Hur fick jag den här boken?
I maj 2017 fick jag ett mejl från min gamla gymnasielärare vid namn George Rutter där han skrev: "Jag har ett exemplar av Diracs stora bok på tyska (Die Prinzipien der Quantenmechanik), som tillhörde Alan Turing, och efter att ha läst din bok , det tycktes mig självklart att du är precis den person som behöver det" Han förklarade för mig att han fick boken från en annan (vid då avliden) skollärare till mig , som jag visste var en vän till Alan Turing. George avslutade sitt brev med frasen: "Om du vill ha den här boken kan jag ge dig den nästa gång du kommer till England".
Ett par år senare, i mars 2019, kom jag faktiskt till England, varefter jag ordnade att träffa George för frukost på ett litet hotell i Oxford. Vi åt, pratade och väntade på att maten skulle lägga sig. Då var det ett bra tillfälle att diskutera boken. George sträckte sig ner i sin portfölj och drog fram en ganska blygsamt utformad, typisk akademisk volym från mitten av 1900-talet.
Jag öppnade locket och undrade om det kunde finnas något på baksidan som stod: "Alan Turings egendom" eller något sådant. Men det visade sig tyvärr inte vara fallet. Den åtföljdes dock av en ganska uttrycksfull fyrasidig notis från Norman Routledge till George Rutter, skriven 2002.
Jag kände Norman Rutledge när jag var student в i början av 1970-talet. Han var en mattelärare med smeknamnet "Nutty Norman". Han var en trevlig lärare på alla sätt och vis och berättade oändliga historier om matematik och allt möjligt annat intressant. Han var ansvarig för att se till att skolan fick en dator (programmerad med stansat tejp på skrivbordet) - det var .
Vid den tiden visste jag ingenting om Normans bakgrund (kom ihåg att det här var långt innan internet). Allt jag visste var att han var "Dr Rutledge." Han berättade historier om Cambridgefolket ganska ofta, men han nämnde aldrig Alan Turing i sina berättelser. Naturligtvis var Turing ännu inte särskilt känd (även om jag, som det visar sig, redan hade hört talas om honom från någon som kände honom i (herrgården där krypteringscentret låg under andra världskriget)).
Alan Turing blev inte känd förrän 1981, då jag först , fastän då fortfarande i samband med cellulära automater, och inte .
När jag plötsligt en dag tittade igenom en katalog med kort i biblioteket , jag kom över en bok , skriven av hans mamma Sarah Turing. Boken innehöll mycket information, bland annat om Turings opublicerade vetenskapliga arbeten om biologi. Jag lärde mig dock ingenting om hans förhållande till Norman Routledge, eftersom ingenting nämndes om honom i boken (även om, som jag fick reda på, Sarah Turing , och Norman slutade till och med att skriva ).
Tio år senare, extremt nyfiken på Turing och hans (då opublicerade) , Jag besökte в . Snart, efter att ha blivit bekant med vad de hade av Turings arbete, och efter att ha lagt ner lite tid på det, tänkte jag att jag lika gärna kunde be om att få se hans personliga korrespondens också. När jag tittade igenom det upptäckte jag från Alan Turing till Norman Routledge.
Vid den tiden publicerades den Andrew Hodges, som gjorde så mycket för att Turing äntligen blev känd, bekräftade att Alan Turing och Norman Routledge verkligen var vänner, och även att Turing var Normans vetenskapliga rådgivare. Jag ville fråga Routledge om Turing, men då var Norman redan pensionerad och levde ett avskilt liv. Men när jag slutfört arbetet med boken "” 2002 (efter min tioåriga avskildhet) spårade jag upp honom och skickade honom en kopia av boken med texten ”Till min sista matematiklärare”. Sen lite han och jag , och 2005 kom jag tillbaka till England och arrangerade att träffa Norman för te på ett lyxhotell i centrala London.
Vi hade en trevlig pratstund om många saker, inklusive Alan Turing. Norman började vårt samtal med att berätta att han faktiskt kände Turing, mestadels ytligt, för 50 år sedan. Men han hade ändå något att berätta om honom personligen: "Han var osällskaplig". "Han fnissade mycket". "Han kunde inte riktigt prata med icke-matematiker". "Han var alltid rädd för att göra sin mamma upprörd". "Han gick ut under dagen och sprang ett maraton". "Han var inte alltför ambitiös" Samtalet gick sedan över till Normans personlighet. Han sa att även om han har varit pensionerad i 16 år, skriver han fortfarande artiklar för ""så att, med hans ord,"avsluta alla dina vetenskapliga arbeten innan du går vidare till nästa värld", där, som han tillade med ett svagt leende, "alla matematiska sanningar kommer definitivt att avslöjas" När tefesten var slut tog Norman på sig sin skinnjacka och begav sig mot sin moped, helt omedveten om den dagen.
Det var sista gången jag såg Norman, han dog 2013.
Sex år senare satt jag och åt frukost med George Rutter. Jag hade med mig en anteckning från Rutledge, skriven 2002 med hans särpräglade handstil:
Först skummade jag lappen. Hon var uttrycksfull som vanligt:
Jag fick Alan Turings bok av hans vän och exekutor (på King's College var det dags att ge bort böcker från samlingen av döda medmänniskor, och jag valde en diktsamling från böcker som en passande gåva (han var dekan och hoppade av kapellet [1956])...
Senare skriver han i en kort notis:
Du frågar var den här boken ska hamna - enligt min mening borde den gå till någon som uppskattar allt som har att göra med Turings verk, så dess öde beror på dig.
Stephen Wolfram skickade sin imponerande bok till mig, men jag fördjupade mig inte tillräckligt djupt i den...
Han avslutade med att gratulera George Rutter för att han hade modet att flytta (tillfälligt, som det visade sig) till Australien efter att ha gått i pension, och sa att han själv "skulle leka med att flytta till Sri Lanka som ett exempel på en billig och lotusliknande tillvaro", men tillade att"de händelser som för närvarande sker där tyder på att han inte borde ha gjort detta"(uppenbarligen menande i Sri Lanka).
Så vad döljer sig i bokens djup?
Så vad gjorde jag med kopian av den tyska boken skriven av Paul Dirac som en gång tillhörde Alan Turing? Jag läser inte tyska, men det har jag på engelska (som är dess originalspråk) utgåva från 1970-talet. Men en dag vid frukosten verkade det rätt att jag noggrant skulle gå igenom boken sida för sida. Detta är trots allt vanlig praxis när man har att göra med antikvariska böcker.
Det bör noteras att jag slogs av elegansen i Diracs presentation. Boken gavs ut 1931, men dess rena formalism (och, ja, trots språkbarriären kunde jag läsa matematiken i boken) är nästan densamma som om den vore skriven idag. (Jag vill inte lägga för mycket vikt vid Dirac här, men min vän sa till mig att, åtminstone enligt hans åsikt, är Diracs utläggning enstavig. Norman Rutledge berättade för mig att han var vän med i Cambridge , som blev grafteoretiker. Norman besökte Diracs hus ganska ofta och sa att den "store mannen" ibland personligen bleknade i bakgrunden, medan den första alltid var full av matematiska pussel. Jag själv träffade tyvärr aldrig Paul Dirac, även om jag fick veta att efter att han äntligen lämnat Cambridge för Florida, förlorade han mycket av sin tidigare tuffhet och blev en ganska sällskaplig person).
Men låt oss återgå till Diracs bok, som tillhörde Turing. På sidan 9 lade jag märke till understrykningar och små anteckningar i marginalerna, skrivna med blyerts. Jag fortsatte bläddra igenom sidorna. Efter några kapitel försvann anteckningarna. Men så, plötsligt, hittade jag en anteckning bifogad sida 127 där det stod:
Den skrevs på tyska med vanlig tysk handstil. Och det verkar som att hon kan ha något att göra med . Jag tänkte att förmodligen någon hade ägt den här boken före Turing, och det här måste vara en anteckning skriven av den personen.
Jag fortsatte bläddra i boken. Det fanns inga anteckningar. Och jag tänkte att jag inte kunde hitta något annat. Men så, på sidan 231, upptäckte jag ett märkesbokmärke - med den tryckta texten:
Kommer jag att upptäcka något annat? Jag fortsatte bläddra i boken. Sedan, i slutet av boken, på sidan 259, i avsnittet om relativistisk elektronteori, upptäckte jag följande:
Jag vecklade ut detta papper:
Jag insåg direkt vad det var mixad med , men hur hamnade detta blad här? Låt oss komma ihåg att den här boken är en bok om kvantmekanik, men den bifogade broschyren behandlar matematisk logik, eller vad som nu kallas teorin om beräkning. Detta är typiskt för Turings skrifter. Jag undrade om Turing personligen skrev den här lappen?
Även under frukosten sökte jag på nätet efter exempel på Turings handstil, men hittade inga exempel i form av beräkningar, så jag kunde inte dra några slutsatser om handstilens exakta identitet. Och snart var vi tvungna att gå. Jag packade boken noggrant, redo att avslöja mysteriet med vilken sida det var och vem som skrev den, och tog den med mig.
Om boken
Låt oss först och främst diskutera själva boken. "» Diracs fält publicerades på engelska 1930 och översattes snart till tyska. (Diracs förord är daterat 29 maj 1930; det tillhör översättaren - - 15 augusti 1930.) Boken blev en milstolpe i utvecklingen av kvantmekaniken, genom att systematiskt etablera en tydlig formalism för att utföra beräkningar, och bland annat förklara Diracs förutsägelse om , som öppnar 1932.
Varför hade Alan Turing en bok på tyska och inte på engelska? Jag vet inte detta med säkerhet, men på den tiden var tyska vetenskapens ledande språk, och vi vet att Alan Turing kunde läsa det. (Trotts allt, i hans berömda namn arbete « (Entscheidungsproblem)" var ett mycket långt tyskt ord - och i huvuddelen av artikeln opererar han med ganska obskyra gotiska symboler i form av "tyska bokstäver" som han använde istället för till exempel grekiska symboler).
Köpte Alan Turing den här boken själv eller gavs den till honom? jag vet inte. På insidan av omslaget till Turings bok finns en blyertsnotation "20/-", som var standardnotationen för "20 shilling", liknande £1. På den högra sidan finns en raderad "26.9.30", förmodligen betydd 26 september 1930, möjligen det datum då boken första gången köptes. Sedan, längst till höger, är det raderade siffran "20". Kanske är det priset igen. (Kan detta vara priset i , förutsatt att boken såldes i Tyskland? På den tiden var 1 Reichsmark värt ungefär 1 schilling, det tyska priset skulle förmodligen skrivas som "RM20" till exempel.) Slutligen, på insidan av bakpärmen finns det "c 5/-" - kanske detta, (med en stor rabatt) pris för en begagnad bok.
Låt oss titta på de viktigaste datumen i Alan Turings liv. Alan Turing (av en slump, exakt 76 år tidigare ). Hösten 1931 började han på King's College, Cambridge. Han fick sin kandidatexamen efter de tre vanliga studierna 1934.
På 1920-talet och början av 1930-talet var kvantmekanik ett hett ämne, och Alan Turing var verkligen intresserad av det. Från hans arkiv vet vi att han 1932, så snart boken gavs ut, fick "» John von Neumann (på ). Vi vet också att Turing 1935 fick ett uppdrag från en fysiker från Cambridge på ämnet att studera kvantmekanik. (Fowler föreslog att man skulle räkna , vilket faktiskt är ett mycket komplext problem som kräver en fullständig analys med interagerande kvantfältteori, som fortfarande inte är helt löst).
Och ändå, när och hur fick Turing sitt exemplar av Diracs bok? Med tanke på att boken har ett markerat pris köpte Turing den förmodligen begagnad. Vem var den första ägaren till boken? Anteckningarna i boken verkar i första hand handla om logisk struktur, och noterar att något logiskt samband bör tas som ett axiom. Hur är det då med anteckningen på sidan 127?
Tja, det kanske är en slump, men precis på sidan 127 - Dirac pratar om kvantum och lägger grunden för — som är grunden för all modern kvantformalism. Vad innehåller lappen? Den innehåller en förlängning av ekvation 14, som är ekvationen för tidsutvecklingen av kvantamplituden. Författaren till noten ersatte Dirac A för amplitud med ρ, vilket kanske återspeglar en tidigare (vätskedensitetsanalogi) tysk notation. Författaren försöker sedan utöka handlingen med krafter av ℏ (, dividerat med 2π, ibland kallat ).
Men det verkar inte finnas mycket användbar information att hämta från det som finns på sidan. Om du håller upp sidan mot ljuset innehåller den en liten överraskning - en vattenstämpel som säger "Z f. Physik. Chem. B":
Detta är den förkortade versionen - en tysk tidskrift om fysikalisk kemi, som började publiceras 1928. Anteckningen kanske skrevs av en tidningsredaktör? Här är en tidningsrubrik från 1933. Redaktörerna är bekvämt listade efter plats, och en sticker ut: "Bourne · Cambridge."
Det är vad det är vem är författaren och mycket mer i teorin om kvantmekanik (liksom sångarens farfar ). Så den här anteckningen kan ha skrivits av Max Born? Men tyvärr är det inte så, eftersom handstilen inte stämmer överens.
Hur är det med bokmärket på sidan 231? Här är den från båda sidor:
Bokmärket är konstigt och ganska vackert. Men när gjordes den? I Cambridge finns det , även om det nu är en del av Blackwell. I mer än 70 år (fram till 1970) låg Heffers på adressen, vilket bokmärket visar, и .
Den här fliken innehåller en viktig nyckel - det här är telefonnumret "Tel. 862". Som det hände, 1939 bytte större delen av Cambridge (inklusive Heffers) till fyrsiffriga nummer, och säkert 1940 trycktes bokmärken med "moderna" telefonnummer. (Engelska telefonnummer blev gradvis längre; när jag växte upp i England på 1960-talet var våra telefonnummer "Oxford 56186" och "Kidmore End 2378". En del av anledningen till att jag minns dessa nummer är att, konstigt som det är nu det såg inte ut som att jag alltid ringde mitt nummer när jag svarade på ett inkommande samtal).
Bokmärket trycktes i denna form fram till 1939. Men hur lång tid innan det? Det finns en hel del skanningar av gamla Heffers-annonser på nätet, som går tillbaka till åtminstone 1912 (tillsammans med "Vi ber dig att uppfylla dina önskemål...") de kompletterar "Telefon 862" genom att lägga till "(2 rader)." Det finns också några bokmärken med liknande design som kan hittas i böcker så långt tillbaka som 1904 (även om det är oklart om de var original till dessa böcker (dvs. tryckta samtidigt). I vår undersökning verkar det som om vi kan dra slutsatsen att Den här boken kom från Heffer's (som för övrigt var huvudbokhandeln i Cambridge) någon gång mellan 1930 och 1939.
Lambdakalkylsida
Så nu vet vi något om när boken köptes. Men hur är det med "lambdakalkylsidan"? När skrevs detta? Tja, naturligtvis borde lambdakalkylen redan ha uppfunnits vid den tiden. Och det var gjort , matematiker från , i sin ursprungliga form 1932 och i sin slutliga form 1935. (Det fanns verk av tidigare forskare, men de använde inte notationen λ).
Det finns ett komplext samband mellan Alan Turing och lambdakalkyl. År 1935 blev Turing intresserad av "mekanisering" av matematiska operationer och uppfann idén om en Turing-maskin och använde den för att lösa problem i matematikens grunder. Turing skickade en artikel om detta ämne till en fransk tidskrift (), men den försvann med posten; och så visade det sig att mottagaren som han skickade det till inte var där ändå, eftersom han hade flyttat till Kina.
Men i maj 1936, innan Turing kunde skicka sin tidning någon annanstans, . Turing hade tidigare klagat på det när han utvecklade beviset 1934 , då upptäckte jag att det fanns en norsk matematiker som redan hade i 1922 år.
Det är inte svårt att se att Turing-maskiner och lambdakalkyler faktiskt är likvärdiga i de typer av beräkningar de kan representera (och det är en början ). Men Turing (och hans lärare ) var övertygade om att Turings tillvägagångssätt var tillräckligt annorlunda för att det skulle förtjäna en egen publicering. I november 1936 (och med stavfel korrigerade månaden därpå) in Turings berömda tidning publicerades .
För att fylla ut tidslinjen lite: från september 1936 till juli 1938 (med tre månaders uppehåll sommaren 1937) var Turing i Princeton, efter att ha åkt dit med målet att bli doktorand i Alonzo Church. Under denna period i Princeton koncentrerade sig Turing tydligen helt på matematisk logik och skrev flera , - och troligtvis hade han ingen bok om kvantmekanik med sig.
Turing återvände till Cambridge i juli 1938, men i september samma år arbetade han deltid vid , och ett år senare flyttade han till Bletchley Park med målet att arbeta där på heltid med frågor relaterade till kryptoanalys. Efter krigsslutet 1945 flyttade Turing till London för att arbeta för om utvecklingen av ett projekt att skapa . Han tillbringade läsåret 1947–8 i Cambridge men flyttade sedan till Manchester för att utvecklas .
1951 började Turing studera på allvar . (För mig personligen är detta faktum något ironiskt, eftersom det förefaller mig som att Turing alltid undermedvetet trodde att biologiska system borde modelleras av differentialekvationer, och inte av något diskret som Turing-maskiner eller cellulära automater). Han vände också sitt intresse tillbaka till fysik, och 1954 till och med , Vad: "Jag försökte uppfinna en ny kvantmekanik" (även om han tillade: "men i själva verket är det inte ett faktum att det kommer att fungera"). Men tyvärr fick allt ett abrupt slut den 7 juni 1954, när Turing plötsligt dog. (Jag antar att det inte var självmord, men det är en annan historia.)
Så låt oss gå tillbaka till lambdakalkylsidan. Låt oss hålla upp den mot ljuset och se vattenstämpeln igen:
Det verkar vara ett brittiskt papper, och det verkar osannolikt för mig att det skulle ha använts på Princeton. Men kan vi datera det korrekt? Tja, inte utan hjälp , vi vet att den officiella tillverkaren av papperet var Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London. Detta kan hjälpa oss, men inte särskilt mycket, eftersom det kan antas att deras papper av märket Excelsior verkar ha inkluderats i leveranskataloger från 1890-talet till 1954.
Vad säger den här sidan?
Så låt oss ta en närmare titt på vad som finns på båda sidor av papperet. Låt oss börja med lambdas.
Här är ett sätt att avgöra , och de är ett grundläggande begrepp i matematisk logik, och nu i funktionell programmering. Dessa funktioner är ganska vanliga i språket , och deras uppgift är ganska lätt att förklara. Någon skriver till exempel f[x] för att indikera en funktion f, tillämpas på argumentet x. Och det finns många namngivna funktioner f Till exempel eller eller . Men tänk om någon vill f[x] var 2x +1? Det finns inget direkt namn för denna funktion. Men finns det någon annan form av uppdrag, f[x]?
Svaret är ja: istället f Vi skriver Function[a,2a+1]. Och på Wolfram-språket Function [a,2a+1][x] tillämpar funktioner på argument x, producerar 2x+1. Function[a,2a+1] är en "ren" eller "anonym" funktion som representerar den rena operationen att multiplicera med 2 och lägga till 1.
Så, λ i lambda-kalkyl är en exakt analog i Wolfram-språket - och därför till exempel λa.(2 a+1) likvärdig Function[a, 2a + 1]. (Det är värt att notera att en funktion, säg, Function[b,2b+1] likvärdig; "bundna variabler" a eller b är helt enkelt funktionsargumentsubstitutioner - och i Wolfram-språket kan de undvikas genom att använda alternativa rena funktionsdefinitioner (2# +1)&).
I traditionell matematik betraktas funktioner vanligtvis som objekt som representerar indata (som också är heltal, till exempel) och utdata (som också är till exempel heltal). Men vad är det här för objekt? (eller λ)? I huvudsak är det en strukturoperator som tar uttryck och omvandlar dem till funktioner. Detta kan tyckas lite märkligt ur traditionell matematik och matematisk notskrifts perspektiv, men om man behöver göra godtycklig symbolmanipulation är det mycket mer naturligt, även om det verkar lite abstrakt till en början. (Det bör noteras att när användare lär sig Wolfram-språket kan jag alltid säga att de har passerat en viss tröskel för abstrakt tänkande när de får en förståelse för ).
Lambdas är bara en del av det som finns på sidan. Det finns ett annat, ännu mer abstrakt begrepp - detta . Tänk på den ganska obskyra strängen PI1IIx? Vad kan detta betyda? I huvudsak är detta en sekvens av kombinatorer, eller någon abstrakt sammansättning av symboliska funktioner.
Den vanliga överlagringen av funktioner, som är ganska bekant i matematik, kan skrivas på Wolfram-språket som: f[g[x]] - vilket betyder "ansöka" f till resultatet av ansökan g к x" Men är det verkligen nödvändigt med parenteser för detta? På Wolfram-språket f@g@ x - en alternativ form av inspelning. I det här inlägget förlitar vi oss på definitionen i Wolfram Language: @-operatorn är associerad med den högra sidan, så f@g@x likvärdig f@(g@x).
Men vad kommer inspelningen att betyda? (f@g)@x? Detta är likvärdigt f[g][x]. Och om f и g var vanliga funktioner i matematik skulle det vara meningslöst, men om f - , Sedan f[g] i sig kan vara en funktion som mycket väl kan tillämpas på x.
Observera att det fortfarande finns en viss komplexitet här. I f[х] - f är en funktion av ett argument. OCH f[х] är likvärdigt med att skriva Function[a, f[a]][x]. Men vad sägs om en funktion med två argument, säg f[x,y]? Detta kan skrivas som Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Men tänk om Function[{a},f[a,b]]? Vad är detta? Det finns en "fri variabel" här b, som helt enkelt skickas till funktionen. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] kommer att binda denna variabel och sedan Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] igen. (Att specificera en funktion så att den har ett argument kallas "currying" för att hedra logikern som heter ).
Om det finns fria variabler så finns det många olika komplexiteter när det gäller hur funktioner kan definieras, men om vi begränsar oss till objekt eller λ, som inte har fria variabler, då kan de i princip specificeras fritt. Sådana objekt kallas kombinatorer.
Kombinatorer har en lång historia. Det är känt att de först föreslogs 1920 av en student - .
På den tiden var det först helt nyligen som man upptäckte att det inte fanns något behov av att använda uttrycken , и att representera uttryck i standardpropositionell logik: det räckte med att använda en enda operator, som vi nu kommer att kalla (eftersom t.ex. om du skriver som · då Or[a,b] kommer att ta formen ). Schoenfinkel ville hitta samma minimala representation av predikatslogik, eller i huvudsak logik inklusive funktioner.
Han kom på två "kombinatorer" S och K. I Wolfram-språket kommer detta att skrivas som
K[x_][y_] → x och S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Det är anmärkningsvärt att det visade sig vara möjligt att använda dessa två kombinatorer för att utföra vilken beräkning som helst. Till exempel,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan användas som en funktion för att lägga till två heltal.
Dessa är alla minst sagt ganska abstrakta objekt, men nu när vi förstår vad Turing-maskiner och lambdakalkyl är, kan vi se att Schoenfinkels kombinatorer faktiskt förutsåg konceptet med universell beräkning. (Och vad som är ännu mer anmärkningsvärt är att 1920 års definitioner av S och K är minimalt enkla, påminner om , som jag föreslog på 1990-talet, vars mångsidighet var ).
Men låt oss återgå till vårt blad och vår linje PI1IIx. Symbolerna som skrivs här är kombinatorer, och de är alla designade för att specificera en funktion. Här är definitionen att överlagringen av funktioner måste lämnas associativ, så att fgx ska inte tolkas som f@g@x eller f@(g@x) eller f[g[x]], utan snarare som (f@g)@x eller f[g][x]. Låt oss översätta denna post till ett formulär som är bekvämt att använda av Wolfram Language: PI1IIx kommer att ta formen p[i][ett][i][i][x].
Varför skriva något sånt? För att förklara detta måste vi diskutera begreppet kyrkotal (uppkallat efter Alonzo-kyrkan). Låt oss säga att vi bara arbetar med symboler och lambda eller kombinatorer. Finns det något sätt att använda dem för att specificera heltal?
Vad sägs om att vi bara säger att antalet n motsvarar Function[x, Nest[f,x,n]]? Eller, med andra ord, det (i kortare notation):
1 är f[#]&
2 är f[f[#]]&
3 är f[f[f[#]]]& och så vidare.
Det här kan verka lite mer oklart, men anledningen till att det är intressant är att det gör att vi kan göra allt helt symboliskt och abstrakt, utan att uttryckligen behöva prata om något som heltal.
Med den här metoden att ange tal, tänk dig till exempel att lägga till två tal: 3 kan representeras som f[f[f[#]]]& och 2 är f[f[#]]&. Du kan lägga till dem genom att helt enkelt applicera en av dem på den andra:
Men vad är föremålet? f? Det kan vara vad som helst! På sätt och vis, "gå till lambda" hela vägen och representera siffror med funktioner som tar f som ett argument. Med andra ord, låt oss representera 3, till exempel, som Function[f,f[f[f[#]]] &] eller Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (när och hur du behöver namnge variabler är rubbet i lambdakalkylen).
Betrakta ett fragment av Turings tidning från 1937 , som ställer in objekt precis som vi just diskuterade:
Det är här inspelningen kan bli lite förvirrande. x Turing är vår f, Och hans x' (skrivaren gjorde ett misstag genom att sätta in ett mellanslag) - det här är vår x. Men exakt samma tillvägagångssätt används här.
Så låt oss titta på linjen strax efter vikningen på framsidan av papperet. Detta I1IIIYI1IIx. Enligt Wolfram Language-notationen skulle detta vara i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Men här är jag identitetsfunktionen, så i[one] det syns helt enkelt ett. Under tiden, ett är kyrkans numeriska representation för 1 eller Function[f,f[#]&]. Men med denna definition one[а] blir a[#]& и one[a][b] blir a[b]. (Förresten, i[а][b], eller Identity[а][b] är också а[b]).
Det blir mycket tydligare om vi skriver ner ersättningsreglerna för i и ettistället för att direkt tillämpa lambda-kalkyl. Resultatet blir detsamma. Tillämpa dessa regler explicit, vi får:
Och detta är exakt samma som presenterades i den första förkortade posten:
Låt oss nu titta på bladet igen, längst upp:
Det finns några ganska förvirrande och förvirrande objekt "E" och "D" här, men med dessa menar vi "P" och "Q", så vi kan skriva ut uttrycket och utvärdera det (observera att här - efter viss förväxling med allra sista symbol - den "mystiske vetenskapsmannen" sätter […] och (...) för att representera tillämpningen av funktionen):
Så detta är den första förkortningen som visas. För att se mer, låt oss koppla in definitionerna för Q:
Vi får exakt följande minskning visad. Vad händer om vi ersätter uttryck med P?
Här är resultatet:
Och nu, genom att använda det faktum att i är en funktion som matar ut själva argumentet, får vi:
Oooops! Men det här är inte nästa inspelade rad. Är det något fel här? Oklar. För trots allt, till skillnad från de flesta andra fall, finns det ingen pil som indikerar att nästa rad följer från den föregående.
Det är lite av ett mysterium här, men låt oss gå vidare till botten av arket:
Här är 2 Kyrkans nummer, bestämt till exempel av mönstret two[a_] [b_] → a[a[b]]. Observera att detta faktiskt är formen av den andra raden om a anses vara Function[r,r[р]] и b как q. Så vi förväntar oss att resultatet av beräkningen blir följande:
Men uttrycket inuti а[b] kan skrivas som x (förmodligen annorlunda än det x som tidigare skrivits på papperet) - till slut får vi det slutliga resultatet:
Så vi kan dechiffrera lite av vad som händer på detta papper, men åtminstone ett mysterium som fortfarande finns kvar är vad Y ska vara.
Faktum är att det inom kombinatorisk logik finns en standard Y-kombinator: den så kallade . Formellt definieras det av det faktum att Y[f] måste vara lika f[Y[f]], eller, med andra ord, att Y[f] ändras inte när f tillämpas, så det är en fixpunkt för f. (Kombinatorn Y är associerad med #0 på Wolfram-språket.)
För närvarande har Y-kombinatorn blivit känd tack vare , så heter (som har varit ett fan länge и och implementerade den allra första webbutiken baserad på detta språk). Han berättade en gång för mig personligen "ingen förstår vad en Y-kombinator är" (Det bör noteras att Y Combinator är precis vad som gör att företag kan undvika transaktioner med fasta punkter...)
Y-kombinatorn (som en fastpunktskombinator) har uppfunnits flera gånger. Turing kom faktiskt på en implementering av det 1937, som han kallade Θ. Men är bokstaven "Y" på vår sida den berömda fixpunktskombinatorn? Kanske inte. Så vad är vårt "Y"? Tänk på denna förkortning:
Men denna information är uppenbarligen inte tillräcklig för att entydigt avgöra vad Y är. Det är tydligt att Y inte bara arbetar med ett argument; Det verkar som om det finns minst två argument inblandade, men det är oklart (åtminstone för mig) hur många argument det tar som input och vad det gör.
Slutligen, även om vi kan förstå många delar av tidningen, måste vi säga att det på global nivå inte är klart vad som gjordes på det. Även om det är mycket förklaring involverat i vad som står på arket här, är det ganska grundläggande i lambdakalkyl och att använda kombinatorer.
Förmodligen är detta ett försök att skapa ett enkelt "program" - med hjälp av lambdakalkyl och kombinatorer för att göra något. Men så mycket som detta är typiskt för reverse engineering är det svårt för oss att säga vad det där "något" ska vara och vad det övergripande "förklarliga" målet är.
Det finns ytterligare en funktion som presenteras på bladet som är värd att kommentera här - användningen av olika typer av parenteser. Traditionell matematik använder mestadels parenteser för allt - och funktionsapplikationer (som i f (x)), och grupperingar av medlemmar (som i (1+x) (1-x)eller, mindre självklart, a(1-x)). (I Wolfram-språket separerar vi de olika användningarna av parenteser - inom hakparenteser för att definiera funktioner f [x] - och parenteser används endast för gruppering).
När lambdakalkylen först dök upp var det många frågor om användningen av parenteser. Alan Turing skulle senare skriva ett helt (opublicerat) verk med titeln”, men redan 1937 kände han att han behövde beskriva de moderna (ganska hackiga) definitionerna för lambdakalkyl (som för övrigt dök upp på grund av kyrkan).
Han sa att f, appliceras på g, bör skrivas {f}(g), Om bara f är inte den enda karaktären, i det här fallet kan det vara det f(g). Sedan sa han lambda (som i Function[a, b]) ska skrivas som λ a[b] eller alternativt λ a.b.
Men kanske 1940 hade hela idén att använda {...} och […] för att representera olika objekt övergivits, till stor del till förmån för standardparenteser i matematisk stil.
Ta en titt högst upp på sidan:
I den här formen är det svårt att förstå. I kyrkans definitioner är hakparenteser avsedda för gruppering, med en öppen parentes som ersätter perioden. Genom att använda denna definition blir det tydligt att Q (eventuellt märkt D) inom parentes i slutet är vad hela initiala lambda gäller.
Den fyrkantiga parentesen här avgränsar faktiskt inte lambdans kropp; istället representerar den faktiskt en annan användning av funktionen, och det finns ingen explicit indikation på var lambdans kropp slutar. I slutet kan man se att den "mystiske vetenskapsmannen" har ändrat den avslutande hakparentesen till en rund parentes och därigenom effektivt tillämpat kyrkans definition - och därigenom tvingat uttrycket att beräknas som det visas på bladet.
Så vad betyder den här lilla biten egentligen? Jag tror att detta tyder på att sidan skrevs på 1930-talet, eller inte alltför långt efter, eftersom konventionerna för parenteser ännu inte hade lagt sig till den tiden.
Så vems handstil var detta egentligen?
Så innan detta pratade vi om vad som står på sidan. Men hur är det med vem som egentligen skrev det?
Den mest uppenbara kandidaten för denna roll skulle vara Alan Turing själv, eftersom sidan trots allt fanns i hans bok. Innehållsmässigt verkar det inte finnas något som är oförenligt med tanken att Alan Turing skulle kunna ha skrivit det – även när han först höll på att ta tag i lambdakalkylen efter att ha fått Churchs tidning i början av 1936.
Vad sägs om handstil? Tillhör den Alan Turing? Låt oss titta på några överlevande exempel som vi säkert vet skrevs av Alan Turing:
Texten som presenteras ser uppenbarligen väldigt annorlunda ut, men hur är det med notationen som används i texten? Åtminstone, enligt min mening, ser det inte så självklart ut - och man kan anta att eventuell skillnad kan bero just på att de befintliga proverna (som presenteras i arkiven) är skrivna så att säga "på ytan, ” medan vår sida är just en återspegling av tankearbetet.
Det visade sig bekvämt för vår undersökning att Turings arkiv innehåller en sida som han skrev på , nödvändig för notation. Och när man jämför dessa symboler bokstav för bokstav, ser de ganska lika ut som mig (dessa anteckningar gjordes i Turing när han studerade , därav etiketten "bladområde"):
Jag ville utforska detta ytterligare, så jag skickade prover , en professionell handskriftsexpert (och författare till handskriftsbaserade problem) som jag hade nöjet att träffa en gång – helt enkelt genom att presentera vår artikel som "Sample 'A'" och ett befintligt exempel på Turings handstil som "Sample 'B'." Hennes svar var slutgiltigt och negativt: "Skrivstilen är en helt annan. När det gäller personlighet har exempel "B" författare en snabbare och mer intuitivt tänkande stil än exempel "A" författare.".
Jag var inte helt övertygad ännu, men jag bestämde mig för att det var dags att titta på andra alternativ.
Så om det visar sig att Turing inte skrev det, vem gjorde det då? Norman Routledge berättade att han fick boken av Robin Gandy, som var Turings exekutor. Så jag skickade "Sample "C"" från Gandhi:
Men Sheilas första slutsats var att de tre proverna troligen var skrivna av tre olika personer, och noterade återigen att provet "B" kom från "den snabbaste tänkaren – den som sannolikt är mest villig att leta efter ovanliga lösningar på problem" (Jag tycker att det är uppfriskande att en modern handstilsexpert skulle ge denna bedömning av Turings handstil, med tanke på hur mycket alla klagade på hans handstil i Turings 1920-tals skoluppgifter.)
Tja, vid det här laget verkade det som att både Turing och Gandhi hade uteslutits som "misstänkta". Så vem kunde ha skrivit detta? Jag började tänka på personerna som Turing kan ha lånat ut sin bok till. Självklart måste de också kunna göra beräkningar med lambda-kalkyl.
Jag antog att personen måste vara från Cambridge, eller åtminstone England, med tanke på vattenstämpeln på papperet. Jag tog det som en arbetshypotes att 1936 eller så var ett bra tillfälle att skriva detta. Så vem kände Turing och kommunicerade med vid den tiden? För denna tidsperiod har vi fått en lista över alla studenter och lärare i matematik vid King's College. (Det var 13 kända studenter som studerade från 1930 till 1936.)
Och av dem verkade den mest lovande kandidaten . Han var i samma ålder som Turing, hans långvariga vän, och han var också intresserad av grundläggande matematik - 1933 publicerade han till och med en artikel om vad vi nu kallar : 0.12345678910111213... (erhållen av 1, 2, 3, 4,..., 8, 9, 10, 11, 12,... och ett av de mycket få siffrorna i den meningen att varje möjligt block av siffror förekommer med lika stor sannolikhet).
1937 använde han till och med Diracs gammamatriser, som nämns i Diracs bok, för att lösa . (Som det händer, år senare blev jag ett stort fan av gammamatrisberäkningar).
Efter att ha börjat studera matematik kom Champernowne under inflytande (även vid King's College) och blev så småningom en framstående ekonom, särskilt arbetade med inkomstskillnader. (Men 1948 arbetade han också med Turing för att skapa - ett schackprogram, som praktiskt taget blev det första i världen som implementerades på en dator).
Men var kan jag hitta ett exempel på Champernownes handstil? Jag hittade snart hans son Arthur Champernowne på LinkedIn, som konstigt nog hade en examen i matematisk logik och arbetade för Microsoft. Han sa att hans far pratade en hel del med honom om Turings arbete, även om han inte nämnde kombinatorer. Han skickade mig ett prov på sin fars handstil (ett fragment om algoritmisk musikkomposition):
Du kan omedelbart se att handstilarna inte stämde överens (lockar och svansar i bokstäverna f i Champernownes handstil, etc.)
Så vem mer kan det vara? Jag har alltid beundrat , på många sätt en mentor till Alan Turing. Newman intresserade först Turing"mekanisering av matematik" var hans långvariga vän och blev år senare hans chef vid ett datorprojekt i Manchester. (Trots sitt intresse för beräkningar verkar Newman alltid ha sett sig själv i första hand som en topolog, även om hans slutsatser stöddes av ett felaktigt bevis som han hämtade från ).
Det var inte svårt att hitta ett prov på Newmans handstil – och återigen, nej, handstilarna stämde definitivt inte överens.
"Spår" av boken
Så idén att identifiera handstil misslyckades. Och jag bestämde mig för att nästa steg att ta var att försöka spåra lite mer i detalj vad som faktiskt hände med boken som jag höll i mina händer.
Så först av allt, vad var den längre historien med Norman Rutledge? Han gick på King's College, Cambridge 1946 och träffade Turing (ja, båda var gay). Han tog examen från college 1949 och började sedan skriva sin doktorsavhandling med Turing som rådgivare. Han disputerade 1954 och arbetade med matematisk logik och rekursionsteori. Han fick ett personligt stipendium till King's College, och 1957 blev han chef för den matematiska avdelningen där. Han kunde ha gjort detta hela sitt liv, men han hade breda intressen (musik, konst, arkitektur, rekreationsmatematik, släktforskning, etc.). 1960 ändrade han sin akademiska inriktning och blev lärare på Eton, där generationer av studenter (inklusive jag själv) arbetade (och studerade) och exponerades för hans eklektiska och ibland till och med konstiga kunskaper.
Kan Norman Routledge ha skrivit denna mystiska sida själv? Han kunde lambdakalkyl (även om han av en slump nämnde det när vi drack te 2005 att han alltid tyckte att det var "förvirrande"). Men hans karaktäristiska handstil utesluter honom omedelbart som en möjlig "mystisk vetenskapsman".
Kan sidan på något sätt vara kopplad till en elev till Norman, kanske från när han fortfarande var i Cambridge? Jag tvivlar. För jag tror inte att Norman någonsin studerat lambdakalkyl eller något liknande. När jag skrev den här artikeln upptäckte jag att Norman hade skrivit en artikel 1955 om att skapa logik på "elektroniska datorer" (och skapa konjunktiva normala former, som den inbyggda funktionen nu gör ). När jag kände Norman var han mycket intresserad av att skriva verktyg för riktiga datorer (hans initialer var "NAR", och han kallade sina program "NAR...", till exempel "NARLAB", ett program för att skapa textetiketter med hjälp av hålslag hål "mönster" "på papperstejp). Men han pratade aldrig om teoretiska beräkningsmodeller.
Låt oss läsa Normans anteckning inuti boken lite närmare. Det första vi kommer att märka är att han pratar om "erbjuda böcker från den avlidnes bibliotek" Och utifrån formuleringen låter det som att allt hände ganska snabbt efter att mannen dog, vilket tyder på att Norman fick boken strax efter att Turing dog 1954, och att Gandhi hade saknat den under en avsevärt lång tid. Norman berättar vidare att han faktiskt fick fyra böcker, två om ren matematik och två om teoretisk fysik.
Sedan sa han att han gav "en annan från en fysikbok (typ, )""Till Sebag Montefiore, en trevlig ung man som du kanske minns [George Rutter]" Okej, så vem är han? Jag grävde fram min sällan använda medlemslista . (Jag måste rapportera att när jag öppnade den kunde jag inte låta bli att lägga märke till dess regler sedan 1902, varav den första, under rubriken "Medlemmens rättigheter", lät rolig: "Klä dig i föreningens färger").
Det bör tilläggas att jag förmodligen aldrig hade gått med i detta sällskap eller fått den här boken om det inte hade varit för uppmaningen av en Eton-vän som heter , som hade planerat sedan han var 12 för att en dag bli premiärminister, men tyvärr dog vid 21 års ålder).
Men i alla fall var det bara fem av personerna med efternamnet Sebag-Montefiore, med ett brett utbud av studiedatum. Det var inte svårt att förstå att det passade . En liten värld, som det visar sig, ägde hans familj Bletchley Park innan han sålde den till den brittiska regeringen 1938. Och år 2000 skrev Sebag-Montefiore - Det är med all sannolikhet därför Norman 2002 bestämde sig för att ge honom boken som Turing ägde.
Okej, hur är det med de andra böckerna som Norman fick av Turing? Eftersom jag inte hade något annat sätt att ta reda på vad som hände dem, beställde jag en kopia av Normans testamente. Den sista klausulen i testamentet var helt klart i Normans stil:
I testamentet stod att Normans böcker skulle lämnas på King's College. Och även om hans kompletta samling av böcker inte verkar finnas någonstans att hitta, finns Turings två böcker om ren matematik, som han nämnde i sin anteckning, nu vederbörligen arkiverade på King's College Library.
Nästa fråga: vad hände med Turings andra böcker? Jag tittade på Turings testamente, som visade sig överlåta dem alla till Robin Gandy.
Gandhi var en matematikstudent vid King's College, Cambridge, som blev vän med Alan Turing under hans sista år på college 1940. I början av kriget arbetade Gandhi med radio och radar, men 1944 blev han tilldelad samma enhet som Turing och arbetade med talkryptering. Och efter kriget återvände Gandhi till Cambridge, snart tog han sin doktorsexamen, och Turing blev hans rådgivare.
Hans arbete inom militären ledde tydligen till att han blev intresserad av fysik, och hans avhandling, färdig 1952, hade titeln . Vad Gandhi verkade försöka göra var kanske att karakterisera fysikaliska teorier i termer av matematisk logik. Han pratar om и , men inte om Turing-maskiner. Och av vad vi vet nu tror jag att vi kan dra slutsatsen att han snarare missade poängen. Och verkligen, har hävdat sedan början av 1980-talet att fysiska processer bör betraktas som "olika beräkningar" - till exempel som Turing-maskiner eller cellulära automater - snarare än som satser som ska härledas. (Gandhi diskuterar ganska bra ordningen på typer som är involverade i fysikaliska teorier, och säger till exempel att "Jag tror att ordningen för ett beräkningsbart decimaltal i binär form är mindre än åtta"). Han sa att "En av anledningarna till att modern kvantfältteori är så komplex är bara för att den handlar om objekt av en ganska komplex typ - funktionaler av funktioner...", vilket i slutändan betyder att"vi kan mycket väl ta den största typen av allmänt bruk som ett mått på matematiska framsteg. ")
Gandhi nämner Turing flera gånger i avhandlingen och noterar i inledningen att han står i tacksamhetsskuld till A. M. Turing, som "gjorde först hans något ofokuserade uppmärksamhet på kyrkans kalkyl” (d.v.s. lambdakalkyl), även om hans avhandling faktiskt har flera lambdabevis.
Efter att ha försvarat sin avhandling vände sig Gandhi till en renare matematisk logik och skrev i mer än tre decennier artiklar i en takt av en per år, och dessa artiklar citerades ganska framgångsrikt i den internationella matematiska logikens gemenskap. Han flyttade till Oxford 1969 och jag tror att jag måste ha träffat honom i min ungdom, även om jag inte har något minne av det.
Gandhi idoliserade tydligen Turing och talade ofta om honom under senare år. Detta väcker frågan om den kompletta samlingen av Turings verk. Kort efter Turings död bad Sarah Turing och Max Newman Gandhi – som hans exekutor – att ordna publiceringen av Turings opublicerade verk. Åren gick och spegla Sarah Turings frustration i denna fråga. Men på något sätt verkade Gandhi aldrig ha planerat att sätta ihop Turings papper.
Gandhi dog 1995 utan att sammanföra de färdiga verken. - litteraturkritiker och biograf , som Turing träffade på King's College, var Turings litterära agent, och han började slutligen arbeta på Turings samlade verk. Den mest kontroversiella verkade vara volymen om matematisk logik, för vilken han lockade sin första seriösa doktorand, Robin Gandy, en viss , som hittade brev till Gandhi om samlade verk som inte hade påbörjats på 24 år. ( dök äntligen upp 2001 - 45 år efter att de släpptes).
Men hur är det med böckerna som Turing personligen ägde? Jag fortsatte att försöka spåra dem, mitt nästa stopp var familjen Turing, och i synnerhet Turings brors yngste son, (som egentligen är Sir Dermot Turing, på grund av att han var det , denna titel gick inte över till honom genom Alan i familjen Turing). Dermot Turing (som nyligen skrev ) berättade för mig om "Turings farmor" (alias Sarah Turing), hennes hus delade tydligen en trädgårdsingång med hans familj, och många andra saker om Alan Turing. Han berättade för mig att Alan Turings personliga böcker aldrig hade funnits i deras familj.
Så jag gick tillbaka till att läsa testamenten och upptäckte att Gandhis exekutor var hans elev Mike Yates. Jag fick veta att Mike Yates gick i pension som professor för 30 år sedan och nu bor i norra Wales. Han sa att han under de decennier han arbetade med matematisk logik och beräkningsteori aldrig riktigt rörde en dator - men det gjorde han till slut när han gick i pension (och, detta hände, strax efter att han upptäckte programmet ). Han sa hur underbart det var att Turing hade blivit så känd, och att när han kom till Manchester bara tre år efter Turings död var det ingen som pratade om Turing, inte ens Max Newman när han undervisade i en kurs i logik. Men Gandy skulle senare prata om hur mycket han blev upphetsad över att ta itu med Turings samling av verk, och till sist lämnade han dem alla till Mike.
Vad visste Mike om Turings böcker? Han hittade en av Turings handskrivna anteckningsböcker, som Gandhi inte gav till King's College eftersom Gandhi (märkligt nog) använde den som en förklädnad för anteckningarna han förde om sina drömmar. (Turing förde också anteckningar om sina drömmar, som förstördes efter hans död.) Mike sa att anteckningsboken nyligen såldes på auktion för cirka 1 miljon dollar. Och att han annars inte skulle ha trott att det bland Gandhis saker fanns Turing-material.
Det verkade som att alla våra alternativ hade torkat ut, men Mike bad mig titta på det mystiska papperet. Och genast sa han: "Det här är Robin Gandys handstil!» Han sa att han hade sett så mycket saker genom åren. Och han var säker. Han sa att han inte visste mycket om lambdakalkyl och kunde inte riktigt läsa sidan, men han var säker på att Robin Gandy hade skrivit den.
Vi gick tillbaka till vår handskriftsexpert med fler prover och hon höll med om att ja, det som fanns där matchade Gandhis handstil. Så vi kom till slut på det: Robin Gandy skrev det mystiska papperet. Den skrevs inte av Alan Turing; den skrevs av hans elev Robin Gandy.
Naturligtvis finns det fortfarande några mysterier kvar. Turing lär ha lånat ut boken till Gandhi, men när? Formen av lambdakalkyl får det att verka som om det var runt 1930-talet. Men baserat på kommentarer till Gandhis avhandling skulle han förmodligen inte göra något med lambdakalkyl förrän i slutet av 1940-talet. Frågan uppstår då varför Gandhi skrev detta. Detta verkar inte vara direkt relaterat till hans avhandling, så det kan ha varit när han först försökte räkna ut lambdakalkyl.
Jag tvivlar på att vi någonsin kommer att få veta sanningen, men det var verkligen kul att försöka ta reda på det. Här måste jag säga att hela denna resa har gjort mycket för att utöka min förståelse för hur komplexa historien om liknande böcker från tidigare århundraden, som i synnerhet jag äger, kan vara. Det här får mig att tänka att jag bättre ser till att titta på alla deras sidor - bara för att se vad som kan vara intressant där...
Tack för hjälpen till: Jonathan Gorard (Cambridge Private Studies), Dana Scott (Matematical Logic) och Matthew Szudzik (Matematical Logic).
Om översättningÖversättning av Stephen Wolframs inlägg "".
Jag uttrycker min djupa tacksamhet и för hjälp med översättning och förberedelse av publicering.
Vill du lära dig hur man programmerar i Wolfram-språket?
Titta varje vecka .
. Redo .
på Wolfram Language.
Källa: will.com