Як до мене потрапила ця книга?
У травні 2017 року я отримав електронний лист від мого старого вчителя середньої школи на ім'я Джордж Раттер, в якому він писав: «У мене є копія великої книги Дірака німецькою мовою (Die Prinzipien der Quantenmechanik), яка належала Алану Тьюрингу, і після того, як я прочитав вашу книгу , мені здалося само собою зрозумілим, що ви саме та людина, якій вона потрібна». Він пояснив мені, що отримав книгу від іншого (на той час померлого) мого шкільного вчителя , Про який я знав, що він був другом Алана Тюрінга. Джордж закінчив листа фразою: «Якщо вам потрібна ця книга, я міг би вручити її вам наступного разу, коли ви приїдете до Англії».
Через кілька років у березні 2019 року я справді прибув до Англії, після чого домовився з Джорджем про зустріч за сніданком у невеликому готелі в Оксфорді. Ми їли, балакали і чекали, поки їжа вляжеться. Потім настав слушний момент для обговорення книги. Джордж сунув руку в портфель і витяг досить скромно оформлений типовий академічний томик середини 1900-х років.
Я відкрив обкладинку, розмірковуючи, чи не може бути на ній зі зворотного боку напису: «Власність Алана Тьюринга» або чогось у цьому дусі. Але, на жаль, це виявилося не так. Проте до неї було додано досить виразну записку на чотирьох аркушах від Нормана Рутледжа до Джорджа Раттера, написану в 2002 році.
Я знав Нормана Рутледжа, коли ще був учнем в на початку 1970-х років. Він був учителем математики на прізвисько «Чокнутий Норман». Він був приємним у всіх відношеннях викладачем і розповідав нескінченні байки про математику та про всякі інші цікаві речі. Він був відповідальним за те, щоб школа отримала комп'ютер (програмований за допомогою перфострічки завширшки з парту) — це був .
У ті часи я нічого не знав про минуле Нормана (пам'ятаєте, що це було задовго до Інтернету). Я знав лише про те, що він був “Доктором Рутледжем”. Він досить часто розповідав історії про людей з Кембриджу, але у своїх оповіданнях він ніколи не згадував Алана Т'юрінга. Звичайно, Т'юрінг тоді ще не був досить знаменитий (хоча, як з'ясовується, я вже чув про нього від когось, хто знав його в (особняк у якому під час Другої світової війни розташовувався шифрувальний центр).
Алан Т'юрінг не був знаменитий аж до 1981 року, коли я вперше хоча тоді ще в контексті клітинних автоматів, а не .
Як раптом одного разу, переглядаючи каталог карток у бібліотеці я натрапив на книгу написана його мамою Сарою Т'юрінг. У книзі було багато інформації, у тому числі про неопубліковані наукові праці Т'юрінга з біології. Однак я нічого не дізнався про його стосунки з Норманом Рутледжем, оскільки в книзі нічого не згадувалося про нього (хоча, як я з'ясував, Сара Тьюрінг , і Норман навіть у результаті написав ).
Десять років по тому, налаштований із крайньою цікавістю до Тьюрингу та його (тоді ще неопублікованим) , я відвідав в . Невдовзі, ознайомившись із тим, що вони мали з робіт Тьюринга, і витративши на це деякий час, я подумав, що заразом можу попросити подивитися також і його особисте листування. Переглядаючи її, я виявив від Алана Тьюринга до Нормана Рутледжа.
На той час побачила світ Ендрю Ходжеса, яка так багато зробила для того, щоб Т'юрінг нарешті став знаменитим, у ній підтвердилося — Алан Т'юрінг та Норман Рутледж справді були друзями, а також те, що Т'юрінг був науковим консультантом Нормана. Я хотів запитати Рутледжа про Тьюринга, але на той час Норман вже був на пенсії і вів самотній спосіб життя. Тим не менш, коли я завершив роботу над книгою.»У 2002 році (після мого десятирічного самітництва), я розшукав його і надіслав йому копію книги з підписом «Мого останнього вчителя математики». Потім ми з ним трохи , і 2005 року я знову приїхав до Англії і домовився зустрітися з Норманом попити чайку в розкішному готелі в центрі Лондона.
Ми мило поговорили багато про що, в тому числі і про Алана Тьюринга. Норман почав нашу розмову з розповіді про те, що справді знав Тьюринга, здебільшого поверхово, 50 років тому. Але все ж таки йому було що розповісти і про нього особисто: «Він був нелюдимий». «Він багато хихотів». «Він не міг по-справжньому говорити з нематематиками». «Він завжди боявся засмутити свою матір». «Він йшов удень і пробігав марафон». «Він не був надто амбітним». Потім розмова повернулася до особи Нормана. Він сказав, що, незважаючи на те, що він уже як 16 років пішов на пенсію, він, як і раніше, пише статті для «», щоб, за його словами, «доробити всі свої наукові праці перш ніж перейти в інший світ», де, як він додав із ледь помітною посмішкою, «всі математичні істини обов'язково будуть розкриті». Коли чаювання закінчилося, Норман одягнув свою шкіряну куртку і попрямував до свого мопеда, зовсім не звертаючи уваги на в той день.
Це був останній раз, коли я бачив Нормана, він помер у 2013 році.
Через шість років я сидів за сніданком з Джорджем Раттером. Зі мною була записка від Рутледжа, написана ним у 2002 році його характерним почерком:
Спочатку я швидко прочитав записку. Вона як завжди була експресивною:
Я отримав книгу Алана Тюрінга від його друга та душоприказника (У Королівському коледжі було в порядку речей роздавати книги зі зборів померлих товаришів, і я вибрав збори віршів з книг як відповідний подарунок (він був деканом і зістрибнув з каплиці [1956 року])…
Пізніше в короткій записці він пише:
Ви питаєте, куди, зрештою, мала потрапити ця книга — на мою думку, вона повинна потрапити тому, хто цінує все, що пов'язано з роботами Т'юрінга, тож її доля залежить від вас.
Стівен Вольфрам надіслав мені свою вражаючу книгу, але я недостатньо глибоко поринув у неї.
На закінчення він привітав Джорджа Раттера з тим, що в нього вистачило сміливості переїхати (як виявилося, тимчасово) до Австралії після виходу на пенсію, сказавши, що він сам.пограв би в переїзд до Шрі-Ланки як приклад дешевого та лотосоподібного існування», але додав, що «події, що відбуваються зараз там, вказують на те, що він не мав цього робити» (мабуть, маючи на увазі у Шрі-Ланці).
То що ж ховається у надрах книги?
Отже, що я зробив з копією книги німецькою мовою, написаною Полем Діраком, яка колись належала Алану Тьюрингу. Я не читаю німецькою, але в мене англійською мовою (яка є мовою її оригіналу) видання 1970-х років. Проте одного разу за сніданком мені здалося правильним, що я маю уважно переглянути книгу посторінково. Зрештою це загальноприйнята практика, коли мають справу з антикварними книгами.
Слід зазначити, що мене вразила елегантність викладу Дірака. Книга була опублікована в 1931 році, але її чистий формалізм (і, так, незважаючи на мовний бар'єр, я міг читати математику, яка викладена в книзі) майже така сама, якби її написали сьогодні. (Я не хочу тут надто акцентуватися на Діраку, але мій друг сказав мені, що, принаймні, на його думку, виклад Дірака однозначно. Норман Рутледж сказав мені, що він дружив у Кембриджі з , який став теоретиком у галузі графів. Норман досить часто бував у будинку Дірака і розповідав, що «велика людина» іноді особисто відходила як би на другий план, тоді як на першому завжди було безліч математичних головоломок. Я сам, на жаль, ніколи не зустрічав Поля Дірака, хоча мені сказали, що після того, як він, нарешті, пішов з Кембриджу і вирушив до Флориди, він втратив більшу частину своєї колишньої жорсткості і став доволі товариською людиною).
Але повернемося до книги Дірака, яка належала Тьюрингу. На сторінці 9 я помітив підкреслення та невеликі позначки на полях, написані простим олівцем. Я продовжував гортати сторінки. Після кількох розділів позначки зникли. Але потім, раптово, я виявив вкладену в сторінку 127 записку наступного змісту:
Вона була написана німецькою мовою стандартним німецьким почерком. І схоже на те, що вона якось могла бути пов'язана з . Я подумав, що, мабуть, хтось володів цією книгою до Тьюринга, і це, мабуть, записка, написана цією людиною.
Я продовжував гортати книгу. Нотатки були відсутні. І я подумав, що більше нічого не зможу знайти. Але потім, на сторінці 231 я виявив, фірмову закладку — з надрукованим текстом:
Чи виявлю я в результаті щось ще? Я продовжував гортати книгу. Потім, наприкінці книги, на сторінці 259, у розділі, присвяченому релятивістській теорії електронів, я виявив таке:
Я розгорнув цей аркуш паперу:
Я одразу зрозумів, що це з домішкою Але як же цей лист тут виявився? Нагадаємо, що ця книга є книгою про квантову механіку, але у вкладеному листку йдеться про математичну логіку, або про те, що зараз називається теорією обчислень. Це є типовим для праць Тьюринга. Мені стало цікаво, чи написав особисто Т'юрінг цю записку?
Навіть під час сніданку я шукав в Інтернеті зразки почерку Тьюринга, але не знайшов прикладів у вигляді розрахунків, тому не зміг зробити висновків щодо точної належності почерку. І невдовзі треба було йти. Я дбайливо запакував книгу, готову розкрити таємницю того, що це була за сторінка і хто її написав, і взяв її з собою.
Про книгу
Насамперед давайте обговоримо саму книгу. «» Поля Дірака були опубліковані англійською мовою в 1930 році і незабаром були перекладені німецькою мовою. (Предмова Дірака датована 29 травня 1930 року; вона належить перекладачеві — - 15 серпня 1930 року.) Книга стала віхою у розвитку квантової механіки, систематично встановлюючи чіткий формалізм для виконання обчислень, і серед іншого, пояснюючи пророцтво Дірака про , який буде відкрито у 1932 році.
Чому у Алана Тьюринга була книга німецькою, а не англійською? Я не знаю цього точно, але в ті дні німецька мова була провідною мовою науки, і ми знаємо, що Алан Т'юрінг умів нею читати. (Зрештою, у назві його знаменитої роботи « (Entscheidungsproblem)» було дуже довге німецьке слово — і в основній частині статті він оперує досить незрозумілими готичними символами у вигляді «німецьких літер», які він використовував, натомість, наприклад, грецьких символів).
Алан Т'юрінг купив цю книгу сам чи йому її передали? Я не знаю. На внутрішній стороні обкладинки книги Тьюринга є олівцеве позначення «20/-», яке було стандартним позначенням «20 шилінгів», аналогічно £1. На правій сторінці є стерте «26.9.30», яке, ймовірно, означає 26 вересня 1930 року — можливо, дату, коли книга була вперше придбана. Потім, у крайньому правому кутку, стерта цифра "20". Можливо це знову ціна. (Чи може бути ціна в якщо припустити, що книга була продана в Німеччині? У ті часи 1 рейхсмарка коштувала приблизно 1 шилінг, німецька ціна, ймовірно, була б записана як, наприклад, «20 RM». знижкою) ціна за книгу, що була у вжитку.
Давайте розглянемо основні дати життя Алана Тюрінга. Алан Тьюрінг (за збігом, рівно за 76 років до ). Восени 1931 року він вступив до Королівського коледжу в Кембриджі. Він отримав ступінь бакалавра після стандартних трьох років навчання в 1934 році.
У 1920-х і на початку 1930-х років квантова механіка була актуальною темою, і Алан Т'юрінг безумовно цікавився їй. З його архівів ми знаємо, що в 1932 році, як тільки книга була опублікована, він отримав» Джона фон Неймана (на ). Нам також відомо, що у 1935 році Т'юрінг отримав завдання від кембриджського фізика з тематики вивчення квантової механіки. (Фаулер запропонував вирахувати , що насправді є дуже складним завданням, що вимагає повноцінного аналізу із взаємодіючою квантовою теорією поля, яка досі не є повністю вирішеною).
І все-таки, коли і як Тьюрінг придбав свій екземпляр книги Дірака? Враховуючи, що на книзі є пробита ціна, Т'юрінг, ймовірно, купив її вже уживаною. Хто ж був першим власником книги? Нотатки у книзі, здається, стосуються насамперед логічної структури, зазначається, що певний логічний взаємозв'язок слід вважати аксіомою. Тоді як щодо записки, вкладеної на сторінці 127?
Що ж, можливо цей збіг, але якраз на сторінці 127 — Дірак говорить про квантове та закладає основу для що є основою всього сучасного квантового формалізму. Що міститься у записці? Там міститься розширення рівняння 14, яке є рівнянням тимчасової еволюції квантової амплітуди. Автор записки замінив Діраковську А для амплітуди на ρ, можливо, відображаючи тим самим ранній (аналогія щільності рідини) німецький запис. Потім автор намагається розширити дію за ступенями ℏ (, поділена на 2π, яку іноді називають ).
Але, схоже, з того, що міститься на сторінці, мало що почерпнути корисного. Якщо тримати сторінку на світлі, вона містить невеликий сюрприз — водяний знак з написом «Z f. Physik. Chem. B”:
Це скорочена версія - Німецького журналу з фізичної хімії, який став видаватися з 1928 року. Можливо, записка була написана редактором журналу? Ось заголовок журналу за 1933 рік. Зручно, що редактори перераховані із зазначенням їх місця проживання, і з них виділяється: „Борн · Кембридж“.
Це і є який є автором і багато чого іншого в теорії квантової механіки (а також дідусем співачки ). Отже, ця записка, можливо, була написана Максом Борном? Але, на жаль, це не так, бо почерк не збігається.
А як щодо закладки на сторінці 231? Ось вона з двох боків:
Закладка є дивною та досить красивою. Але коли її було виготовлено? У Кембриджі існує хоча тепер він є частиною Блеквелла. Протягом понад 70 років (до 1970 року) Хефферс знаходився за адресою, як свідчить закладка, и .
У цій закладці міститься важливий ключ — це номер телефону „Тел. 862”. Так сталося, що у 1939 року більшість Кембриджа (включаючи Хефферс) перейшла чотиризначні номери, і, безумовно, до 1940 року закладки друкувалися з «сучасними» телефонними номерами. (Англійські телефонні номери поступово ставали все довшими; коли я ріс в Англії в 1960-х роках, наші телефонні номери були «Оксфорд 56186» і «Кідмор-Енд 2378». Почасти я пам'ятаю ці цифри тому, що як би дивно це тепер не виглядало, я завжди називав свій номер при відповіді на вхідний дзвінок).
Закладка у такому вигляді друкувалася до 1939 року. Але як задовго до того? В Інтернеті можна знайти досить багато сканів старих рекламних оголошень Heffers, принаймні з 1912 року (поряд із «Ми просимо вас задовольнити ваші запити…») вони дописують «Телефон 862», додаючи «(2 рядки)». Також існує деякі закладки зі схожим оформленням, які можна знайти в книгах ще з 1904 року (хоча неясно, чи були вони оригінальними для цих книг (тобто надрукованими в той же час).) З метою нашого розслідування, здається, ми можемо зробити висновок, що ця книга прийшла з магазину Хефферс (який, до речі, був головною книгарнею в Кембриджі) десь між 1930 і 1939 роками.
Сторінка з лямбда-численнями
Отже, тепер ми знаємо дещо про те, коли книга була куплена. Але як щодо «сторінки з лямбда-численнями»? Коли було написано? Ну, природно на той час лямбда-числення мало бути винайдено. І це було зроблено , математиком з , у початковій формі у 1932 році та в остаточній формі у 1935 році. (Існували роботи вчених попередників, але вони не використовували позначення λ).
Існує складний зв'язок між Аланом Тьюрінгом і лямбда-обчисленням. У 1935 року Тьюрінг зацікавився «механізацією» математичних операцій, і винайшов ідею машини Тьюринга з використанням її на вирішення завдань основ математики. Т'юрінг надіслав статтю на цю тему до французького журналу (), але вона була втрачена на пошті; а потім виявилося, що адресата, якому він надіслав її, все одно не було на місці, оскільки він переїхав Китай.
Але в травні 1936 року, ще до того як Тьюрінг міг відправити свою статтю кудись ще, . Т'юрінг до цього вже нарікав на те, що коли в 1934 він розробив доказ , то виявив, що існує норвезький математик, який вже в 1922 році.
Неважко зрозуміти, що машини Тьюринга та лямбда-обчислення фактично еквівалентні в тих видах обчислень, які вони можуть представляти (і це є початком ). Однак Тьюрінг (і його вчитель ) переконалися, що підхід Тьюринга був досить відмінним для того, щоб це заслуговувало на окрему публікацію. У листопаді 1936 року (а з виправленими друкарськими помилками наступного місяця) в була опублікована знаменита стаття Тьюринга .
Щоб трохи заповнити тимчасову шкалу: з вересня 1936 по липень 1938 (з перервою в три місяці влітку 1937) Тьюрінг знаходився в Прінстоні, поїхавши туди, з метою стати аспірантом Алонзо Черча. У цей період у Прінстоні Т'юрінг, мабуть, повністю сконцентрувався на математичній логіці - написав кілька — і, швидше за все, він не мав із собою книги з квантової механіки.
Т'юрінг повернувся до Кембриджу в липні 1938 року, але вже до вересня того ж року він працював на півставки в , а через рік він переїхав до Блетчлі-Парк, з метою працювати там повний робочий день над питаннями, пов'язаними з криптоаналізом. Після закінчення війни в 1945 році Т'юрінг переїхав до Лондона для того, щоб працювати в над розробкою проекту створення . 1947-8 навчальний рік він провів у Кембриджі, але потім переїхав до Манчестера для того, щоб розробити .
У 1951 році Тьюрінг почав серйозно займатися . (Особисто для мене даний факт є до певної міри іронічним, тому що мені здається, що Т'юрінг завжди підсвідомо вважав, що біологічні системи повинні моделюватися диференціальними рівняннями, а не чимось дискретним, як машини Тьюринга або клітинні автомати). Також він знову звернув свій інтерес до фізики, і до 1954 навіть , Що: «я намагався винайти нову квантову механіку» (хоча він додав: «але насправді не факт, що вийде»). Але, на жаль, все раптово обірвалося 7 червня 1954 року, коли Тьюрінг раптово помер. (Я вважаю, що це не було самогубством, але це вже зовсім інша історія.)
Отже, повернемося до сторінки лямбда-числення. Піднесемо її до світла, і знову побачимо водяний знак:
Видно, що це аркуш паперу британського виробництва, і мені здається малоймовірним, щоб його використовували у Прінстоні. Але чи можемо ми точно його датувати? Що ж, не без певної допомоги Ми знаємо, що офіційним виробником паперу були Spalding&Hodge, Papermakers, оптові та експортні компанії «Друрі Хауз», Рассел-стріт в районі Друрі Лейн, Ковент-Гарден, Лондон. Це може нам допомогти, але не дуже сильно, так як можна припустити, що їхня марка паперу Excelsior, здається, була включена в каталоги постачання з 1890-х по 1954 рік.
Про що йдеться у цій сторінці?
Отже, давайте розглянемо докладніше, що на двох сторонах листочка. Почнемо із лямбд.
Тут представлений спосіб визначення , і вони є основним поняттям у математичній логіці, а зараз і у функціональному програмуванні. Ці функції досить поширені у мові , та їх завдання досить легко пояснити. Наприклад, хтось пише f[x], щоб визначити функцію f, застосовану до аргументу х. І є багато іменованих функцій f таких як або або . Але що, якщо хтось захоче, щоб f[x] було 2х +1? Тут немає безпосередньої назви (імені) для цієї функції. Але чи існує інша форма завдання, f[x]?
Відповідь так: замість f ми пишемо Function[a,2a+1]. А мовою Wolfram Function [a,2a+1][x] застосовує функції до аргументу x, видаючи у результаті 2x+1. Function[a,2a+1] є «чистою» або «анонімною» функцією, яка є чистою операцією множення на 2 і додавання 1.
Отже, λ у лямбда-обчисленні є точним аналогом у мові Wolfram Language - і тому, наприклад, λa.(2 a+1) еквівалентно Function[a, 2a + 1]. (Варто відзначити, що функція, скажімо, Function[b,2b+1] еквівалентна; «пов'язані змінні» a або b є просто місцями підстановки аргументу функції - а в мові Wolfram Language їх можна уникнути, використовуючи альтернативні варіанти визначення чистої функції (2# +1)&).
У традиційній математиці функції зазвичай розглядаються як об'єкти, що відображають вхідні дані (наприклад, цілі числа) та вихідні дані (які також є, наприклад, цілими числами). Але що це за об'єкт (або λ)? По суті це структурний оператор, який приймає вирази і перетворює їх на функції. Це може здатися трохи дивним з точки зору традиційної математики та математичної форми запису, але якщо комусь необхідно виконувати маніпулювання довільними символами, що набагато природніше, навіть якщо спочатку це видається трохи абстрактним. (Слід зазначити, що коли користувачі вивчають мову Wolfram Language, я завжди можу сказати, що вони подолали певний поріг абстрактного мислення, коли вони отримують уявлення про ).
Лямбди – це лише частина того, що є на сторінці. Є й інша, ще абстрактніша концепція — це . Розглянемо досить неясний рядок PI1IIx? Що це може означати? По суті, це послідовність комбінаторів, або абстрактна композиція символьних функцій.
Звичайну суперпозицію функцій, досить знайому з математики, мовою Wolfram Language можна записати як: f[g[x]] - що означає «застосувати f до результату застосування g к x». Але чи справді потрібні для цього дужки? Мовою Wolfram f@g@ x - Альтернативна форма запису. У цьому записі ми покладаємося на визначення у мові Wolfram Language: оператор @ асоціюється з правою частиною, тому f@g@x еквівалентно f@(g@x).
Але що означатиме запис (f@g)@x? Це еквівалентно f[g][x]. І якби f и g були звичайними функціями в математиці, це було б безглуздо, але якщо f - , То f[g] сама по собі може бути функцією, яка цілком може бути застосована до x.
Зазначимо тут ще деяку складність. У f[х] - f є функцією одного аргументу. І f[х] еквівалентно запису Function[a, f[a]][x]. Але як бути у разі функції двох аргументів, скажімо, f[x,y]? Це може бути записано у вигляді Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Але як бути у випадку Function[{a},f[a,b]]? Що це? Тут є «вільна змінна» bяка просто передається в функцію. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] зв'яже цю змінну, а потім Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дає f[x,y] знову. (Завдання функції так, щоб вона мала один аргумент, називається «карірування» на честь вченого логіка на ім'я ).
Якщо існують вільні змінні, тобто багато різних складнощів щодо того, як функції можуть бути задані, але якщо ми обмежимося об'єктами або λ, які не мають вільних змінних, то вони в основному можуть бути вільними. Такі об'єкти називають комбінаторами.
Комбінатори мають довгу історію. Відомо, що вони були вперше запропоновані у 1920 році учнем - .
На той час, тільки зовсім недавно було виявлено, що не потрібно використовувати вирази , и для подання виразів у стандартній логіці висловлювань: достатньо було використовувати єдиний оператор, який ми тепер називатимемо (Бо, наприклад, якщо писати як ·, то Or[a,b] набуде вигляду ). Шенфінкель хотів знайти таке ж мінімальне уявлення логіки предикатів або, по суті, логіки, включаючи функції.
Він вигадав два «комбінатори» S і K. У мові Wolfram Language це запишеться у вигляді
K[x_][y_] → x та S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Є примітним, що виявилося можливим використовувати ці два комбінатори для виконання будь-яких обчислень. Так наприклад,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
можна використовувати як функцію додавання двох цілих чисел.
Все це, м'яко кажучи, досить абстрактні об'єкти, але тепер, коли ми розуміємо, що таке машини Тьюринга та лямбда-обчислення, можна побачити, що комбінатори Шенфінкеля фактично передбачили концепцію універсальних обчислень. (І що ще більш примітно, визначення S і K 1920 мінімально прості, і нагадують , яку я запропонував у 1990-х роках, універсальність якої була ).
Але повернемося до нашого листочка та рядка PI1IIx. Символи, записані тут, є комбінаторами, і вони призначені завдання функції. Тут визначення полягає в тому, що суперпозиція функцій має бути лівоасоціативною, так що fgx слід трактувати не як f@g@x чи f@(g@x) чи f[g[x]], а скоріше, як (f@g)@x або f[g][x]. Перекладемо цей запис у вигляд, зручний для використання Wolfram Language: PI1IIx набуде вигляду p[i][one][i][i][x].
Навіщо писати щось схоже? Для того щоб пояснити це, нам необхідно обговорити поняття цифр Черча (названих на честь Алонзо Черча). Припустимо, ми просто працюємо із символами та з лямбдами чи комбінаторами. Чи існує спосіб використовувати їх для завдання цілих чисел?
Як щодо того, щоб просто сказати, що число n відповідає Function[x, Nest[f,x,n]]? Або, іншими словами, що (у більш коротких позначеннях):
1 - це f[#]&
2 - це f[f[#]]&
3 - це f[f[f[#]]]& і так далі.
Все це може здатися дещо незрозумілим, але причина, через яку це цікавить, у тому, що вона дозволяє нам робити все цілком символьним і абстрактним, без необхідності явно говорити про щось типу цілих чисел.
При такому методі завдання чисел, уявімо собі, наприклад, додавання двох чисел: 3 можна подати у вигляді f[f[f[#]]]& і 2 - це f[f[#]]&. Можна скласти їх, просто застосувавши одне з них до іншого:
Але що ж собою являє об'єкт f? Це може бути все, що завгодно! У певному сенсі, «перейти до lambda» до кінця і представляти числа за допомогою функцій, які приймають f як аргумент. Іншими словами, представимо 3, наприклад, як Function[f,f[f[f[#]]] &] або Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (Коли і як вам необхідно називати змінні - заковика в лямбда-обчисленні).
Розглянемо фрагмент статті Т'юрінга 1937 року , яка налаштовує об'єкти саме так, як ми щойно обговорювали:
Тут запис може трохи спантеличити. x Тьюринга - це наша f, а його х' (набиральник зробив помилку вставивши прогалину) - це наш x. Але тут використовується такий самий підхід.
Отже, погляньмо на рядок відразу після згину в передній частині листка. Це I1IIYI1IIx. За формою запису Wolfram Language це буде i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Але тут i – тотожна функція, тому i[one] видає просто один. Між іншим, один — це числове уявлення Черча для 1 або Function[f,f[#]&]. Але з цим визначенням one[а] стає a[#]& и one[a][b] стає a[b]. (До речі, i[а][b], або Identity[а][b] також є а[b]).
Буде набагато зрозумілішим, якщо ми запишемо правила заміни для i и одинзамість прямого застосування лямбда-обчислення. Результат буде такий самий. Застосуйте ці правила очевидно, ми отримаємо:
І це точно те саме, що представлено на першому скороченому записі:
Давайте тепер подивимося на листок знову, у його верхню частину:
Тут присутні досить заплутані та незрозумілі об'єкти «E» і «D», але під ними мається на увазі «P» і «Q», тому ми можемо виписати вираз і обчислити його (зверніть увагу, що тут після деякої плутанини з останнім) символом - «таємничий вчений» ставить […] і (…) для представлення програми функції):
Отже, це перше показане скорочення. Щоб побачити більше, давайте підставимо визначення для Q:
Ми отримуємо точно наступне показане скорочення. Що буде, якщо підставити вирази для P?
Ось результат:
І тепер, використовуючи той факт, що i - це функція, що видає на виході сам аргумент, ми отримуємо:
Оооопс! Але це ж не наступний записаний рядок. Чи є тут помилка? Не зрозуміло. Тому що, нарешті, на відміну від більшості інших випадків, немає стрілки, яка вказує, що наступний рядок випливає з попереднього.
Тут якась загадка, але давайте перейдемо до нижньої частини листка:
Тут 2 - це число Черча, що визначається, наприклад, шаблоном two[a_] [b_] → a[a[b]]. Зверніть увагу, що це насправді форма другого рядка, якщо a розглядати як Function[r,r[р]] и b як q. Отже, ми очікуємо, що результат обчислень буде таким:
Тим не менш, вираз, що лежить всередині а[b] може бути записано як x (ймовірно, відрізняється від x раніше записаного на листку) - в результаті отримаємо остаточний результат:
Отже, ми можемо розшифрувати небагато з того, що відбувається на цьому листку, але принаймні одна загадка, яка досі залишається, — це те, чим має бути Y.
Насправді у комбінаторній логіці є стандартний Y-комбінатор: так званий . Формально визначається тим, що Y[f] має бути одно f[Y[f]], або, іншими словами, що Y[f] не змінюється при застосуванні f, так що це фіксована точка для f. (Комбінатор Y пов'язаний з #0 у мові Wolfram Language.)
В даний час Y-комбінатор прославився так завдяки , названому так (який довгий час був фанатом и і реалізував перший веб-магазин на базі цієї мови). Він якось сказав мені особисто «ніхто не розуміє, що таке комбінатор Y». (Слід зазначити, що Y Combinator — це саме те, що дозволяє компаніям уникати операцій із фіксованою точкою…)
Y комбінатор (як комбінатор із фіксованою точкою) був винайдений кілька разів. Т'юрінг справді вигадав його реалізацію у 1937 році, яку він назвав Θ. Але чи є буква «Y» на нашій сторінці знаменитим комбінатором із фіксованою точкою? Можливо, що немає. То що таке наше «Y»? Розглянемо це скорочення:
Але цієї інформації явно недостатньо, щоб однозначно визначити, що таке Y. Зрозуміло, що Y оперує не лише одним аргументом; здається, що справа як мінімум у двох аргументах, але тут неясно (принаймні мені) скільки аргументів він приймає на вхід і що робить.
Зрештою, хоч ми й можемо осмислити багато частинок листка, ми повинні сказати, що в глобальному масштабі неясно, що на ньому було зроблено. Навіть при тому, що тут потрібно багато пояснень того, що тут представлено на листку, це досить елементарно в лямбда-обчисленні та з використанням комбінаторів.
Імовірно, тут подано спробу створити просту «програму» — з використанням лямбда-обчислення та комбінаторів для того, щоб щось зробити. Але наскільки це характерно для зворотної розробки, нам важко сказати, яким має бути це «щось» і що являє собою загальна «зрозуміла» мета.
Є ще одна особливість, представлена на листку, яку варто тут прокоментувати – застосування різних типів дужок. У традиційній математиці в основному використовуються круглі дужки для всього - і застосування функції (як у f (x)), та угруповання членів (як у (1+x) (1-x), або, що менш очевидно, a(1-х)). (У Wolfram Language ми поділяємо різні варіанти використання дужок – у квадратних дужках для визначення функцій f [x] - І круглі ж дужки використовуються тільки для угруповання).
Коли тільки з'явилося лямбда-числення, було багато питань щодо використання дужок. Пізніше Алан Т'юрінг напише цілу (неопубліковану) працю під назвою «», але вже в 1937 він відчув, що йому необхідно описати сучасні (досить хакерські) визначення для лямбда-числення (які, до речі, з'явилися через Черча).
Він сказав що f, застосоване до g, має бути написано {f}(g), якщо тільки f не є єдиним символом, у цьому випадку це може бути f(g). Потім він сказав, що лямбда (як у Function[a, b]) має бути записана як λ a[b] або, як варіант, λ a.b.
Однак, можливо, до 1940 року вся ідея використання {…} і […] для позначення різних об'єктів була відкинута, переважно на користь дужок у стандартному математичному стилі.
Погляньте на верхню частину сторінки:
У такому вигляді це зрозуміти важко. У визначеннях Черча квадратні дужки призначені для угруповання, з дужкою, що відкриває, яка замінює точку. Із застосуванням цього визначення стає ясно, що Q (у результаті позначений як D), укладений у дужки наприкінці, це те, до чого застосовується вся початкова лямбда.
Насправді квадратна дужка тут не обмежує тіло лямбди; натомість вона фактично є інше застосування функції, і тут немає явної вказівки, де закінчується тіло лямбди. Наприкінці видно, що «таємничий учений» змінив квадратну дужку, що закриває, на круглу, тим самим ефективно застосувавши визначення Черча — і змушуючи тим самим обчислювати вираз, оскільки показано на листку.
Так що все-таки означає цей маленький шматочок? Я думаю, що це наводить на думку, що сторінка була написана в 1930-х роках, або не надто великий час, оскільки умовні позначення для дужок до того часу ще не встаканилися.
Чий же це був почерк?
Отже, раніше ми говорили про те, що написано на сторінці. Але як щодо того, хто це все-таки писав?
Найбільш очевидним кандидатом на цю роль був би сам Алан Т'юрінг, оскільки, зрештою, сторінка була всередині його книги. З погляду змісту, здається, немає нічого несумісного з тим, що Алан Т'юрінг міг би написати це навіть у той момент, коли він вперше почав розбирався з лямбда-численням після того, як отримав статтю Черча на початку 1936 року.
Як щодо почерку? Чи належить він Алану Тьюрингу? Розглянемо кілька зразків, які, як нам відомо точно, були написані рукою Алана Тьюринга:
Поданий текст явно виглядає зовсім інакше, але як щодо позначень, які у тексті? Принаймні, на мій погляд, це не виглядає так явно — і можна припустити, що будь-яка відмінність може бути викликана саме тим, що існуючі зразки (представлені в архівах) написані, так би мовити, чистовою, тоді як наша сторінка - це саме відображення роботи думки.
Для нашого розслідування виявилось зручним те, що в архіві Тьюринга є сторінка, на якій він виписав , необхідну для позначень. І при порівнянні цих знаків буквально, вони виглядають для мене досить схожими (ці записи були виконані в Тьюринга коли він займався , звідси з'явилася і позначка «площа листа»):
Мені захотілося дослідити це глибше, тому я надіслав зразки , професійному експерту з почерку (і автору завдань на основі рукописного введення), з якою мені довелося якось познайомитися - просто представивши наш листок як «зразок «A» та існуючий зразок почерку Тьюринга як «зразок «B». Її відповідь була остаточною та негативною: «Стиль листа зовсім інший. Що стосується особистості, то автор зразка «B» має більш швидкий та інтуїтивний стиль мислення, ніж автор зразка «A»».
Я ще не був у цьому повністю переконаний, але вирішив, що настав час для пошуку інших варіантів.
Так що, якщо виходить, що Т'юрінг не написав цього, то хто тоді це зробив? Норман Рутледж сказав мені, що він отримав книгу від Робіна Ганді, який був душоприказником Тьюринга. Тому я відправив «Зразок C» від Ганді:
Але початковий висновок Шейли полягав у тому, що три зразки, ймовірно, були написані трьома різними людьми, знову наголосивши, що зразок «В» був отриманий від «найшвидшого мислителя — того, хто, найімовірніше, найохочіше шукає незвичайні вирішення проблем». (Я знаходжу приємним, що сучасний фахівець з почерку дав би таку оцінку почерку Тьюринга з огляду на те, як активно у шкільних завданнях Тьюринга 1920-х років усі скаржилися на його почерк).
Що ж, у цей момент здавалося, що і Т'юрінг, і Ганді були виключені зі списку підозрюваних. То хто ж міг це написати? Я почав думати про людей, яким Тьюрінг міг позичати свою книгу. Звичайно, вони при цьому повинні бути здатні робити обчислення із застосуванням лямбда-обчислення.
Я припустив, що людина повинна бути з Кембриджу або, принаймні, з Англії з огляду на водяний знак на папері. Я вважав за робочу гіпотезу, що 1936 року або близько того був слушним часом для написання цього. То кого ж у ті часи знав і з ким спілкувався Тьюрінг? За цей час ми отримали список усіх студентів та викладачів математики в Королівському коледжі. (Було 13 відомих студентів, які навчалися з 1930 до 1936 року.)
І з них найбільш перспективним кандидатом здавався . Він був того ж віку, що і Тьюрінг, давній його друг, і він також цікавився основами математики - в 1933 він навіть публікував статтю про те, що зараз ми називаємо : 0.12345678910111213… (отримано шляхом 1, 2, 3, 4, ..., 8, 9, 10, 11, 12, ..., і одне з дуже небагатьох чисел, тому, що кожен можливий блок цифр зустрічається з однаковою ймовірністю).
У 1937 році він навіть використав гамма-матриці Дірака, як було згадано в книзі Дірака, для вирішення . (Сталося так, що через роки я став великим шанувальником гамма-матричних обчислень).
Почавши вивчати математику, Чамперноун потрапив під вплив (також у Королівському коледжі) і зрештою став видатним економістом, особливо займаючись роботою з нерівності у доходах. (Тим не менш, у 1948 році він також працював з Тьюрінгом над створенням - шахової програми, яка стала практично першою у світі, реалізованою на комп'ютері).
Але де я міг знайти зразок почерку Чамперноуна? Незабаром я знайшов його сина Артура Чамперноуна в LinkedIn, який, як не дивно, мав ступінь математичної логіки і працював на Microsoft. Він сказав, що його батько досить багато говорив з ним про роботу Тьюрінга, хоча не згадав комбінаторів. Він надіслав мені зразок почерку свого батька (фрагмент про алгоритмічний твір музики):
Можна відразу сказати, що почерки не збіглися (завитки та хвостики в літерах f у почерку Чамперноуна і т. д.)
То хто ж це міг бути? Я завжди захоплювався , багато в чому наставником Алана Тьюрінга. Ньюман вперше зацікавив Тьюрингамеханізацією математики», був його давнім другом, а через роки став його начальником у комп'ютерному проекті у Манчестері. (Незважаючи на його інтерес до обчислень, Ньюман, здається, завжди бачив себе в першу чергу топологом, хоча його висновки були підкріплені помилковим доказом, який він вивів із ).
Не важко знайти зразок почерку Ньюмена — і знову ні, напевно почерки не збігалися.
«Слід» книги
Отже, витівка з ідентифікацією почерку провалилася. І я вирішив, що наступним кроком, який треба зробити, буде спроба простежити трохи докладніше, що насправді відбувалося із книгою, яку я тримав у руках.
Отже, по-перше, якою була докладніша історія з Норманом Рутледжем? Він навчався в Королівському коледжі в Кембриджі в 1946 році і познайомився з Т'юрінгом (так, обидва вони були особами нетрадиційної сексуальної орієнтації). Він закінчив коледж у 1949 році, потім почав писати кандидатську дисертацію з Тьюрингом як науковий консультант. Він отримав докторський ступінь у 1954 році, працюючи над математичною логікою та теорією рекурсії. Він отримав іменну стипендію у Королівському коледжі, а до 1957 року став там завідувачем кафедри математики. Він міг би займатися цим усе своє життя, але мав широкі інтереси (музика, мистецтво, архітектура, рекреаційна математика, генеалогія тощо). У 1960 році він змінив напрямок наукової роботи і став учителем в Ітоні, де працювали (і навчалися) багато поколінь студентів (у тому числі і я сам), стикаючись з його еклектичними, а іноді й навіть дивними знаннями.
Чи міг Норман Рутледж написати саму цю загадкову сторінку? Він знав лямбда-числення (хоча, за збігом, він згадав про це, коли ми пили чай у 2005 році, що він завжди знаходив його «заплутаним»). Однак його характерний почерк відразу виключає його як можливого «таємничого вченого».
Чи може сторінка бути якось пов'язана зі студентом Нормана, можливо, відколи він був ще в Кембриджі? Я сумніваюся. Тому що я не думаю, що Норман колись вивчав лямбда-числення або щось подібне. При написанні цієї статті я виявив, що Норман у 1955 році написав працю про створення логіки на «електронних комп'ютерах» (і створення кон'юнктивних нормальних форм, як зараз робить вбудована функція ). За часів мого знайомства з Норманом він дуже захоплювався написанням утиліт для реальних комп'ютерів (його ініціали були «NAR», і він назвав свої програми «NAR…», наприклад, «NARLAB» — програма для створення текстових міток з використанням перфорованих отворів «узорів» » на паперовій стрічці). Але він ніколи не розмірковував про теоретичні моделі обчислень.
Давайте прочитаємо нотатку Нормана всередині книги трохи уважніше. Перше, що ми помітимо, це те, що він говорить пропропозиції книг з бібліотеки особи, яка померла». І з формулювання це звучить так, ніби все сталося досить швидко після того, як людина померла, припускаючи, що Норман отримав книгу невдовзі після смерті Тюрінга в 1954 році, і те, що у Ганді вона була відсутня значно довгий час. Далі Норман каже, що насправді він отримав чотири книги, дві з чистої математики та дві з теоретичної фізики.
Потім він сказав, що віддавіншу з книг з фізики (начебто, )«»Себагу Монтефіоре, приємній молодій людині, яку ви, можливо, пам'ятаєте [Джордж Раттер]». Добре, то хто ж він такий? Я відкопав свій рідко використовуваний Список членів . (Я маю повідомити, що, відкривши його, я не міг не помітити його правил з 1902 року, перше з яких під заголовком «Права членів» звучало кумедно: «Одягатися у кольори Асоціації»).
Слід додати, що я, мабуть, ніколи б не вступив до цієї спільноти і не отримав би цієї книги, якби не наполягання мого друга з Ітона на ім'я , який із 12 років планував, як одного разу він стане прем'єр-міністром, але, на жаль, помер у віці 21 року).
Але в будь-якому випадку, було всього п'ять із перерахованих людей, на прізвище Себаг-Монтефіоре з великим розкидом за датами навчання. Неважко було зрозуміти, що відповідним був . Тісно світ, як виявилося, його сім'я володіла Блетчлі Парк, перш ніж продати його британському уряду в 1938 році. А 2000 року Себаг-Монтефіоре написав — ось, ймовірно, чому 2002 року Норман вирішив віддати йому книгу, якою володів Тьюрінг.
Добре, а як щодо інших книг, які Норман отримав від Т'юрінга? Не маючи іншого способу з'ясувати, що з ними сталося, я замовив копію Норманського заповіту. Останній пункт заповіту був у стилі Нормана:
У заповіті було сказано, що книги Нормана слід залишити у Королівському коледжі. І хоча повне зібрання його книг, здається, ніде не знайдено, дві книги з чистої математики, що належать Тьюрингу, які він згадав у своїй замітці, тепер належним чином знаходяться в архіві бібліотеки Королівського коледжу.
Наступне питання: що трапилося з іншими книгами Тьюрінга? Я подивився на заповіт Тьюринга, в якому виявилося, що всі вони були залишені Робіну Ганді.
Ганді був студентом-математиком з Королівського коледжу в Кембриджі, який на останньому курсі коледжу — 1940 року — потоваришував з Аланом Тьюрінгом. На початку війни Ганді працював на радіо і на радарі, але в 1944 році він був призначений до того ж підрозділу, що і Т'юрінг, і працював над шифруванням мови. А після війни Ганді повернувся до Кембриджу, незабаром здобувши докторський ступінь, а Тьюрінг став його радником.
Робота у збройних силах, очевидно, привела його до зацікавленості питаннями в галузі фізики, та його дисертація, виконана у 1952 році, була озаглавлена . Те, що Ганді, схоже, намагався зробити, це, можливо, охарактеризувати фізичні теорії в термінах математичної логіки. Він міркує про и , але не про машини Т'юрінга. І з того, що нам відомо зараз, я думаю, можна зробити висновок, що він скоріше втратив суть. І дійсно, з початку 1980-х років стверджувала, що фізичні процеси слід розглядати як "різні обчислення" - наприклад, як машини Тьюринга або клітинні автомати, а не як теореми, які слід виводити. (Ганда досить красиво обговорює порядок типів, що беруть участь у фізичних теоріях, кажучи, наприклад, що «я вважаю, що порядок будь-якого десяткового числа, що обчислюється, у двійковій формі менше восьми»). Він говорив, що «Одна з причин, чому сучасна квантова теорія поля є настільки складною, це тільки тому, що вона має справу з об'єктами досить складного типу — функціоналами функцій…», що в кінцевому підсумку говорить про те, що «ми цілком могли б взяти найбільший тип загального користування як показник математичного прогресу".)
Ганді кілька разів згадує Тьюринга в дисертації, зазначаючи у вступі, що він зобов'язаний А. М. Тьюрингу, який «вперше звернув його дещо розфокусовану увагу на обчислення Черча»(тобто лямбда-обчислення), хоча насправді його дисертація має кілька лямбда-доказів.
Після захисту дисертації Ганді звернувся до чистішої математичної логіки і понад три десятиліття писав статті зі швидкістю по одній на рік і ці статті досить успішно котирувалися у співтоваристві міжнародної математичної логіки. У 1969 році він переїхав до Оксфорда, і я думаю, що, напевно, я зустрічався з ним у юності, хоча я не пам'ятаю про це.
Ганді, мабуть, дуже обожнював Тьюринга і в наступні роки часто говорив про нього. Тут постає питання повному збірнику праць Тьюринга. Незабаром після смерті Тьюринга Сара Тьюрінг та Макс Ньюман попросили Ганді — як його душоприказника — організувати публікацію неопублікованих праць Тьюринга. Минали роки та відображають розчарування Сари Тьюрінг з цього питання. Але чомусь Ганді, здавалося, навіть ніколи і не планував зібрати папери Тьюринга докупи.
Ганді помер у 1995 році, так і не зібравши разом завершені роботи. - Літературний критик і біограф , З яким Т'юрінг познайомився в Королівському коледжі, - був літературним агентом Тьюринга, і, нарешті, він приступив до роботи над зібранням творів Тьюринга. Найбільш спірним здавалося, був тому присвячений математичній логіці, і для нього він залучив першого серйозного аспіранта Робіна Ганді, якогось , який знайшов листи до Ганді про зібрані роботи, які не розпочалися протягом 24 років. ( нарешті з'явилося 2001 року — через 45 років після їхнього виходу).
Але як щодо книжок, якими особисто володів Т'юрінг? У продовженні спроб простежити їх, моєю наступною зупинкою стала сім'я Тьюринга, і, зокрема, молодший син брата Тьюринга, (який насправді є сером Дермотом Тьюрінгом, тому що він був , цей титул перейшов до нього не по лінії Алана в сім'ї Т'юрінгів). Дермот Тьюрінг (який нещодавно написав ) розповів мені про «бабусі Тьюринга» (вона ж Сара Тьюрінг), її будинок, мабуть, мав спільний вхід до саду з його сім'єю, і про багато інших речей про Алана Тьюринга. Він сказав мені, що в сім'ї їх ніколи не було особистих книг Алана Т'юрінга.
Тому я повернувся до читання заповітів і виявив, що душоприказником Ганді був його учень Майк Йейтс. Мені стало відомо, що Майк Йейтс звільнився з посади професора 30 років тому, і тепер мешкає в Північному Уельсі. Він сказав, що за ті десятиліття, коли він працював над математичною логікою та теорією обчислень, він ніколи по-справжньому не торкався комп'ютера — але, нарешті, зробив це, коли вийшов на пенсію (і це сталося незабаром після того, як він виявив програму ). Він сказав, як чудово, що Т'юрінг став настільки знаменитим, і що, коли він прибув до Манчестера всього через три роки після смерті Тьюринга, ніхто не говорив про Тьюринга, навіть Макс Ньюман, коли він читав курс з логіки. Втім, пізніше Ганді розповість про те, наскільки він перейнявся маючи справу зі зборами робіт Тьюринга, і зрештою залишив усі їх Майку.
Що Майк знав про книги Тьюринга? Він знайшов один рукописний блокнот Тьюринга, який Ганді не передав до Королівського коледжу, тому що (дивно) Ганді використав його як маскування для записів про свої сна, які він зберігав. (Т'юрінг також зберіг записи своїх снів, які були знищені після його смерті.) Майк сказав, що блокнот нещодавно продали на аукціоні приблизно за 1 мільйон доларів. І що інакше він і не подумав би, що серед речей Ганді були матеріали Тюрінга.
Здавалося, що всі наші можливості зникли, але Майк попросив мене поглянути на той загадковий аркуш паперу. І зараз же він сказав: «Це почерк Робіна Ганді!Він сказав, що бачив стільки всього за ці роки. І він був певен. Він сказав, що не знає багато про лямбда-числення, і не міг дійсно прочитати сторінку, але він був впевнений, що це написав Робін Ганді.
Ми повернулися до нашого експерта з почерку з великою кількістю зразків, і вона погодилася, що так, те, що було там, відповідало почерку Ганді. Отже, ми нарешті з'ясували: Робін Ганді написав той таємничий аркуш паперу. Не було написано Аланом Тьюрингом; це написав його учень Робін Ганді.
Звісно, деякі загадки ще залишаються. Імовірно Тьюрінг позичив Ганді книгу, але коли? За формою запису лямбда-обчислення здається, що це було близько 1930-х років. Але, ґрунтуючись на коментарях до дисертації Ганді, мабуть, нічого не робив би з лямбда-обчисленням до кінця 1940-х років. Тоді постає питання, чому Ганді написав це. Здається, це не має прямого відношення до його дисертації, тому, можливо, це було, коли він уперше намагався розібратися у лямбда-численні.
Я сумніваюся, що ми колись дізнаємося правду, але, звичайно, було цікаво намагатися з'ясувати її. Тут я маю сказати, що весь цей пройдений шлях зробив багато для того, щоб розширити моє розуміння того, наскільки складними можуть бути історії подібних книг минулих століть, якими, зокрема, я володію. Це змушує мене думати, що мені краще переконатися, що я переглянув усі їхні сторінки — просто для того, щоб дізнатися, що там може бути цікаве…
Висловлюю подяку за допомогу: Джонатану Горарду (приватні дослідження у Кембриджі), Дані Скотт (математична логіка) та Метью Шудзіку (математична логіка).
Про перекладПереклад поста Стівена Вольфрама «".
Висловлюю велику подяку и за допомогу в перекладі та підготовці публікації.
Бажаєте навчитися програмувати мовою Wolfram Language?
Дивіться щотижневі .
. Готовий .
Wolfram Language.
Джерело: habr.com