naturlig nok, på den tiden burde lambda-kalkulus allerede vært oppfunnet. Og det ble gjort , matematiker fra , i sin opprinnelige form i 1932 og i sin endelige form i 1935. (Det var verk av tidligere forskere, men de brukte ikke notasjonen λ).
Det er en kompleks sammenheng mellom Alan Turing og lambdaregning. I 1935 ble Turing interessert i "mekanisering" av matematiske operasjoner, og oppfant ideen om en Turing-maskin, og brukte den til å løse problemer i grunnleggende matematikk. Turing sendte en artikkel om dette emnet til et fransk magasin (), men den ble tapt i posten; og så viste det seg at mottakeren han sendte det til ikke var der uansett, siden han hadde flyttet til Kina.
Men i mai 1936, før Turing kunne sende papiret sitt noe annet sted, . Turing hadde tidligere klaget på det da han utviklet beviset i 1934 , så oppdaget jeg at det var en norsk matematiker som allerede hadde i 1922 år.
Det er ikke vanskelig å se at Turing-maskiner og lambda-regning faktisk er likeverdige i den typen beregninger de kan representere (og det er en start ). Imidlertid Turing (og læreren hans ) var overbevist om at Turings tilnærming var annerledes nok til at den fortjente sin egen publisering. I november 1936 (og med skrivefeil rettet måneden etter) i Turings berømte papir ble publisert .
For å fylle ut tidslinjen litt: fra september 1936 til juli 1938 (med tre måneders pause sommeren 1937), var Turing på Princeton, etter å ha reist dit med mål om å bli en graduate student ved Alonzo Church. I løpet av denne perioden på Princeton konsentrerte Turing seg tilsynelatende helt om matematisk logikk, og skrev flere ,- og mest sannsynlig hadde han ikke med seg en bok om kvantemekanikk.
Turing kom tilbake til Cambridge i juli 1938, men i september samme år jobbet han deltid kl , og et år senere flyttet han til Bletchley Park med mål om å jobbe der på heltid med spørsmål knyttet til kryptoanalyse. Etter krigens slutt i 1945 flyttet Turing til London for å jobbe for på utvikling av et prosjekt for å skape . Han tilbrakte studieåret 1947–8 ved Cambridge, men flyttet deretter til Manchester for å utvikle seg .
I 1951 begynte Turing å studere seriøst . (For meg personlig er dette faktum noe ironisk, fordi det virker for meg at Turing alltid ubevisst trodde at biologiske systemer burde modelleres av differensialligninger, og ikke av noe diskret som Turing-maskiner eller cellulære automater). Han vendte også interessen tilbake til fysikk, og i 1954 til og med , Hva: "Jeg prøvde å finne opp en ny kvantemekanikk"(selv om han la til: "men det er faktisk ikke et faktum at det vil ordne seg"). Men dessverre fikk alt en brå slutt 7. juni 1954, da Turing døde brått. (Jeg tipper det ikke var selvmord, men det er en annen historie.)
Så la oss gå tilbake til lambda-kalkulussiden. La oss holde den opp mot lyset og se vannmerket igjen:
Det ser ut til å være et stykke britisk laget papir, og det virker usannsynlig for meg at det ville blitt brukt på Princeton. Men kan vi datere det nøyaktig? Vel, ikke uten litt hjelp , vet vi at den offisielle produsenten av papiret var Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London. Dette kan hjelpe oss, men ikke så veldig mye, siden det kan antas at deres Excelsior-papir ser ut til å ha vært inkludert i forsyningskataloger fra 1890-tallet til 1954.
Hva sier denne siden?
Så, la oss se nærmere på hva som er på begge sider av papiret. La oss starte med lambdas.
Her er en måte å bestemme , og de er et grunnleggende konsept i matematisk logikk, og nå i funksjonell programmering. Disse funksjonene er ganske vanlige i språket , og oppgaven deres er ganske enkel å forklare. For eksempel skriver noen f[x] for å indikere en funksjon f, brukt på argumentet x. Og det er mange navngitte funksjoner f som for eksempel eller eller . Men hva om noen vil f[x] var 2x +1? Det er ikke noe direkte navn for denne funksjonen. Men er det en annen form for oppdrag, f[x]?
Svaret er ja: i stedet f vi skriver Function[a,2a+1]. Og på Wolfram-språket Function [a,2a+1][x] bruker funksjoner på argument x, produserer 2x+1. Function[a,2a+1] er en "ren" eller "anonym" funksjon som representerer den rene operasjonen med å multiplisere med 2 og legge til 1.
Så, λ i lambda-kalkulus er en eksakt analog i Wolfram-språket - og derfor for eksempel λa.(2 a+1) tilsvarende Function[a, 2a + 1]. (Det er verdt å merke seg at en funksjon, for eksempel, Function[b,2b+1] tilsvarende; "bundne variabler" a eller b er ganske enkelt funksjonsargumenterstatninger - og i Wolfram-språket kan de unngås ved å bruke alternative rene funksjonsdefinisjoner (2# +1)&).
I tradisjonell matematikk er funksjoner typisk tenkt på som objekter som representerer innganger (som også er heltall, for eksempel) og utganger (som også er for eksempel heltall). Men hva slags gjenstand er dette? (eller λ)? I hovedsak er det en strukturoperatør som tar uttrykk og gjør dem om til funksjoner. Dette kan virke litt rart sett fra tradisjonell matematikk og matematisk notasjon, men hvis man trenger å gjøre vilkårlig symbolmanipulasjon er det mye mer naturlig, selv om det virker litt abstrakt i starten. (Det bør bemerkes at når brukere lærer Wolfram-språket, kan jeg alltid fortelle at de har passert en viss terskel for abstrakt tenkning når de får en forståelse av ).
Lambdaer er bare en del av det som finnes på siden. Det er et annet, enda mer abstrakt konsept - dette . Tenk på den ganske obskure strengen PI1IIx? Hva kan dette bety? I hovedsak er dette en sekvens av kombinatorer, eller en eller annen abstrakt sammensetning av symbolske funksjoner.
Den vanlige superposisjonen av funksjoner, ganske kjent i matematikk, kan skrives på Wolfram-språket som: f[g[x]] - som betyr "søke" f til resultatet av søknaden g к x" Men er det virkelig nødvendig med parenteser for dette? På Wolfram-språket f@g@ x - en alternativ form for opptak. I dette innlegget stoler vi på definisjonen i Wolfram Language: @-operatøren er assosiert med høyre side, så f@g@x tilsvarende f@(g@x).
Men hva vil opptaket bety? (f@g)@x? Dette er tilsvarende f[g][x]. Og hvis f и g var vanlige funksjoner i matematikk, ville det være meningsløst, men hvis f - deretter f[g] i seg selv kan være en funksjon som godt kan brukes på x.
Merk at det fortsatt er noe kompleksitet her. I f[х] - f er en funksjon av ett argument. OG f[х] tilsvarer skriving Function[a, f[a]][x]. Men hva med en funksjon med to argumenter, si f[x,y]? Dette kan skrives som Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Men hva om Function[{a},f[a,b]]? Hva er dette? Det er en "fri variabel" her b, som ganske enkelt sendes til funksjonen. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] vil binde denne variabelen og deretter Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] en gang til. (Å spesifisere en funksjon slik at den har ett argument kalles "currying" til ære for logikeren som heter ).
Hvis det er frie variabler, så er det mange forskjellige kompleksiteter med hensyn til hvordan funksjoner kan defineres, men hvis vi begrenser oss til objekter eller λ, som ikke har frie variabler, så kan de i utgangspunktet spesifiseres fritt. Slike objekter kalles kombinatorer.
Kombinatorer har en lang historie. Det er kjent at de først ble foreslått i 1920 av en student - .
På den tiden var det først helt nylig at det ble oppdaget at det ikke var behov for å bruke uttrykkene , и å representere uttrykk i standard proposisjonell logikk: det var nok å bruke en enkelt operatør, som vi nå vil kalle (fordi for eksempel hvis du skriver som · da Or[a,b] vil ta formen ). Schoenfinkel ønsket å finne den samme minimale representasjonen av predikatlogikk, eller, egentlig, logikk inkludert funksjoner.
Han kom opp med to "kombinatorer" S og K. I Wolfram Language vil dette bli skrevet som
K[x_][y_] → x og S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Det er bemerkelsesverdig at det viste seg å være mulig å bruke disse to kombinatorene til å utføre en hvilken som helst beregning. For eksempel,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan brukes som en funksjon for å legge til to heltall.
Dette er alle ganske abstrakte objekter for å si det mildt, men nå som vi forstår hva Turing-maskiner og lambda-regning er, kan vi se at Schoenfinkel-kombinatorer faktisk forutså konseptet med universell databehandling. (Og det som er enda mer bemerkelsesverdig er at definisjonene fra 1920 av S og K er minimalt enkle, og minner om , som jeg foreslo på 1990-tallet, hvis allsidighet var ).
Men la oss gå tilbake til vårt blad og linje PI1IIx. Symbolene som er skrevet her er kombinatorer, og de er alle designet for å spesifisere en funksjon. Her er definisjonen at superposisjonen av funksjoner må stå assosiativ, slik at fgx skal ikke tolkes som f@g@x eller f@(g@x) eller f[g[x]], men snarere som (f@g)@x eller f[g][x]. La oss oversette denne oppføringen til et skjema som er praktisk for bruk av Wolfram Language: PI1IIx vil ta formen p[i][one][i][i][x].
Hvorfor skrive noe sånt? For å forklare dette, må vi diskutere begrepet Kirketall (oppkalt etter Alonzo Church). La oss si at vi bare jobber med symboler og lambdaer eller kombinatorer. Er det en måte å bruke dem til å spesifisere heltall?
Hva med å si at tallet n соответствует Function[x, Nest[f,x,n]]? Eller, med andre ord, det (i kortere notasjon):
1 er f[#]&
2 er f[f[#]]&
3 er f[f[f[#]]]& og så videre.
Dette kan virke litt mer uklart, men grunnen til at det er interessant er at det lar oss gjøre alt helt symbolsk og abstrakt, uten å eksplisitt snakke om noe som heltall.
Med denne metoden for å spesifisere tall, tenk deg for eksempel å legge til to tall: 3 kan representeres som f[f[f[#]]]& og 2 er f[f[#]]&. Du kan legge dem sammen ved å bruke en av dem på den andre:
Men hva er gjenstanden? f? Det kan være hva som helst! På en måte "gå til lambda" hele veien og representere tall ved å bruke funksjoner som tar f som et argument. Med andre ord, la oss representere 3, for eksempel, som Function[f,f[f[f[#]]] &] eller Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (når og hvordan du trenger å navngi variabler er rubrikken i lambda-kalkulus).
Tenk på et fragment av Turings papir fra 1937 , som setter opp objekter nøyaktig slik vi nettopp diskuterte:
Det er her opptaket kan bli litt forvirrende. x Turing er vår f, Og hans x' (maskinskriveren gjorde en feil ved å sette inn et mellomrom) - dette er vår x. Men nøyaktig samme tilnærming brukes her.
Så la oss se på linjen like etter folden foran på papiret. Dette I1IIIYI1IIx. I følge Wolfram Language-notasjonen ville dette være det i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Men her er jeg identitetsfunksjonen, så i[one] det bare viser en. i mellomtiden, en er Kirkens numeriske representasjon for 1 eller Function[f,f[#]&]. Men med denne definisjonen one[а] blir a[#]& и one[a][b] blir a[b]. (Forresten, i[а][b]Eller Identity[а][b] er også а[b]).
Det blir mye klarere om vi skriver ned utskiftningsreglene for i и en, i stedet for å bruke lambda-regning direkte. Resultatet blir det samme. Bruk disse reglene eksplisitt, vi får:
Og dette er nøyaktig det samme som presentert i den første forkortede oppføringen:
La oss nå se på bladet igjen, øverst:
Det er noen ganske forvirrende og forvirrende objekter "E" og "D" her, men med disse mener vi "P" og "Q", så vi kan skrive ut uttrykket og evaluere det (merk at her - etter litt forvirring med aller siste symbol - den "mystiske vitenskapsmannen" setter […] og (...) for å representere anvendelsen av funksjonen):
Så dette er den første forkortelsen som vises. For å se mer, la oss koble inn definisjonene for Q:
Vi får nøyaktig følgende reduksjon vist. Hva skjer hvis vi erstatter uttrykk med P?
Her er resultatet:
Og nå, ved å bruke det faktum at i er en funksjon som sender ut selve argumentet, får vi:
Oooops! Men dette er ikke den neste innspilte linjen. Er det en feil her? Uklar. For i motsetning til de fleste andre tilfeller er det tross alt ingen pil som indikerer at neste linje følger fra den forrige.
Det er litt av et mysterium her, men la oss gå videre til bunnen av arket:
Her er 2 kirkenummeret, for eksempel bestemt av mønsteret two[a_] [b_] → a[a[b]]. Merk at dette faktisk er formen til den andre linjen hvis a anses som Function[r,r[р]] и b som q. Så vi forventer at resultatet av beregningen blir som følger:
Imidlertid uttrykket inni а[b] kan skrives som x (sannsynligvis forskjellig fra x tidligere skrevet på papiret) - til slutt får vi det endelige resultatet:
Så vi kan tyde lite av hva som skjer på denne lappen, men minst ett mysterium som fortsatt gjenstår er hva Y skal være.
Faktisk, i kombinatorisk logikk er det en standard Y-kombinator: den såkalte . Formelt er det definert ved at Y[f] må være lik f[Y[f]], eller, med andre ord, at Y[f] endres ikke når f brukes, så det er et fast punkt for f. (Kombinatoren Y er assosiert med #0 på Wolfram-språket.)
For tiden har Y-kombinatoren blitt kjent takket være , så kalt (som har vært fan i lang tid и og implementerte den aller første nettbutikken basert på dette språket). Han fortalte meg en gang personlig "ingen forstår hva en Y-kombinator er" (Det bør bemerkes at Y Combinator er akkurat det som lar selskaper unngå fastpunkttransaksjoner...)
Y-kombinatoren (som en fastpunktskombinator) har blitt oppfunnet flere ganger. Turing kom faktisk med en implementering av det i 1937, som han kalte Θ. Men er bokstaven "Y" på siden vår den berømte kombinatoren med fast punkt? Kanskje ikke. Så hva er vår "Y"? Tenk på denne forkortelsen:
Men denne informasjonen er tydeligvis ikke nok til entydig å avgjøre hva Y er. Det er klart at Y ikke bare opererer med ett argument; Det virker som det er minst to argumenter involvert, men det er uklart (i hvert fall for meg) hvor mange argumenter det tar som input og hva det gjør.
Til slutt, selv om vi kan forstå mange deler av papiret, må vi si at på globalt plan er det ikke klart hva som ble gjort på det. Selv om det er mye forklaring involvert i det som står på arket her, er det ganske grunnleggende i lambda-kalkulus og bruk av kombinatorer.
Antagelig er dette et forsøk på å lage et enkelt "program" - ved å bruke lambda-kalkulus og kombinatorer for å gjøre noe. Men så mye som dette er typisk for revers engineering, er det vanskelig for oss å si hva det "noe" skal være og hva det overordnede "forklarlige" målet er.
Det er enda en funksjon presentert på arket som er verdt å kommentere her – bruken av ulike typer parenteser. Tradisjonell matematikk bruker stort sett parenteser for alt - og funksjonsapplikasjoner (som i f (x)), og grupperinger av medlemmer (som i (1+x) (1-x), eller, mindre åpenbart, a(1-x)). (I Wolfram-språket skiller vi de forskjellige bruken av parenteser – i firkantede parenteser for å definere funksjoner f [x] - og parenteser brukes kun for gruppering).
Da lambdakalkulus først dukket opp, var det mange spørsmål om bruk av parenteser. Alan Turing skulle senere skrive et helt (upublisert) verk med tittelen”, men allerede i 1937 følte han at han trengte å beskrive de moderne (ganske hacky) definisjonene for lambdaregning (som for øvrig dukket opp på grunn av Church).
Han sa det f, påføres g, bør skrives {f}(g), Hvis bare f er ikke den eneste karakteren, i dette tilfellet kan det være det f(g). Så sa han lambda (som i Function[a, b]) skal skrives som λ a[b] eller alternativt λ a.b.
Imidlertid hadde kanskje i 1940 hele ideen om å bruke {...} og […] for å representere forskjellige objekter blitt forlatt, hovedsakelig til fordel for standard parenteser i matematisk stil.
Ta en titt på toppen av siden:
I denne formen er det vanskelig å forstå. I Kirkens definisjoner er firkantede parenteser ment for gruppering, med en åpen parentes som erstatter perioden. Ved å bruke denne definisjonen blir det klart at Q (til slutt merket D) i parentes på slutten er det hele den innledende lambdaen gjelder for.
Den firkantede parentesen her avgrenser faktisk ikke kroppen til lambdaen; i stedet representerer den faktisk en annen bruk av funksjonen, og det er ingen eksplisitt indikasjon på hvor kroppen til lambdaen slutter. På slutten kan det ses at den "mystiske vitenskapsmannen" har endret den avsluttende firkantede parentesen til en rund parentes, og dermed effektivt anvende Kirkens definisjon - og dermed tvinge uttrykket til å beregnes som vist på arket.
Så hva betyr egentlig denne lille biten? Jeg tror dette tyder på at siden ble skrevet på 1930-tallet, eller ikke så lenge etter, siden konvensjonene for parentes ennå ikke hadde lagt seg til den tid.
Så hvem sin håndskrift var dette egentlig?
Så før dette snakket vi om hva som er skrevet på siden. Men hva med hvem som egentlig skrev det?
Den mest åpenbare kandidaten til denne rollen ville være Alan Turing selv, siden siden tross alt var inne i boken hans. Når det gjelder innhold, ser det ut til at det ikke er noe uforenlig med ideen om at Alan Turing kunne ha skrevet det - selv da han først begynte å sette seg inn i lambdakalkulus etter å ha mottatt Churchs papir tidlig i 1936.
Hva med håndskrift? Tilhører den Alan Turing? La oss se på noen få overlevende eksempler som vi med sikkerhet vet ble skrevet av Alan Turing:
Teksten som presenteres ser åpenbart veldig annerledes ut, men hva med notasjonen som brukes i teksten? I det minste, etter min mening, ser det ikke så åpenbart ut - og man kan anta at enhver forskjell kan være forårsaket nettopp av det faktum at de eksisterende prøvene (presentert i arkivene) er skrevet så å si "på overflaten" , mens vår side er nettopp en refleksjon av tankearbeidet.
Det viste seg praktisk for vår undersøkelse at Turings arkiv inneholder en side han skrev , nødvendig for notasjon. Og når man sammenligner disse symbolene bokstav for bokstav, ser de ganske like ut som meg (disse notatene ble laget i Turing da han studerte , derav etiketten «bladområde»):
Jeg ville utforske dette videre, så jeg sendte prøver , en profesjonell håndskriftekspert (og forfatter av håndskriftbaserte problemer) som jeg hadde gleden av å møte én gang – ganske enkelt ved å presentere vårt papir som "Sample 'A'" og et eksisterende eksempel av Turings håndskrift som "Sample 'B'." Svaret hennes var endelig og negativt: "Skrivestilen er en helt annen. Når det gjelder personlighet, har prøve "B" forfatter en raskere og mer intuitiv tenkestil enn prøve "A" forfatter.'.
Jeg var ikke helt overbevist ennå, men jeg bestemte meg for at det var på tide å se på andre alternativer.
Så hvis det viser seg at Turing ikke har skrevet det, hvem gjorde det da? Norman Routledge fortalte meg at han mottok boken fra Robin Gandy, som var Turings eksekutør. Så jeg sendte "Sample "C"" fra Gandhi:
Men Sheilas første konklusjon var at de tre prøvene sannsynligvis ble skrevet av tre forskjellige personer, og la igjen merke til at prøve "B" kom fra "den raskeste tenkeren – den som sannsynligvis er mest villig til å lete etter uvanlige løsninger på problemer" (Jeg synes det er forfriskende at en moderne håndskriftekspert vil gi denne vurderingen av Turings håndskrift, gitt hvor mye alle klaget over håndskriften hans i Turings skoleoppgaver fra 1920-tallet.)
Vel, på dette tidspunktet så det ut til at både Turing og Gandhi var utelukket som "mistenkte". Så hvem kunne ha skrevet dette? Jeg begynte å tenke på folkene Turing kan ha lånt ut boken sin til. De må selvfølgelig også kunne gjøre beregninger ved hjelp av lambdaregning.
Jeg antok at personen måtte være fra Cambridge, eller i det minste England, gitt vannmerket på papiret. Jeg tok det som en arbeidshypotese at 1936 eller så var et godt tidspunkt å skrive dette. Så hvem kjente og kommuniserte Turing med på den tiden? For denne perioden har vi fått en liste over alle studenter og lærere i matematikk ved King's College. (Det var 13 kjente studenter som studerte fra 1930 til 1936.)
Og av dem virket den mest lovende kandidaten . Han var på samme alder som Turing, hans mangeårige venn, og han var også interessert i grunnleggende matematikk - i 1933 publiserte han til og med en artikkel om det vi nå kaller : 0.12345678910111213... (hentet av 1, 2, 3, 4,..., 8, 9, 10, 11, 12,... og et av de få tallene i den forstand at hver mulig blokk med sifre forekommer med lik sannsynlighet).
I 1937 brukte han til og med Diracs gammamatriser, som nevnt i Diracs bok, for å løse . (Som det skjer, år senere ble jeg en stor fan av gammamatriseberegninger).
Etter å ha begynt å studere matematikk, kom Champernowne under påvirkning (også ved King's College) og ble til slutt en fremtredende økonom, spesielt arbeidet med inntektsulikhet. (I 1948 jobbet han imidlertid også med Turing for å skape - et sjakkprogram som praktisk talt var det første i verden som ble implementert på en datamaskin).
Men hvor kunne jeg finne et eksempel på Champernownes håndskrift? Jeg fant snart sønnen hans Arthur Champernowne på LinkedIn, som merkelig nok hadde en grad i matematisk logikk og jobbet for Microsoft. Han sa at faren snakket mye med ham om Turings arbeid, selv om han ikke nevnte kombinatorer. Han sendte meg en prøve av farens håndskrift (et fragment om algoritmisk musikkkomposisjon):
Du kan umiddelbart se at håndskriftene ikke stemte (krøller og haler i bokstavene f i Champernownes håndskrift, etc.)
Så hvem andre kan det være? Jeg har alltid beundret , på mange måter en mentor for Alan Turing. Newman interesserte først Turing "mekanisering av matematikk" var hans mangeårige venn, og ble år senere sjefen hans ved et dataprosjekt i Manchester. (Til tross for sin interesse for beregninger, synes Newman alltid å ha sett seg selv først og fremst som en topolog, selv om konklusjonene hans ble støttet av et feilaktig bevis han hentet fra ).
Det var ikke vanskelig å finne et utvalg av Newmans håndskrift – og igjen, nei, håndskriftene stemte definitivt ikke.
"Spor" av boken
Så ideen om å identifisere håndskrift mislyktes. Og jeg bestemte meg for at neste skritt å ta var å prøve å spore litt mer detaljert hva som faktisk skjedde med boken jeg holdt i hendene.
Så først av alt, hva var den lengre historien med Norman Rutledge? Han gikk på King's College, Cambridge i 1946 og møtte Turing (ja, begge var homofile). Han ble uteksaminert fra college i 1949, og begynte deretter å skrive sin doktorgradsavhandling med Turing som rådgiver. Han fikk sin doktorgrad i 1954, og arbeidet med matematisk logikk og rekursjonsteori. Han mottok et personlig stipend til King's College, og i 1957 ble han leder for matematikkavdelingen der. Han kunne ha gjort dette hele livet, men han hadde brede interesser (musikk, kunst, arkitektur, rekreasjonsmatematikk, genealogi, etc.). I 1960 endret han sin akademiske retning og ble lærer ved Eton, hvor generasjoner av studenter (inkludert meg selv) jobbet (og studerte) og ble utsatt for hans eklektiske og noen ganger til og med merkelige kunnskap.
Kunne Norman Routledge ha skrevet denne mystiske siden selv? Han kunne lambdaregning (selv om han tilfeldigvis nevnte det da vi spiste te i 2005 at han alltid syntes det var "forvirrende"). Imidlertid utelukker hans karakteristiske håndskrift ham umiddelbart som en mulig «mystisk vitenskapsmann».
Kan siden på en eller annen måte være knyttet til en student av Norman, kanskje fra da han fortsatt var på Cambridge? Jeg tviler. Fordi jeg tror aldri Norman har studert lambdaregning eller noe sånt. Mens jeg skrev denne artikkelen oppdaget jeg at Norman hadde skrevet en artikkel i 1955 om å lage logikk på "elektroniske datamaskiner" (og lage konjunktive normale former, slik den innebygde funksjonen nå gjør ). Da jeg kjente Norman, var han veldig interessert i å skrive verktøy for ekte datamaskiner (hans initialer var "NAR", og han kalte programmene sine "NAR...", for eksempel "NARLAB", et program for å lage tekstetiketter ved å bruke hull hull "mønstre" "på papirtape). Men han snakket aldri om teoretiske beregningsmodeller.
La oss lese Normans notat inne i boken litt nærmere. Det første vi vil legge merke til er at han snakker om "tilby bøker fra den avdødes bibliotek" Og ut fra ordlyden høres det ut som om det hele skjedde ganske raskt etter at mannen døde, noe som tyder på at Norman mottok boken kort tid etter at Turing døde i 1954, og at Gandhi hadde savnet den i betydelig lang tid. Norman forteller videre at han faktisk fikk fire bøker, to om ren matematikk og to om teoretisk fysikk.
Så sa han at han ga "en annen fra en fysikkbok (slags, )""Til Sebag Montefiore, en hyggelig ung mann som du kanskje husker [George Rutter]" Ok, så hvem er han? Jeg gravde opp min sjelden brukte medlemsliste . (Jeg må rapportere at da jeg åpnet den, kunne jeg ikke unngå å legge merke til reglene siden 1902, hvorav den første, under overskriften "Rettigheter til medlemmer", hørtes morsom ut: "Kle deg i foreningens farger").
Det skal legges til at jeg sannsynligvis aldri ville blitt med i dette samfunnet eller mottatt denne boken hvis det ikke hadde vært for oppfordringen fra en Eton-venn ved navn , som hadde planlagt siden han var 12 til en dag å bli statsminister, men dessverre døde i en alder av 21).
Men uansett var det bare fem av personene oppført med etternavnet Sebag-Montefiore, med et bredt utvalg av treningsdatoer. Det var ikke vanskelig å forstå at det passet . Liten verden, som det viser seg, eide familien hans Bletchley Park før han solgte den til den britiske regjeringen i 1938. Og i 2000 skrev Sebag-Montefiore - Dette er etter all sannsynlighet grunnen til at Norman i 2002 bestemte seg for å gi ham boken som Turing eide.
Ok, hva med de andre bøkene Norman fikk fra Turing? Siden jeg ikke hadde noen annen måte å finne ut hva som skjedde med dem, bestilte jeg en kopi av Normans testamente. Den siste klausulen i testamentet var tydelig i Normans stil:
I testamentet sto det at Normans bøker skulle etterlates på King's College. Og selv om hans komplette samling av bøker ikke ser ut til å være å finne, er Turings to bøker om ren matematikk, som han nevnte i notatet, nå behørig arkivert på King's College Library.
Neste spørsmål: hva skjedde med Turings andre bøker? Jeg så på Turings testamente, som viste seg å overlate dem alle til Robin Gandy.
Gandhi var en matematikkstudent ved King's College, Cambridge, som ble venn med Alan Turing i sitt siste år på college i 1940. Ved starten av krigen jobbet Gandhi med radio og radar, men i 1944 ble han tildelt samme enhet som Turing og arbeidet med talekryptering. Og etter krigen vendte Gandhi tilbake til Cambridge, og fikk snart doktorgraden, og Turing ble hans rådgiver.
Arbeidet hans i militæret førte tilsynelatende til at han ble interessert i fysikk, og avhandlingen hans, fullført i 1952, hadde tittelen . Det Gandhi så ut til å prøve å gjøre var kanskje å karakterisere fysiske teorier i form av matematisk logikk. Han snakker om и , men ikke om Turing-maskiner. Og ut ifra det vi vet nå, tror jeg vi kan konkludere med at han heller gikk glipp av poenget. Og sannelig, har hevdet siden tidlig på 1980-tallet at fysiske prosesser bør betraktes som "forskjellige beregninger" - for eksempel som Turing-maskiner eller cellulære automater - i stedet for som teoremer som skal utledes. (Gandhi diskuterer ganske fint rekkefølgen av typer involvert i fysiske teorier, og sier for eksempel at "Jeg tror at rekkefølgen til ethvert beregnelig desimaltall i binær form er mindre enn åtte"). Han sa at "En av grunnene til at moderne kvantefeltteori er så kompleks er bare fordi den omhandler objekter av en ganske kompleks type - funksjonaler av funksjoner...", som til syvende og sist betyr at"vi kan godt ta den største typen vanlig bruk som et mål på matematisk fremgang".)
Gandhi nevner Turing flere ganger i avhandlingen, og bemerker i introduksjonen at han står i gjeld til A. M. Turing, som "først trakk hans noe ufokuserte oppmerksomhet til Churchs kalkulus" (dvs. lambda-regning), selv om avhandlingen hans faktisk har flere lambda-bevis.
Etter å ha forsvart sin avhandling, vendte Gandhi seg til en renere matematisk logikk og skrev i mer enn tre tiår artikler med en hastighet på én per år, og disse artiklene ble ganske vellykket sitert i fellesskapet for internasjonal matematisk logikk. Han flyttet til Oxford i 1969, og jeg tror jeg må ha møtt ham i min ungdom, selv om jeg ikke husker det.
Gandhi idoliserte tydeligvis Turing og snakket ofte om ham i senere år. Dette reiser spørsmålet om den komplette samlingen av Turings verk. Kort tid etter Turings død ba Sarah Turing og Max Newman Gandhi – som hans eksekutør – sørge for publisering av Turings upubliserte verk. Årene gikk og gjenspeiler Sarah Turings frustrasjon i denne saken. Men på en eller annen måte så det ikke ut til at Gandhi hadde planlagt å sette Turings papirer sammen.
Gandhi døde i 1995 uten å samle de ferdige verkene. - litteraturkritiker og biograf , som Turing møtte på King's College, var Turings litterære agent, og han begynte endelig arbeidet med Turings samlede verk. Det mest kontroversielle så ut til å være bindet om matematisk logikk, som han tiltrakk seg sin første seriøse doktorgradsstudent, Robin Gandy, for en viss , som fant brev til Gandhi om innsamlede verk som ikke hadde blitt startet på 24 år. ( dukket endelig opp i 2001 - 45 år etter utgivelsen).
Men hva med bøkene som Turing personlig eide? Jeg fortsatte å prøve å spore dem, og neste stopp var Turing-familien, og spesielt Turings brors yngste sønn, (som egentlig er Sir Dermot Turing, på grunn av det faktum at han var det , denne tittelen gikk ikke til ham gjennom Alan i Turing-familien). Dermot Turing (som nylig skrev ) fortalte meg om "Turings bestemor" (aka Sarah Turing), huset hennes delte tydeligvis en hageinngang med familien hans, og mange andre ting om Alan Turing. Han fortalte meg at Alan Turings personlige bøker aldri hadde vært i familien deres.
Så jeg gikk tilbake til å lese testamentene og oppdaget at Gandhis eksekutor var hans elev Mike Yates. Jeg fikk vite at Mike Yates trakk seg som professor for 30 år siden og bor nå i Nord-Wales. Han sa at i tiårene han jobbet med matematisk logikk og beregningsteori, rørte han egentlig aldri en datamaskin - men gjorde det til slutt da han ble pensjonist (og dette skjedde, kort tid etter at han oppdaget programmet ). Han sa hvor fantastisk det var at Turing hadde blitt så berømt, og at da han ankom Manchester bare tre år etter Turings død, var det ingen som snakket om Turing, ikke engang Max Newman da han underviste i et kurs i logikk. Imidlertid ville Gandy senere snakke om hvor mye han ble begeistret for å håndtere Turings samling av verk, og til slutt overlot dem alle til Mike.
Hva visste Mike om Turings bøker? Han fant en av Turings håndskrevne notatbøker, som Gandhi ikke ga til King's College fordi (merkelig nok) Gandhi brukte den som en forkledning for notatene han holdt om drømmene sine. (Turing førte også notater om drømmene sine, som ble ødelagt etter hans død.) Mike sa at notatboken nylig ble solgt på auksjon for rundt 1 million dollar. Og at han ellers ikke ville trodd at det blant Gandhis ting var Turing-materialer.
Det så ut til at alle alternativene våre hadde tørket ut, men Mike ba meg se på det mystiske papiret. Og straks sa han: "Dette er Robin Gandys håndskrift!» Han sa at han hadde sett så mange ting opp gjennom årene. Og han var sikker. Han sa at han ikke kunne så mye om lambda-regning og ikke kunne lese siden, men han var sikker på at Robin Gandy hadde skrevet den.
Vi gikk tilbake til håndskrifteksperten vår med flere prøver, og hun var enig i at ja, det som var der, stemte overens med Gandhis håndskrift. Så vi fant det endelig ut: Robin Gandy skrev det mystiske papiret. Den ble ikke skrevet av Alan Turing; den ble skrevet av hans elev Robin Gandy.
Selvfølgelig gjenstår det fortsatt noen mysterier. Turing lånte visstnok Gandhi boken, men når? Formen for lambdakalkulusnotasjon får det til å virke som om det var rundt 1930-tallet. Men basert på kommentarer til Gandhis avhandling, ville han sannsynligvis ikke gjort noe med lambdaregning før på slutten av 1940-tallet. Spørsmålet oppstår da hvorfor Gandhi skrev dette. Dette ser ikke ut til å være direkte relatert til oppgaven hans, så det kan ha vært da han først prøvde å finne ut lambda-kalkulus.
Jeg tviler på at vi noen gang får vite sannheten, men det var sikkert morsomt å prøve å finne ut av det. Her må jeg si at hele denne reisen har gjort mye for å utvide min forståelse av hvor komplekse historiene til lignende bøker fra tidligere århundrer, som spesielt jeg eier, kan være. Dette får meg til å tenke at jeg må passe på at jeg ser på alle sidene deres - bare for å se hva som kan være interessant der...
Takk for hjelpen til: Jonathan Gorard (Cambridge Private Studies), Dana Scott (matematisk logikk) og Matthew Szudzik (matematisk logikk).
Om oversettelseOversettelse av Stephen Wolframs innlegg "".
Jeg uttrykker min dype takknemlighet и for bistand til oversettelse og utarbeidelse av publisering.
Vil du lære hvordan du programmerer i Wolfram-språket?
Se ukentlig .
... Klar .
på Wolfram Language.
Kilde: www.habr.com