Књига Алана Туринга и тајанствена белешка - Научни детектив

Оригинални превод на мом блогу

Како сам добио ову књигу?

У мају 2017. примио сам е-пошту од свог старог средњошколског професора по имену Џорџ Рутер у којем је написао: „Имам примерак Диракове велике књиге на немачком (Дие Принзипиен дер Куантенмецханик), која је припадала Алану Тјурингу, а након читања ваше књиге Креатори идеја, чинило ми се само по себи разумљивим да си управо ти особа којој је то потребно" Објаснио ми је да је књигу добио од другог мог (тада покојног) учитеља Норман Рутледге, за којег сам знао да је пријатељ Алана Туринга. Џорџ је своје писмо завршио фразом: „Ако желите ову књигу, могао бих да вам је поклоним следећи пут када дођете у Енглеску'.

Неколико година касније, у марту 2019, заправо сам стигао у Енглеску, након чега сам се договорио да се нађемо са Џорџом на доручку у малом хотелу у Оксфорду. Јели смо, ћаскали и чекали да се храна смири. Онда је био добар тренутак за разговор о књизи. Џорџ је посегнуо у актовку и извукао прилично скромно дизајнирану, типичну академску књигу из средине 1900-их.

Отворио сам поклопац, питајући се да ли можда има нешто на полеђини што је писало: „Власништво Алана Туринга" или нешто слично. Али, нажалост, показало се да то није случај. Међутим, била је праћена прилично експресивном белешком од четири странице Нормана Рутлиџа Џорџу Рутеру, написаном 2002. године.

Познавао сам Нормана Рутлеџа када сам био студент средња школа в Етон почетком 1970-их. Био је наставник математике са надимком "Нути Норман". Био је пријатан наставник у сваком погледу и причао је бескрајне приче о математици и свакојаким другим занимљивостима. Он је био одговоран да обезбеди да школа добије компјутер (програмиран помоћу бушене траке на целом столу) - био је први рачунар који сам икада користио.

У то време нисам знао ништа о Нормановој позадини (запамтите, ово је било много пре Интернета). Све што сам знао је да је он "Др. Рутледге." Често је причао приче о људима из Кембриџа, али никада у својим причама није поменуо Алана Тјуринга. Наравно, Тјуринг још није био много познат (иако сам, како се испоставило, већ чуо за њега од некога ко га је познавао у Блетцхлеи Парк (вила у којој се налазио центар за шифровање током Другог светског рата)).

Алан Тјуринг није постао познат све до 1981, када сам први пут почео да учи једноставне програме, иако тада још увек у контексту ћелијских аутомата, а не Тјурингове машине.

Када одједном једног дана, док прегледавамо каталог картица у библиотеци Цалтецх, наишао сам на књигу "Алан М. Тјуринг", коју је написала његова мајка Сара Тјуринг. Књига је садржала много информација, укључујући и о Тјуринговим необјављеним научним радовима о биологији. Међутим, нисам сазнао ништа о његовој вези са Норманом Рутлиџом, пошто се у књизи о њему ништа није помињало (иако је, како сам сазнао, Сара Тјуринг дописивао се са Норманом о овој књизи, а Норман је чак завршио писањем рецензија за то).

Десет година касније, изузетно радознао о Турингу и његовом (тада необјављеном) биолошки рад, Посетио сам Тјурингова архива в Кинг'с Цоллеге Цамбридге. Убрзо, пошто сам се упознао са оним што имају о Тјуринговом делу, и након што сам потрошио неко време на то, помислио сам да бих могао да замолим да видим и његову личну преписку. Док сам га прегледавао, открио сам неколико писама од Алана Тјуринга до Нормана Рутлеџа.

До тада је објављен биографија Андрев Ходгес, који је учинио толико да Тјуринг коначно постане познат, потврдио је да су Алан Туринг и Норман Роутледге заиста пријатељи, као и да је Тјуринг био Норманов научни саветник. Хтео сам да питам Рутлиџа о Тјурингу, али Норман је тада већ био у пензији и водио је повучен живот. Међутим, када сам завршио рад на књизи "Нова врста науке” 2002. године (након моје десетогодишње изолације), ушао сам у траг и послао му примерак књиге са натписом „Мојем последњем наставнику математике”. Онда он и ја мало дописивали, а 2005. сам се вратио у Енглеску и договорио да се нађемо са Норманом на чају у луксузном хотелу у центру Лондона.

Лепо смо разговарали о многим стварима, укључујући Алана Туринга. Норман је започео наш разговор рекавши нам да је заправо познавао Тјуринга, углавном површно, пре 50 година. Али ипак је имао шта да каже о њему лично: „Био је недруштвен'. "Много се кикотао'. "Није могао да разговара са нематематичарима'. "Увек се плашио да не наљути своју мајку'. "Дању је излазио и трчао маратон'. "Није био превише амбициозан" Разговор се затим окренуо Нормановој личности. Рекао је да, иако је у пензији 16 година, и даље пише чланке за "Математичке новине"тако да, по његовим речима,"завршите све своје научне радове пре него што пређете у следећи свет", где је, како је додао уз слаб осмех, "све математичке истине ће свакако бити откривене" Када се чајанка завршила, Норман је обукао своју кожну јакну и кренуо ка свом мопеду, потпуно несвестан експлозије које су пореметиле саобраћај у Лондону у тај дан.

Тада сам последњи пут видео Нормана; умро је 2013.

Шест година касније седео сам за доручком са Џорџом Рутером. Са собом сам имао белешку од Рутледгеа, написану 2002. његовим препознатљивим рукописом:

Прво сам прелетео белешку. Била је изражајна као и обично:

Добио сам књигу Алана Туринга од његовог пријатеља и извршиоца Робина Ганди (на Кинг'с колеџу је био ред да се поклањају књиге из збирке мртвих, а ја сам изабрао збирку песама А.Е. Хоусеман из књига Ивор Рамсаи као пригодан поклон (био је декан и скочио са капеле [1956.])…

Касније у краткој белешци пише:

Питате где би ова књига требало да заврши – по мом мишљењу, требало би да припадне некоме ко цени све што је повезано са Тјуринговим делом, па њена судбина зависи од вас.

Стивен Волфрам ми је послао своју импресивну књигу, али нисам довољно дубоко заронио у њу...

Он је закључио честитајући Џорџу Ратеру што је имао храбрости да се (привремено, како се испоставило) након пензионисања пресели у Аустралију, рекавши да је и сам „би се поиграо пресељењем у Шри Ланку као примером јефтине егзистенције налик лотосу“, али је додао да „догађаји који се тамо тренутно дешавају указују да то није требало да уради"(очигледно значи грађански рат у Шри Ланки).

Па шта се крије у дубинама књиге?

Дакле, шта сам урадио са копијом немачке књиге коју је написао Пол Дирак и која је некада припадала Алану Тјурингу? Не читам немачки, али јесам постојао примерак исте књиге на енглеском (који је његов изворни језик) издање из 1970-их. Међутим, једног дана за доручком се чинило исправним да пажљиво прегледам књигу страницу по страницу. На крају крајева, ово је уобичајена пракса када се ради о антикварним књигама.

Треба напоменути да ме је запањила елеганција Дираковог излагања. Књига је објављена 1931. године, али њен чисти формализам (и, да, упркос језичкој баријери, могао сам да читам математику у књизи) је скоро исти као да је написана данас. (Не желим да стављам превише на Дирака овде, али мој пријатељ Рицхард Феинман рекао ми је да је, бар по његовом мишљењу, Дираково излагање једносложно. Норман Рутледге ми је рекао да је био пријатељ на Кембриџу са усвојеник Дираков, који је постао теоретичар графова. Норман је често посећивао Диракову кућу и говорио да је „велики човек” понекад лично бледео у позадини, док је прва увек била пуна математичких загонетки. Ја лично, нажалост, никада нисам срео Пола Дирака, иако ми је речено да је, након што је коначно отишао са Кембриџа на Флориду, изгубио велики део своје раније чврстине и постао прилично друштвена особа).

Али вратимо се Дираковој књизи која је припадала Тјурингу. На 9. страни приметио сам подвлачење и мале белешке на маргинама, исписане оловком. Наставио сам да листам странице. Након неколико поглавља, белешке су нестале. Али онда, изненада, пронашао сам белешку приложену на страни 127 која је гласила:

Написано је на немачком стандардним немачким рукописом. И изгледа да она можда има неке везе са тим Лагранжева механика. Мислио сам да је вероватно неко поседовао ову књигу пре Тјуринга, а ово мора да је белешка коју је написала та особа.

Наставио сам да листам књигу. Није било белешки. И мислио сам да ништа друго не могу наћи. Али онда, на страни 231, открио сам брендирани обележивач - са одштампаним текстом:

Да ли ћу на крају открити још нешто? Наставио сам да листам књигу. Затим, на крају књиге, на страни 259, у одељку о релативистичкој теорији електрона, открио сам следеће:

Расклопио сам ово парче папира:

Одмах сам схватио шта је то ламбда рачун помешан са комбинатори, али како је овај лист завршио овде? Подсетимо се да је ова књига књига о квантној механици, али приложени летак се бави математичком логиком или оним што се данас назива теоријом рачунања. Ово је типично за Тјурингове списе. Питао сам се да ли је Тјуринг лично написао ову белешку?

Чак и током доручка тражио сам на интернету примере Тјуринговог рукописа, али нисам нашао ниједан пример у виду прорачуна, тако да нисам могао да извучем закључке о тачном идентитету рукописа. И ускоро смо морали да идемо. Пажљиво сам спаковао књигу, спреман да откријем мистерију која је то страница и ко ју је написао, и понео је са собом.

О књизи

Пре свега, хајде да разговарамо о самој књизи. "Принципи квантне механике» Диракова поља су објављена на енглеском 1930. и убрзо су преведена на немачки. (Дираков предговор је од 29. маја 1930; припада преводиоцу - Вернер Блоцх – 15. август 1930.) Књига је постала прекретница у развоју квантне механике, систематски успостављајући јасан формализам за извођење прорачуна и, између осталог, објашњавајући Дираково предвиђање о позитрон, који ће бити отворен 1932. године.

Зашто је Алан Тјуринг имао књигу на немачком, а не на енглеском? Не знам то сигурно, али у то време немачки је био водећи језик науке, а знамо да је Алан Тјуринг могао да га чита. (Уосталом, у име његовог славног машина рад Туринг «О израчунљивим бројевима са применом на проблем решавања (Ентсцхеидунгспроблем)“ је била веома дуга немачка реч – и у главном делу чланка он оперише прилично нејасним готским симболима у виду „немачких слова“ које је користио уместо, на пример, грчких симбола).

Да ли је Алан Тјуринг сам купио ову књигу или му је дата? Не знам. На унутрашњој корици Тјурингове књиге налази се ознака оловком „20/-“, која је била стандардна ознака за „20 шилинга“, слична £1. На десној страни налази се избрисано „26.9.30“, вероватно 26. септембар 1930, вероватно датум када је књига први пут купљена. Затим, крајње десно, је избрисани број „20“. Можда је опет цена. (Може ли ово бити цена у Реицхсмаркс, под претпоставком да је књига продата у Немачкој? У то време, 1 Рајхсмарк је вредео око 1 шилинг, немачка цена би вероватно била написана као „РМ20“ на пример.) Коначно, на унутрашњој задњој корици стоји „ц 5/-“ – можда ово, (са великим попуст) цена за половну књигу.

Хајде да погледамо главне датуме у животу Алана Туринга. Алан Туринг рођен 23 (случајно, тачно 76 година пре Матхематица 1.0 издање). У јесен 1931. уписао је Кинг'с Цоллеге у Кембриџу. Дипломирао је након стандардне три године студија 1934. године.

Током 1920-их и раних 1930-их, квантна механика је била врућа тема, а Алан Туринг је свакако био заинтересован за њу. Из његове архиве знамо да је 1932. године, чим је књига изашла, добио „Математичке основе квантне механике» Џон фон Нојман (он Немачки). Такође знамо да је Тјуринг 1935. године добио задатак од физичара са Кембриџа Ралпх Фовлер на тему проучавања квантне механике. (Фовлер је предложио израчунавање диелектрична константа воде, што је заправо веома сложен проблем који захтева потпуну анализу са интеракционом квантном теоријом поља, која још увек није у потпуности решена).

Па ипак, када и како је Тјуринг добио свој примерак Диракове књиге? С обзиром да књига има означену цену, Тјуринг ју је вероватно купио половну. Ко је био први власник књиге? Чини се да се напомене у књизи првенствено баве логичком структуром, уз напомену да неки логички однос треба узети као аксиом. Шта је онда са белешком на страни 127?

Па, можда је то случајност, али баш на страни 127 – Дирак говори о кванту принцип најмање акције и поставља темеље за Интеграл Фејнманове путање — што је основа читавог модерног квантног формализма. Шта садржи белешка? Садржи проширење једначине 14, која је једначина за временску еволуцију квантне амплитуде. Аутор белешке је заменио Дирац А за амплитуду са ρ, можда тиме одражавајући ранију (аналогију са густином течности) немачку нотацију. Аутор затим покушава да прошири радњу силама ℏ (Планкова константа, подељено са 2π, понекад се назива Диракова константа).

Али изгледа да нема много корисних информација које би се могле извући из онога што је на страници. Ако страницу држите до светла, она садржи мало изненађење - водени жиг који каже „З ф. Пхисик. Цхем. Б":

Ово је скраћена верзија Зеитсцхрифт фур пхисикалисцхе Цхемие, Абтеилунг Б - немачки часопис о физичкој хемији, који је почео да излази 1928. године. Можда је белешку написао уредник часописа? Ево наслова часописа из 1933. године. Згодно је да су уредници наведени по локацији, а један се истиче: „Боурне · Кембриџ.“

То је оно што је Мак Борн ко је аутор Борн правила и још много тога у теорији квантне механике (као и певачев деда Оливиа Невтон-Јохн). Дакле, ову белешку је можда написао Макс Борн? Али, нажалост, то није случај, јер се рукопис не поклапа.

Шта је са обележивачем на страни 231? Ево га са обе стране:

Обележивач је чудан и прилично леп. Али када је направљен? У Кембриџу постоји Хефферс Бооксторе, иако је сада део Блеквела. Више од 70 година (до 1970. године) Хеферс се налазио на адреси, како показује обележивач, 3 и 4 од Петти Цури.

Ова картица садржи важан кључ - ово је број телефона „Тел. 862". Као што се десило, 1939. године већина Кембриџа (укључујући Хеферса) прешла је на четвороцифрене бројеве, а сигурно су до 1940. године обележивачи штампани са „модерним“ телефонским бројевима. (Енглески телефонски бројеви су постепено постајали све дужи; када сам одрастао у Енглеској 1960-их, наши телефонски бројеви су били „Окфорд 56186“ и „Кидморе Енд 2378“. Део разлога због којих се сећам ових бројева је зато што, колико је сада чудно није изгледало као да увек зовем свој број када одговарам на долазни позив).

У овом облику обележивач је штампан до 1939. године. Али колико дуго пре тога? Постоји доста скенирања старих Хефферс огласа на мрежи, који датирају најмање из 1912. године (заједно са „Молимо вас да испуните своје захтеве...“) они допуњују „Телефон 862“ додавањем „(2 реда).“ Постоје и неки обележивачи са сличним дизајном који се могу наћи у књигама још из 1904. године (иако је нејасно да ли су оригинални за ове књиге (тј. штампани у исто време). За потребе нашег истраживања, чини се да смо може закључити да је ова књига дошла из Хеферове (која је, иначе, била главна књижара у Кембриџу) ​​негде између 1930. и 1939. године.

Страница ламбда рачуна

Дакле, сада знамо нешто о томе када је књига купљена. Али шта је са „страницом ламбда рачуна“? Када је ово написано? Па, наравно, до тада је већ требало да буде измишљен ламбда рачун. И то је учињено Алонзо црква, математичар из Принцетон, у првобитном облику 1932. а у коначном облику 1935. године. (Било је радова претходних научника, али они нису користили ознаку λ).

Постоји сложена веза између Алана Тјуринга и ламбда рачуна. Године 1935. Тјуринг се заинтересовао за „механизацију“ математичких операција и измислио идеју о Тјуринговој машини, користећи је за решавање проблема из фундаменталне математике. Тјуринг је послао чланак на ову тему француском часопису (Цомптес рендус), али је изгубљен у пошти; а онда се испоставило да прималац коме је послао ионако није ту, пошто се преселио у Кину.

Али у мају 1936, пре него што је Тјуринг могао да пошаље свој рад било где другде, Рад Алонза Черча стигао је из САД. Тјуринг се раније жалио на то када је развио доказ 1934 централна гранична теорема, тада сам открио да постоји норвешки математичар који је већ пружио доказе у КСНУМКС године.
Није тешко видети да су Тјурингове машине и ламбда рачун ефективно еквивалентни у врстама прорачуна које могу да представљају (и то је почетак Черч-Тјурингова теза). Међутим, Тјуринг (и његов учитељ Мак Невман) били су убеђени да је Тјурингов приступ довољно другачији да би заслужио сопствену публикацију. Новембра 1936. (и са исправљеним грешкама у куцању следећег месеца) у Процеедингс оф тхе Лондон Матхематицал Социети Објављен је чувени Тјурингов рад „О израчунљивим бројевима...“.

Да мало попунимо временску линију: од септембра 1936. до јула 1938. (са тромесечном паузом у лето 1937.), Тјуринг је био на Принстону, пошто је тамо отишао са циљем да постане дипломирани студент Алонзо Черча. Током овог периода на Принстону, Тјуринг се очигледно у потпуности концентрисао на математичку логику, написавши неколико тешко читљиви чланци пуни Черчевог ламбда рачуна, - и, највероватније, код себе није имао књигу о квантној механици.

Тјуринг се вратио у Кембриџ јула 1938, али је до септембра те године радио на пола радног времена у Државна школа кодова и шифри, а годину дана касније преселио се у Блетцхлеи Парк са циљем да тамо ради пуно радно време на питањима везаним за криптоанализу. Након завршетка рата 1945. године, Тјуринг се преселио у Лондон да ради за Национална физичка лабораторија на развоју пројекта за стварање компјутер. Провео је школску 1947–8. на Кембриџу, али се потом преселио у Манчестер да би се постоји први рачунар.

Године 1951. Тјуринг је почео озбиљно да учи теоријска биологија. (За мене лично ова чињеница је донекле иронична, јер ми се чини да је Тјуринг увек подсвесно веровао да биолошке системе треба моделовати диференцијалним једначинама, а не нечим дискретним попут Тјурингових машина или ћелијских аутомата). Своје интересовање је такође вратио на физику, а до 1954. чак писао свом пријатељу и ученику Робину Гандију, Шта: "Покушао сам да измислим нову квантну механику" (иако је додао: "али у ствари није чињеница да ће то успети"). Али, нажалост, све се нагло прекинуло 7. јуна 1954. године, када је Тјуринг изненада умро. (Претпостављам да није било самоубиство, али то је друга прича.)

Дакле, вратимо се на страницу ламбда рачуна. Подигнимо га до светла и поново видимо водени жиг:

Чини се да је то комад папира британске производње и мало је вероватно да би се користио на Принстону. Али можемо ли га тачно датирати? Па, не без помоћи Британско удружење историчара папира, знамо да је званични произвођач папира био Спалдинг & Ходге, Папермакерс, Друри Хоусе Вхолесале анд Екпорт Цомпани, Русселл Стреет, Друри Лане, Цовент Гарден, Лондон. Ово нам може помоћи, али не много, пошто се може претпоставити да је њихова марка папира Екцелсиор била укључена у каталоге набавке од 1890-их до 1954. године.

Шта каже ова страница?

Дакле, хајде да ближе погледамо шта се налази на обе стране папира. Почнимо са ламбдама.

Ево начина да се утврди „чисте“ или „анонимне“ функције, и они су основни концепт у математичкој логици, а сада и у функционалном програмирању. Ове функције су прилично уобичајене у језику Волфрам Лангуаге, а њихов задатак је прилично лако објаснити. На пример, неко пише f[x] за означавање функције f, примењен на аргумент к. И има много именованих функција f као такав Абс или грех или Зељко Јоксимовиц. Али шта ако неко хоће f[x] био 2к +1? Не постоји директан назив за ову функцију. Али постоји ли други облик задатка, f[x]?

Одговор је да: уместо тога f ми пишемо Function[a,2a+1]. И то на волфрамском језику Function [a,2a+1][x] примењује функције на аргумент к, производећи 2x+1. Function[a,2a+1] је „чиста“ или „анонимна“ функција која представља чисту операцију множења са 2 и сабирања 1.

Дакле, λ у ламбда рачуну је тачан аналог функција у Волфрамском језику – и стога, на пример, λа.(2 а+1) еквивалент Function[a, 2a + 1]. (Вреди напоменути да функција, рецимо, Function[b,2b+1] еквивалент; "везане варијабле" a или b су једноставно замене аргумената функције - а у Волфрам Лангуаге-у се могу избећи коришћењем алтернативних дефиниција чистих функција (2# +1)&).

У традиционалној математици, функције се обично сматрају објектима који представљају улазе (који су такође цели бројеви, на пример) и излазе (који су такође, на пример, цели бројеви). Али какав је ово објекат? функција (или λ)? У суштини, то је оператор структуре који узима изразе и претвара их у функције. Ово може изгледати мало чудно из перспективе традиционалне математике и математичке нотације, али ако је потребно да извршите произвољну манипулацију симболима, много је природније, чак и ако у почетку изгледа мало апстрактно. (Треба напоменути да када корисници науче Волфрам Лангуаге, увек могу рећи да су прешли одређени праг апстрактног размишљања када схвате функција).

Ламбда су само део онога што је присутно на страници. Постоји још један, још апстрактнији концепт - ово комбинатори. Размотрите прилично нејасан низ PI1IIx? Шта би ово могло значити? У суштини, ово је низ комбинатора, или нека апстрактна композиција симболичких функција.

Уобичајена суперпозиција функција, прилично позната у математици, може се написати на Волфрам Лангуаге-у као: f[g[x]] - што значи "применити" f на резултат примене g к x" Али да ли су заграде заиста неопходне за ово? На волфрамском језику f@g@ x - алтернативни облик снимања. У овом посту ослањамо се на дефиницију у Волфрам Лангуаге-у: оператор @ је повезан са десном страном, тако да f@g@x еквивалент f@(g@x).

Али шта ће снимак значити? (f@g)@x? Ово је еквивалентно f[g][x]. А ако f и g биле обичне функције у математици, било би бесмислено, али ако f - функција вишег реда, Онда f[g] сама по себи може бити функција на коју се може применити x.

Имајте на уму да овде још увек постоји одређена сложеност. ИН f[х] - f је функција једног аргумента. И f[х] је еквивалентно писању Function[a, f[a]][x]. Али шта је са функцијом са два аргумента, рецимо f[x,y]? Ово се може написати као Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Али шта ако Function[{a},f[a,b]]? Шта је ово? Овде постоји "слободна променљива". b, који се једноставно прослеђује функцији. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] ће повезати ову променљиву, а затим Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] даје f[x,y] опет. (Одређивање функције тако да има један аргумент назива се „цурриинг“ у част логичара по имену Хаскелл Цурри).

Ако постоје слободне променљиве, онда постоји много различитих сложености у погледу начина на који се функције могу дефинисати, али ако се ограничимо на објекте функција или λ, који немају слободне променљиве, онда се у основи могу слободно специфицирати. Такви објекти се називају комбинатори.

Комбинатори имају дугу историју. Познато је да их је први пут предложио студент 1920. године Давид Гилберт - Мосес Схенфинкел.

У то време, тек је недавно откривено да нема потребе за употребом израза И, Or и Не за представљање израза у стандардној пропозиционој логици: било је довољно користити један оператор, који ћемо сада назвати Нанд (јер, на пример, ако пишете Нанд као · онда Or[a,b] попримиће форму (а·а)·(б·б)). Шонфинкел је желео да пронађе исту минималну репрезентацију предикатске логике, или, у суштини, логику укључујући функције.

Смислио је два „комбинатора“ С и К. У језику Волфрам ово ће бити написано као
К[к_][и_] → к и С[к_][и_][з_] → к[з][и[з]].

Занимљиво је да се показало да је могуће користити ова два комбинатора за обављање било каквог прорачуна. На пример,

С[К[С]][С[К[С[К[С]]]][С[К[К]]]]

може се користити као функција за сабирање два цела броја.

Све су ово у најмању руку прилично апстрактни објекти, али сада када разумемо шта су Тјурингове машине и ламбда рачун, можемо видети да су Шонфинкелови комбинатори заправо антиципирали концепт универзалног рачунарства. (А оно што је још упечатљивије је да су дефиниције С и К из 1920. минимално једноставне, подсећају на врло једноставна универзална Тјурингова машина, који сам предложио 1990-их, чија је свестраност била доказано 2007).

Али вратимо се нашем листу и линији ПИ1ИИк. Симболи написани овде су комбинатори и сви су дизајнирани да специфицирају функцију. Овде је дефиниција да суперпозиција функција мора бити лево асоцијативна, тако да фгк не треба тумачити као ф@г@к или ф@(г@к) или ф[г[к]], већ као (ф@г)@к или ф[г][к]. Хајде да преведемо овај унос у облик погодан за употребу од стране Волфрам Лангуаге-а: ПИ1ИИк попримиће форму п[и][један][и][и][к].

Зашто писати тако нешто? Да бисмо ово објаснили, морамо да разговарамо о концепту црквених бројева (назван по Алонзо Черчу). Рецимо да радимо само са симболима и ламбда или комбинаторима. Постоји ли начин да их користите за одређивање целих бројева?

Како би било да само кажемо да је број n одговара Function[x, Nest[f,x,n]]? Или, другим речима, да (краће речено):

1 je f[#]&
2 je f[f[#]]&
3 je f[f[f[#]]]& и тако даље.

Све ово може изгледати мало нејасније, али разлог зашто је занимљив је тај што нам омогућава да све учинимо потпуно симболичним и апстрактним, без потребе да експлицитно говоримо о нечему попут целих бројева.

Са овим методом одређивања бројева, замислите, на пример, да додате два броја: 3 се може представити као f[f[f[#]]]& а 2 је f[f[#]]&. Можете их додати тако што ћете једноставно применити један од њих на други:

Али шта је предмет? f? То може бити било шта! У извесном смислу, „идите на ламбда“ до краја и представљајте бројеве користећи функције које узимају f као аргумент. Другим речима, представимо 3, на пример, као Function[f,f[f[f[#]]] &] или Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (када и како треба да именујете променљиве је трљање у ламбда прорачуну).

Размотрите фрагмент Тјуринговог рада из 1937. године "Израчунљивост и λ-различивост", који поставља објекте управо онако како смо управо разговарали:

Овде снимак може постати мало збуњујући. x Туринг је наш f, И његов Икс' (дактилограф је погрешио убацивши размак) – ово је наше x. Али овде се користи потпуно исти приступ.

Дакле, погледајмо линију одмах након прегиба на предњој страни папира. Ово И1ИИИИИ1ИИк. Према нотацији Волфрам Лангуаге, ово би било i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Али овде је ја функција идентитета, дакле i[one] то једноставно показује један. у међувремену, један је Черчва нумеричка репрезентација за 1 или Function[f,f[#]&]. Али са овом дефиницијом one[а] постаје a[#]& и one[a][b] постаје a[b]. (Између осталог, i[а][b]Или Identity[а][b] је такође а[b]).

Биће много јасније ако запишемо правила замене за i и један, уместо директне примене ламбда рачуна. Резултат ће бити исти. Експлицитно примените ова правила, добијамо:

А ово је потпуно исто као што је представљено у првом скраћеном уносу:

Погледајмо сада поново лист, на његовом врху:

Овде има неких прилично збуњујућих и збуњујућих објеката „Е“ и „Д“, али под њима подразумевамо „П“ и „К“, тако да можемо да напишемо израз и проценимо га (имајте на уму да овде – након неке забуне са последњи симбол - „мистериозни научник“ ставља […] и (...) да представља примену функције):

Дакле, ово је прва приказана скраћеница. Да бисте видели више, убацимо дефиниције за К:

Добијамо управо следећу приказану редукцију. Шта се дешава ако заменимо изразе за П?

Ево резултата:

А сада, користећи чињеницу да је и функција која даје сам аргумент, добијамо:

Ооооопс! Али ово није следећа снимљена линија. Има ли овде грешке? Нејасно. Јер, уосталом, за разлику од већине других случајева, нема стрелице која показује да следећи ред следи из претходног.

Овде постоји мало мистерије, али хајде да пређемо на дно листа:

Овде је 2 црквени број, одређен, на пример, шаблоном two[a_] [b_] → a[a[b]]. Имајте на уму да је ово заправо облик другог реда ако се а сматра као Function[r,r[р]] и b као q. Дакле, очекујемо да ће резултат прорачуна бити следећи:

Међутим, израз изнутра а[b] може се написати као к (вероватно другачије од к претходно написаног на комаду папира) - на крају добијамо коначни резултат:

Дакле, можемо мало да дешифрујемо шта се дешава на овом комаду папира, али бар једна мистерија која још увек остаје је шта би И требало да буде.

У ствари, у комбинаторној логици постоји стандардни И-комбинатор: тзв комбинатор фиксне тачке. Формално, то је дефинисано чињеницом да И[f] мора бити једнака f[И[f]], или, другим речима, да И[f] се не мења када се примени ф, тако да је фиксна тачка за f. (Комбинатор И је повезан са #0 на Волфрам језику.)

Тренутно је И-комбинатор постао познат захваљујући И-Цомбинатор акцелератор покретања, тако назван Паул Грахам (који је већ дуго обожавалац функционално програмирање и ЛИСП програмски језик и имплементирао прву веб продавницу засновану на овом језику). Једном ми је лично рекао „нико не разуме шта је И комбинатор" (Треба напоменути да је И Цомбинатор управо оно што компанијама омогућава да избегну трансакције са фиксном тачком...)

Комбинатор И (као комбинатор фиксне тачке) је измишљен неколико пута. Тјуринг је заправо дошао до његове имплементације 1937. године, коју је назвао Θ. Али да ли је слово "И" на нашој страници чувени комбинатор фиксне тачке? Можда не. Дакле, шта је наше "И"? Узмите у обзир ову скраћеницу:

Али ова информација очигледно није довољна да се недвосмислено одреди шта је И. Јасно је да И не оперише само са једним аргументом; Чини се да су у питању најмање два аргумента, али је нејасно (бар мени) колико аргумената узима као улаз и шта ради.

Коначно, иако можемо схватити многе делове папира, морамо рећи да на глобалном нивоу није јасно шта је на њему урађено. Иако постоји много објашњења о томе шта је овде на листу, то је прилично основно у ламбда рачуну и коришћењу комбинатора.

Претпоставља се да је ово покушај да се направи једноставан "програм" - користећи ламбда рачун и комбинаторе да се нешто уради. Али колико год да је ово типично за обрнути инжењеринг, тешко нам је рећи шта би то „нешто“ требало да буде и шта је свеукупни „објашњиви“ циљ.

Постоји још једна карактеристика представљена на листу коју вреди коментарисати овде - употреба различитих врста заграда. Традиционална математика углавном користи заграде за све - и функције функција (као у ф (к)), и групе чланова (као у (1+к) (1-к), или, мање очигледно, а(1-к)). (У Волфрам језику раздвајамо различите употребе заграда – у угластим заградама да бисмо дефинисали функције f [x] - а заграде се користе само за груписање).

Када се први пут појавио ламбда рачун, било је много питања о употреби заграда. Алан Туринг ће касније написати читаво (необјављено) дело под насловомКонверзија математичке нотације и фразеологије“, али је већ 1937. осетио да треба да опише модерне (прилично хаковске) дефиниције за ламбда рачун (који се, иначе, појавио због Черча).

Он је рекао да f, примењује на g, треба написати {ф}(г), Само ако f није једини лик, у овом случају би могао бити ф(г). Затим је рекао ламбда (као у Function[a, b]) треба написати као λ a[b] или, алтернативно, λ a.b.

Међутим, можда је до 1940. цела идеја коришћења {...} и […] за представљање различитих објеката напуштена, углавном у корист стандардних заграда математичког стила.

Погледајте врх странице:

У овом облику је тешко разумети. У Черчевим дефиницијама, угласте заграде су намењене груписању, при чему отворена заграда замењује тачку. Користећи ову дефиницију, постаје јасно да је К (евентуално означен Д) у заградама на крају оно на шта се примењује цела почетна ламбда.

Углата заграда овде заправо не ограничава тело ламбда; уместо тога, она заправо представља другу употребу функције и нема експлицитне индикације где се тело ламбда завршава. На крају, може се видети да је „мистериозни научник“ променио завршну угласту заграду у округлу, чиме је ефективно применио Черчеву дефиницију – и на тај начин приморао да се израз израчуна како је приказано на листу.

Дакле, шта овај мали комад уопште значи? Мислим да ово сугерише да је страница написана 1930-их година, или недуго затим, пошто се конвенције за заграде још нису усталиле до тог времена.

Па чији је ово рукопис уопште био?

Дакле, пре овога смо причали о томе шта пише на страници. Али шта је са тим ко је то заправо написао?

Најочигледнији кандидат за ову улогу био би сам Алан Туринг, пошто је, на крају крајева, страница била унутар његове књиге. Што се тиче садржаја, чини се да нема ничег некомпатибилног са идејом да је Алан Туринг могао да то напише – чак и када се први пут ухватио у коштац са ламбда рачуном након што је примио Черчов рад почетком 1936. године.

Шта је са рукописом? Да ли припада Алану Тјурингу? Погледајмо неколико преживелих примера за које сигурно знамо да их је написао Алан Туринг:

Представљени текст очигледно изгледа веома другачије, али шта је са нотацијом која се користи у тексту? Барем, по мом мишљењу, то не изгледа тако очигледно - и може се претпоставити да било каква разлика може бити узрокована управо чињеницом да су постојећи узорци (представљени у архиви) написани, да тако кажем, „на површини“ , док је наша страница управо одраз дела мисли.

Испоставило се згодним за нашу истрагу да се у Тјуринговој архиви налази страница на којој је он писао табела симбола, неопходно за нотацију. А када упоредим ове симболе слово по слово, изгледају прилично слични мени (ове белешке су направљене у времена Туринга када је студирао проучавање раста биљака, отуда и ознака „област листа“):

Желео сам да ово даље истражим, па сам послао узорке Схеила Лове, професионални стручњак за рукопис (и аутор проблема заснованих на рукопису) кога сам имао задовољство да једном упознам – једноставно тако што сам представио наш рад као „Узорак ’А’“ и постојећи узорак Тјуринговог рукописа као „Узорак „Б““. Њен одговор је био коначан и негативан: „Стил писања је потпуно другачији. У погледу личности, аутор узорка "Б" има бржи и интуитивнији стил размишљања од аутора узорка "А".'.

Још нисам био потпуно убеђен, али сам одлучио да је време да погледам друге опције.

Дакле, ако се испостави да га Тјуринг није написао, ко је онда написао? Норман Роутледге ми је рекао да је књигу добио од Робина Гандија, који је био Тјурингов егзекутор. Па сам послао „Узорак „Ц““ од Гандија:

Али Шилин првобитни закључак био је да су три узорка вероватно написала три различита човека, поново напомињући да је узорак „Б“ дошао из „најбржи мислилац — онај који ће вероватно бити најспремнији да тражи необична решења за проблеме" (Сматрам да је освежавајуће што би савремени стручњак за рукопис дао ову процену Тјуринговог рукописа, с обзиром на то колико су се сви жалили на његов рукопис у Тјуринговим школским задацима из 1920-их.)

Па, у овом тренутку се чинило да су и Тјуринг и Ганди искључени као "осумњичени". Па ко је могао ово да напише? Почео сам да размишљам о људима којима је Тјуринг могао да позајми своју књигу. Наравно, они такође морају бити у стању да раде прорачуне користећи ламбда рачун.

Претпоставио сам да је особа из Кембриџа, или барем из Енглеске, с обзиром на водени жиг на папиру. Узео сам то као радну хипотезу да је 1936. или тако нешто било добро време да ово напишем. Дакле, кога је Тјуринг познавао и са ким је комуницирао у то време? За овај временски период добили смо списак свих студената и наставника математике на Кингс колеџу. (Било је 13 познатих студената који су студирали од 1930. до 1936. године.)

И од њих је изгледао најперспективнији кандидат Давид Цхампернов. Био је истих година као Тјуринг, његов дугогодишњи пријатељ, а занимала га је и основна математика – чак је 1933. објавио рад о ономе што данас зовемо Цхампернов-ова константа („нормалан“ број): 0.12345678910111213… (добио комбиновање бројева 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,… и један од ретких бројева познат као "нормалан" у смислу да се сваки могући блок цифара јавља са једнаком вероватноћом).

Године 1937. чак је користио Диракове гама матрице, како се помиње у Дираковој књизи, да реши математички проблем рекреације. (Као што се дешава, годинама касније постао сам велики обожаватељ израчунавања гама матрице).

Почевши да студира математику, Цхамперновне је дошао под утицај Џон Мејнард Кејнс (такође на Кинг'с Цоллеге) и на крају постао истакнути економиста, посебно радећи на неједнакости прихода. (Међутим, 1948. такође је радио са Тјурингом на стварању Турбоцхамп - шаховски програм, који је постао практично први у свету који је имплементиран на рачунару).

Али где бих могао да нађем узорак Цхамперновнеовог рукописа? Убрзо сам на ЛинкедИну пронашао његовог сина Артхура Цхамперновнеа, који је, зачудо, имао диплому математичке логике и радио за Мицрософт. Рекао је да је његов отац са њим доста разговарао о Тјуринговом раду, иако није помињао комбинаторе. Послао ми је узорак очевог рукописа (фрагмент о алгоритамској композицији музике):

Одмах можете рећи да се рукописи не поклапају (коврче и репови у словима ф у Цхамперновнеовом рукопису, итд.)

Па ко би други могао бити? Увек сам се дивио Мак Невман, на много начина ментор Алану Тјурингу. Њуман је први заинтересовао Туринга"механизација математике“ је био његов дугогодишњи пријатељ, а годинама касније постао му је шеф компјутерског пројекта у Манчестеру. (Упркос његовом интересовању за прорачуне, Њумен је изгледа увек себе доживљавао као тополога, иако су његови закључци били поткрепљени погрешним доказом који је извео из Поинцаре претпоставке).

Није било тешко пронаћи узорак Њумановог рукописа - и опет, не, рукописи се дефинитивно нису поклапали.

„Трагом” књиге

Дакле, идеја о идентификацији рукописа није успела. И одлучио сам да је следећи корак да покушам да мало детаљније уђем у траг шта се заправо дешава са књигом коју сам држао у рукама.

Дакле, прво, која је била дужа прича са Норманом Рутледгеом? Похађао је Кинг'с Цоллеге у Кембриџу 1946. и упознао Туринга (да, обојица су били геј). Дипломирао је на колеџу 1949. године, а затим је почео да пише докторску тезу са Тјурингом као његовим саветником. Докторирао је 1954. године, радећи на математичкој логици и теорији рекурзије. Добио је личну стипендију за Кинг'с Цоллеге, а до 1957. постао је шеф тамошњег одељења за математику. То је могао да ради целог живота, али је имао широка интересовања (музика, уметност, архитектура, рекреативна математика, генеалогија, итд.). Године 1960. променио је свој академски правац и постао наставник у Итону, где су генерације студената (укључујући и мене) радиле (и студирале) и биле изложене његовом еклектичном, а понекад чак и чудном знању.

Да ли је Норман Роутледге могао сам написати ову мистериозну страницу? Познавао је ламбда рачун (мада га је, случајно, поменуо када смо пили чај 2005. да му је увек био „збуњујући“). Међутим, његов карактеристичан рукопис одмах га искључује као могућег „мистериозног научника“.

Да ли је страница на неки начин повезана са Нормановим студентом, можда из времена када је још био на Кембриџу? Сумњам. Јер мислим да Норман никада није проучавао ламбда рачун или нешто слично. Док сам писао овај чланак, открио сам да је Норман написао рад 1955. о стварању логике на „електронским рачунарима“ (и стварању коњунктивних нормалних облика, као што то сада чини уграђена функција БоолеанМинимизе). Када сам познавао Нормана, био је веома заинтересован за писање услужних програма за праве рачунаре (његови иницијали су били „НАР“, а своје програме је називао „НАР...“, на пример, „НАРЛАБ“, програм за креирање текстуалних етикета помоћу пробушених рупа „шаре” „на папирној траци). Али никада није говорио о теоријским моделима рачунања.

Хајде да мало пажљивије прочитамо Норманову белешку у књизи. Прво што ћемо приметити је да он говори о "нуђење књига из библиотеке умрлог лица" А из формулације звучи као да се све догодило прилично брзо након што је човек умро, што сугерише да је Норман добио књигу убрзо након што је Тјуринг умро 1954. године, и да је Гандију недостајала већ дуже време. Норман даље каже да је заправо добио четири књиге, две о чистој математици и две о теоријској физици.

Затим је рекао да је дао "други из књиге физике (некако, Херман Веил)""За Себага Монтефиореа, пријатног младића којег се можда сећате [Георге Руттер]" Добро, ко је он? Ископао сам своју ретко коришћену листу чланова Удружење Олд Етон. (Морам да кажем да када сам је отворио нисам могао а да не приметим њена правила од 1902. године, од којих је прво, под насловом „Права чланова“, звучало смешно: „Обуците се у бојама Удружења").

Треба додати да се вероватно никада не бих придружио овом друштву или добио ову књигу да није било наговора пријатеља из Итона по имену Николас Кермак, који је од своје 12. године планирао да једног дана постане премијер, али је нажалост умро у 21. години).

Али у сваком случају, било је само пет особа наведених са презименом Себаг-Монтефиоре, са широким распоном датума студирања. Није било тешко схватити да је прикладан Хју Себаг-Монтефиоре. Мали свет, како се испоставило, његова породица је поседовала Блечли парк пре него што га је продала британској влади 1938. А 2000. писао је Себаг-Монтефиоре књига о разбијању Енигме (немачке машине за шифровање) - То је, по свој прилици, разлог зашто је 2002. Норман одлучио да му поклони књигу коју је Тјуринг имао.

Добро, шта је са осталим књигама које је Норман добио од Тјуринга? Пошто нисам имао другог начина да сазнам шта им се догодило, наручио сам копију Норманове опоруке. Последња клаузула тестамента је јасно била у Нормановом стилу:

У тестаменту је писало да Норманове књиге треба оставити на Кингс колеџу. И мада изгледа да се његова комплетна колекција књига не може наћи нигде, Тјурингове две књиге о чистој математици, које је поменуо у својој белешци, сада су прописно архивиране у библиотеци Кингс колеџа.

Следеће питање: шта се десило са другим Тјуринговим књигама? Погледао сам Тјурингов тестамент, за који се испоставило да их је све препустио Робину Гандију.

Ганди је био студент математике на Кингс колеџу у Кембриџу, који се спријатељио са Аланом Тјурингом на последњој години колеџа 1940. На почетку рата, Ганди је радио на радију и радару, али је 1944. распоређен у исту јединицу као и Тјуринг и радио је на шифровању говора. А после рата, Ганди се вратио у Кембриџ, убрзо докторирао, а Тјуринг је постао његов саветник.

Његов рад у војсци очигледно га је навео да се заинтересује за физику, а његова дисертација, завршена 1952, носила је наслов „О аксиоматским системима у математици и теоријама у физици“. Чинило се да Ганди покушава да уради било да окарактерише физичке теорије у терминима математичке логике. Он говори о теорије типа и правила повлачења, али не о Тјуринговим машинама. И из онога што сада знамо, мислим да можемо закључити да је прилично промашио поенту. И заиста, мој сопствени рад је од раних 1980-их тврдио да физичке процесе треба сматрати „различитим прорачунима“—на пример, као Тјурингове машине или ћелијски аутомати—а не као теореме које треба извести. (Гандхи прилично лепо расправља о редоследу типова укључених у физичке теорије, говорећи на пример да „Верујем да је ред било ког израчунљивог децималног броја у бинарном облику мањи од осам"). Он је рекао да "Један од разлога зашто је модерна квантна теорија поља толико сложена је само зато што се бави објектима прилично сложеног типа - функционалима функција...", што на крају значи да "могли бисмо узети највећи тип уобичајене употребе као меру математичког напретка".)

Ганди помиње Туринга неколико пута у дисертацији, напомињући у уводу да је дужан А. М. Турингу, који је „прво је скренуо своју помало неусредсређену пажњу на Черчов рачун” (тј. ламбда рачун), иако у ствари његова теза има неколико ламбда доказа.

Након одбране дисертације, Ганди се окренуо чистијој математичкој логици и више од три деценије писао чланке по један годишње, а ти чланци су прилично успешно цитирани у заједници међународне математичке логике. Преселио се у Оксфорд 1969. и мислим да сам га срео у младости, иако се тога не сећам.
Ганди је очигледно веома обожавао Тјуринга и често је говорио о њему у каснијим годинама. Ово поставља питање комплетне збирке Тјурингових дела. Убрзо након Тјурингове смрти, Сара Тјуринг и Макс Њуман затражили су од Гандија – као његовог извршиоца – да организује објављивање Тјурингових необјављених дела. Године су пролазиле и писма из архива одражавају фрустрацију Саре Тјуринг по овом питању. Али некако се чинило да Ганди никада није планирао да састави Тјурингове папире.

Ганди је умро 1995. године не обједињујући завршене радове. Ницк Фурбанк – књижевни критичар и биограф Е. М. Форстер, кога је Тјуринг упознао на Кингс колеџу, био је Тјурингов књижевни агент и коначно је почео да ради на Тјуринговим сабраним делима. Најконтроверзнија се чинила књига о математичкој логици, за коју је привукао свог првог озбиљног дипломираног студента Робина Гандија, извесног Мике Иатес, који је пронашао писма Гандију о сабраним делима која нису покретана 24 године. (Сабрана дела коначно су се појавили 2001. – 45 година након њиховог пуштања).

Али шта је са књигама које је Тјуринг лично поседовао? Настављајући да покушавам да им уђем у траг, моја следећа станица била је породица Туринг, а посебно најмлађи син Тјуринговог брата, Дермот Туринг (који је заправо Сир Дермот Туринг, због чињенице да је био баронет, ова титула на њега није прешла преко Алана у породици Туринг). Дермот Туринг (који је недавно написао биографија Алана Тјуринга) ми је причао о „Тјуринговој баки“ (ака Сара Тјуринг), њена кућа је очигледно делила улаз у башту са његовом породицом и многе друге ствари о Алану Тјурингу. Рекао ми је да личне књиге Алана Туринга никада нису биле у њиховој породици.

Зато сам се вратио читању тестамента и открио да је Гандијев егзекутор био његов ученик Мајк Јејтс. Сазнао сам да се Мајк Јејтс пензионисао као професор пре 30 година и да сада живи у Северном Велсу. Рекао је да деценијама колико је радио на математичкој логици и теорији рачунарства никада није дотакао рачунар - али коначно јесте када је отишао у пензију (и, то се догодило, убрзо након што је открио програм Матхематица). Рекао је како је дивно што је Тјуринг постао толико познат и да када је стигао у Манчестер само три године након Тјурингове смрти, нико није причао о Тјурингу, чак ни Макс Њумен када је држао курс логике. Међутим, Ганди ће касније причати о томе колико се узбудио бављењем Тјуринговом колекцијом дела, и на крају их је све препустио Мајку.

Шта је Мајк знао о Тјуринговим књигама? Пронашао је једну од Тјурингових руком писаних бележница, коју Ганди није дао Краљевском колеџу јер ју је (чудно) Ганди користио као маску за белешке које је водио о својим сновима. (Тјуринг је такође водио белешке о својим сновима, који су уништени након његове смрти.) Мајк је рекао да је свеска недавно продата на аукцији за око милион долара. И да иначе не би помислио да међу Гандијевим стварима има Тјурингових материјала.

Чинило се да су све наше могућности пресушиле, али Мајк ме је замолио да погледам тај мистериозни комад папира. И одмах је рекао: „Ово је рукопис Робина Гандиа!» Рекао је да је током година видео толико тога. И био је сигуран. Рекао је да не зна много о ламбда рачуну и да није могао да прочита страницу, али је био сигуран да ју је написао Робин Ганди.

Вратили смо се нашем експерту за рукопис са више узорака и она се сложила да да, оно што је тамо одговара Гандијевом рукопису. Тако смо коначно схватили: Робин Ганди је написао тај мистериозни комад папира. Није га написао Алан Туринг; написао га је његов ученик Робин Ганди.

Наравно, неке мистерије и даље остају. Тјуринг је наводно позајмио Гандију књигу, али када? Форма нотације ламбда рачуна чини да изгледа као да је то било око 1930-их. Али на основу коментара на Гандијеву дисертацију, он вероватно не би урадио ништа са ламбда рачуном све до касних 1940-их. Поставља се онда питање зашто је Ганди ово написао. Чини се да ово није директно повезано са његовом тезом, па је можда било када је први пут покушавао да схвати ламбда рачун.

Сумњам да ћемо икада сазнати истину, али било је забавно покушавати да је откријемо. Овде морам да кажем да је цело ово путовање учинило много да проширим моје разумевање о томе колико сложене могу бити историје сличних књига прошлих векова, које посебно поседујем. Због тога мислим да је боље да погледам све њихове странице - само да видим шта би тамо могло бити интересантно...

Хвала на помоћи: Џонатану Горарду (Приватне студије Кембриџа), Дејни Скоту (Математичка логика) и Метјуу Шуџику (Математичка логика).

О преводуПревод поста Стивена Волфрама "Књига од Алана Туринга... и мистериозни комад папира".

Изражавам своју дубоку захвалност Галина Никитина и Петар Тенисхев за помоћ у преводу и припреми публикације.

Желите да научите како да програмирате на језику Волфрам?
Гледајте недељно вебинари.
регистрација за нове курсеве... Спреман онлајн курс.
Наручите решења на Волфрам језику.

Извор: ввв.хабр.цом